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著名不等式薈萃
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩．下面擇要介紹一些著名的不等式．
一、平均不等式（均值不等式）
設(shè) ，
，…，
是
個實數(shù)，
叫做這 個實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。當這
個實數(shù)非負時，
叫做這 個非負數(shù)的幾何平均數(shù)。當這 個實數(shù)均為正數(shù)時，
叫做這 個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)。
設(shè) ， ，…， 為 個正數(shù)時，對如下的平均不等式：
，
當且僅當 時等號成立。
平均不等式 是一個重要的不等式，它的應(yīng)用非常廣泛，如求某些函數(shù)的最大值和最小值即是其應(yīng)用之一。
設(shè) ， ，…， 是 個正的變數(shù)，則
（1）當積 是定值時，和 有最小值，且
；
（2）當和 是定值時，積 有最大值，且
兩者都是當且僅當 個變數(shù)彼此相等時，即 時，才能取得最大值或最小值。
在 中，當 時，分別有
，
平均不等式 經(jīng)常用到的幾個特例是（下面出現(xiàn)的 時等號成立；
（3） ，當且僅當 時等號成立；
（4） ，當且僅當 時等號成立。
二、柯西不等式（柯西—許瓦茲不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
對任意兩組實數(shù) ， ，…， ； ， ，…， ，有
，其中等號當且僅當 時成立。
柯西不等式經(jīng)常用到的幾個特例（下面出現(xiàn)的 ，…， ； ，…， 都表示實數(shù)）是：
（1） ， ，則
（2）
（3）
柯西不等式是又一個重要不等式，有許多應(yīng)用和推廣，與柯西不等式有關(guān)的競賽題也頻頻出現(xiàn)，這充分顯示了它的獨特地位。
三、閔可夫斯基不等式
設(shè) ， ，…， ； ， ，…， 是兩組正數(shù)， ，則
（ ）
（ ）
當且僅當 時等號成立。
閔可夫斯基不等式是用某種長度度量下的三角形不等式，當 時得平面上的三角形不等式：
若記 ， ，則上式為
四、貝努利不等式
（1）設(shè) ，且同號，則
（2）設(shè) ，則
（?。┊?span lang="EN-US"> 時，有 ；
（ⅱ）當 或 時，有 ，上兩式當且僅當 時等號成立。
不等式（1）的一個重要特例是
（ ）
五、赫爾德不等式
已知 （ ）是 個正實數(shù)， ，則
上式中若令 ， ， ，則此赫爾德不等式即為柯西不等式。
六、契比雪夫不等式
（1）若 ，則
；
（2）若 ，則
下面給出一個 時的契比雪夫不等式的直觀理解。
，也即
七、排序不等式
設(shè)有兩組數(shù) ， ，…， ； ， ，…， 滿足 ，則有
，式中的 ， ，…， 是1，2，…， 的任意一個排列，式中的等號當且僅當 或 時成立。
以上排序不等式也可簡記為：
反序和 亂序和 同序和
這個不等式在不等式證明中占有重要地位，它使不少困難問題迎刃而解。
八、含有絕對值的不等式
為復(fù)數(shù)，則
，
左邊的等號僅當 的幅角差為 時成立，右邊的等號僅當 的幅角相等時成立，這個不等式也稱為三角形不等式，其一般形式是
，
也可記為
絕對值不等式在實數(shù)的條件下用得較多。
九、琴生不等式
設(shè) 是（ ）內(nèi)的凸函數(shù)，則對于（ ）內(nèi)任意的幾個實數(shù) 有
，
等號當且僅當 時取得。
琴生不等式是丹麥數(shù)學(xué)家琴生于1905年到1906年間建立的。利用琴生不等式我們可以得到一系列不等式，比如“冪平均不等式”，“加權(quán)的琴生不等式”等等。
十、艾爾多斯—莫迪爾不等式
設(shè)P為 內(nèi)部或邊界上一點，P到三邊距離分別為PD，PE，PF，則
，
當且僅當 為正三角形，且P為三角形中心時上式取等號。
這是用于幾何問題的證明和求最大（?。┲禃r的一個重要不等式。
以上這些著名不等式是數(shù)學(xué)家們長期致力于不等式理論研究的重要成果，如果它們已變成了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的得力工具。
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