追求“真正意義上的理解”
——“雞兔同籠”教學(xué)思考與實(shí)踐
牛獻(xiàn)禮
教學(xué)思考：
“雞兔同籠”是我國(guó)的一道歷史名題，既有趣又益智，在國(guó)標(biāo)新教材中，不少版本都有編排。人教版是在六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問(wèn)題的出處、幾種典型解法及實(shí)際應(yīng)用，突出“解決問(wèn)題策略的多樣化”。
據(jù)了解，目前六年級(jí)教學(xué)“雞兔同籠”問(wèn)題大多以假設(shè)法為主，主要有以下幾種課型結(jié)構(gòu)：1、幾種方法一起教。其中以列表、假設(shè)和方程三種方法一起教學(xué)居多，側(cè)重于假設(shè)法和列方程的解法；2、專(zhuān)門(mén)教學(xué)假設(shè)法；3、將學(xué)生置于一種“已會(huì)”的狀態(tài)，經(jīng)“學(xué)生嘗試——反饋交流——教師引導(dǎo)”，讓學(xué)生在多種解題方法的比較中感悟假設(shè)法的優(yōu)點(diǎn)。但是在課后檢測(cè)時(shí)，上述教法無(wú)一例外地出現(xiàn)了尷尬。尷尬一：張冠李戴。假設(shè)是兔（雞），求出來(lái)的也是兔（雞）。學(xué)生只知機(jī)械套用假設(shè)法思路列式計(jì)算，卻不知道算出來(lái)的結(jié)果是雞的只數(shù)還是兔的只數(shù)，說(shuō)明學(xué)生并沒(méi)有真正理解假設(shè)法。尷尬二：只知雞兔，不知其他。也就是不會(huì)類(lèi)比聯(lián)想，不能學(xué)以致用。那么，問(wèn)題究竟出在哪里呢？
在傳統(tǒng)教法中，教師往往忽視的是這個(gè)結(jié)果是怎么“出來(lái)”的，教師最容易產(chǎn)生的教學(xué)缺陷是滿(mǎn)足于結(jié)果的呈現(xiàn)，滿(mǎn)足于和好學(xué)生一對(duì)一的互動(dòng)。教師所謂的假設(shè)法只是具體地解決了“如何假設(shè)”的問(wèn)題，而對(duì)于“為什么要假設(shè)？”、“怎樣理解推理的過(guò)程？”這些關(guān)鍵問(wèn)題，教師卻未能有效提點(diǎn)，造成很多學(xué)生對(duì)假設(shè)法只是“一知半解”，后面的練習(xí)也只能是“依葫蘆畫(huà)瓢”，一旦遇到全新的問(wèn)題，自然束手無(wú)策。那么，假設(shè)法與其它解法之間是否有本質(zhì)的聯(lián)系？能否借助其他解法幫助學(xué)生在假設(shè)的過(guò)程中“知其所以然”，達(dá)到對(duì)假設(shè)法“真正意義上的理解”呢？
調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在解決“雞兔同籠”問(wèn)題的幾種基本方法中，枚舉法是學(xué)生解決“雞兔同籠”問(wèn)題的“土方”，屬于“不教就會(huì)的知識(shí)”；畫(huà)圖法對(duì)于六年級(jí)的學(xué)生而言，顯得過(guò)于“低級(jí)”了，幾乎無(wú)人選用（注：如果課堂上沒(méi)有學(xué)生提到畫(huà)圖的解法，也不必畫(huà)蛇添足地進(jìn)行講解）；列表法是先假設(shè)雞或兔的只數(shù)，再一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行嘗試、推算，假設(shè)法也是利用“假設(shè)全部是雞或全部是兔”來(lái)思考推理的。從這個(gè)思維層面上講，列表其實(shí)也是假設(shè)法的一種表現(xiàn)形式，假設(shè)法可以看成是對(duì)列表法的進(jìn)一步抽象和提升；而方程解法實(shí)際上是列表解法的逆向過(guò)程（張景中院士說(shuō)：方程是函數(shù)的逆運(yùn)算），且方程解法的難點(diǎn)不在理解等量關(guān)系上，而在于如何解方程（小學(xué)階段也不要求解這樣復(fù)雜的方程），這顯然不符合“雞兔同籠”問(wèn)題教學(xué)的本意。
綜上所述，教學(xué)“雞兔同籠”問(wèn)題，要把假設(shè)的思想方法作為解決“雞兔同籠”問(wèn)題所有方法中最基本的解題方法，在教學(xué)中應(yīng)該將直觀的列表法與抽象的假設(shè)法進(jìn)行溝通與聯(lián)系，借助列表讓學(xué)生真正理解假設(shè)法，以發(fā)展學(xué)生的思維能力。
同時(shí)，要幫助學(xué)生建構(gòu)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，要“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！苯虒W(xué)中，應(yīng)該從“雞兔”、“龜鶴”等事物、對(duì)象出發(fā)提煉出簡(jiǎn)單的問(wèn)題模型，再將模型演繹到各種生活現(xiàn)象和問(wèn)題情境中，從而促進(jìn)模型的進(jìn)一步內(nèi)化，完成模型的建構(gòu)與應(yīng)用。
