在研究生考試中,凡是涉及到高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)考試,求極限的考察是必不可少的.其實(shí),高等數(shù)學(xué)就是以極限開始,以極限結(jié)束,求極限貫穿高等數(shù)學(xué)的始終.當(dāng)然,求極限主要分為兩種:函數(shù)的極限和數(shù)列的極限,在這里我們先談?wù)労瘮?shù)的極限.對于函數(shù)的極限的考察,既可以單純地求解具體的函數(shù)的極限,又可以求解滿足某些性質(zhì)的抽象的函數(shù)的極限.其題型,既可以是選擇題填空題,又可以是大題,甚至是大題中的證明題.總之,內(nèi)容豐富多樣,讓同學(xué)們很是頭疼.不過,對于這一類題目,依舊有規(guī)律可循,如今年數(shù)學(xué)一的一個(gè)單純的求解極限的題目:“ .”
首先,我們來大致分析一下,這一題是填空題的第一題，是一個(gè)小題目，4分.其次,是具體的函數(shù)求極限.對這種類型,總的原則是用洛必達(dá)法則.在使用洛必達(dá)法則的時(shí)候,盡可能多地借助等價(jià)無窮小來簡化運(yùn)算.上次我們復(fù)習(xí)了無窮小量,現(xiàn)在再來回顧一下:
無窮小量的定義：如果函數(shù)當(dāng)或時(shí)的極限為零,那么稱函數(shù)為當(dāng)或時(shí)的無窮小.等價(jià)無窮小的定義：設(shè)是在自變量的同一變化過程中的無窮小，且則：，稱與是等價(jià)無窮小，記作：.
以上是等價(jià)無窮小的定義.那么就考試范圍而言,我們需要掌握哪些基本的等價(jià)無窮小呢?在這里我給大家羅列幾個(gè)重要的等價(jià)無窮小:
時(shí),;
對于這個(gè)表達(dá)式,我們可以這樣來記憶,等價(jià)無窮小把基本初等函數(shù)都串起來了,從左往右看,函數(shù)的類型分別為冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù).此外,還需要延伸兩個(gè)等價(jià)無窮小:.
介紹完等價(jià)無窮小后,再來學(xué)習(xí)羅比達(dá)法則吧:
1. 時(shí)的未定型
設(shè)(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)和都趨于零；
(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，和都存在，且；
(3)存在(或?yàn)闊o窮大)，
則 .
2. 時(shí)的未定型
設(shè)(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)和都趨于零；
(2)當(dāng)時(shí)，和都存在，且；
3. 僅當(dāng)型或型才可以考慮用洛比達(dá)法則. 當(dāng)然，對于，，，，型的未定型可以通過轉(zhuǎn)化成為型或型后，再考慮使用洛比達(dá)法則.
具備以上的知識,基本上這一題就能解決了,現(xiàn)在來寫一下它的解答過程:
這一題主要考察的是等價(jià)無窮小的使用,洛必達(dá)法則,另外還有變上限積分求導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題,同學(xué)們掌握這些基本知識,就能很好地完成本題了.
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