有了上述思考，筆者對(duì)“雞兔同籠”教學(xué)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)并付諸實(shí)踐。
教學(xué)過(guò)程：
一、列表嘗試，溝通聯(lián)系。
?。?、列表嘗試，有序思考。
（出示）一個(gè)籠子里有雞和兔共8只，雞和兔各可能幾只？請(qǐng)把你的思考寫(xiě)在紙上。
學(xué)生獨(dú)立完成，全班交流典型寫(xiě)法：
生1：將1、7；2、6；3、5……豎著寫(xiě)成兩列；
生2：用小括號(hào)一組組地寫(xiě)，即（1，7）；（2，6）；（3，5）；……
生3：列表
師：像這樣用表格等方法將我們的猜測(cè)有序地展現(xiàn)出來(lái)，不容易重復(fù)，也不容易遺漏。從表格看，如果雞的數(shù)量確定了，那么兔的數(shù)量也就確定了?；\子里到底是幾只兔幾只雞能確定嗎？
生：不確定
師：如果再增加一個(gè)條件：“從下面數(shù)，共有22只腳”，現(xiàn)在你知道有幾只雞幾只兔嗎？
學(xué)生嘗試列表解決問(wèn)題。
頭／個(gè) | 雞／只 | 兔／只 | 腳／只 |
8 | １ | 7 | ３０ |
8 | ２ | 6 | ２８ |
8 | ３ | ５ | ２６ |
８ | ４ | ４ | ２４ |
８ | ５ | ３ | ２２ |
師：雖然題目是“一個(gè)籠子里有雞和兔共8只”，但是，考慮極端的情況是數(shù)學(xué)里常用的研究方法，所以也可以從“假設(shè)雞有0只，兔有8只”開(kāi)始想起。
（在表格中添上“0，8”）
師：仔細(xì)觀察，從這張表格中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
生１：增加一只雞，就會(huì)少一只兔，腳的總只數(shù)就會(huì)減少２只。
生２：如果腳要減少２只，應(yīng)該將１只兔換成１只雞；腳要增加２只，應(yīng)該將１只雞換成１只兔。
師：如果腳要減少１０只，應(yīng)該將幾只兔換成幾只雞？怎樣算的？（１０÷２＝５）腳要增加１０只呢？
（思考：這一環(huán)節(jié)是訓(xùn)練學(xué)生通過(guò)有序記錄表現(xiàn)自己的有序思考，進(jìn)而聚焦于列表嘗試。在此基礎(chǔ)上，將“0、8”這一組極端數(shù)據(jù)在表上呈現(xiàn)出來(lái)，指出這是一種數(shù)學(xué)方法，同時(shí)“0、8”對(duì)應(yīng)的“假設(shè)全是兔（雞）”這樣的意義，學(xué)生也能理解。這有利于提升學(xué)生對(duì)列舉法的認(rèn)識(shí)，也有利于后續(xù)假設(shè)法的學(xué)習(xí)。接著，引導(dǎo)學(xué)生分析表格中的數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：隨著雞的數(shù)量逐一增加，雞和兔腳的總只數(shù)就2只2只的減少。正是由于這一基本的變化規(guī)律，我們很容易得出“如果腳要減少2只，應(yīng)該將1只兔換成１只雞。反之，腳要增加2只，應(yīng)該將１只雞換成１只兔”。老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“如果腳要減少（增加）10只，應(yīng)該將幾只兔（雞）變成幾只雞（兔）？”正是有了這些觀察思考的基礎(chǔ)，才使得后面的跳躍列表有了更多的思維含量，也為“假設(shè)法”的提出做好了鋪墊。）
?。病⑻S列表，感知假設(shè)
頭／個(gè) | 雞／只 | 兔／只 | 腳／只 |
8 | １ | 7 | ３０ |
8 | ( ) | ( ) | ２２ |
師：剛才我們列表是一個(gè)一個(gè)地嘗試、推算的，如果雞和兔的數(shù)量比較大，這樣試起來(lái)就太麻煩了！可不可以跳著試，甚至直接跳到５只雞呢？怎么去想呢？
生1：當(dāng)雞有1只兔有7只時(shí)，腳有30只，比22只多很多，我就跳著試，假設(shè)3只雞5只兔，腳就有3×2+4×5=26（只），還比22只多，我再試5只雞3只兔，腳就有2×5+4×3=22（只），就找到答案了。
生2：我是這樣想的，當(dāng)雞有1只兔有７只時(shí)，腳有30只，比實(shí)際的數(shù)多８只，根據(jù)剛才表格發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：將1只兔換成1只雞，腳要減少2只，８里面有４個(gè)2，所以就一下子跳到５，馬上找到準(zhǔn)確的腳數(shù)。
師：好方法！一一列舉再一一計(jì)算確實(shí)太麻煩，跳著列舉、跳著計(jì)算，靠計(jì)算來(lái)指導(dǎo)“跳”就能很快地找到答案。
3、溝通方法，凸顯假設(shè)。
師：我們?cè)偻律钊胍徊剑喝绻涣斜?，你能?jì)算出雞和兔的只數(shù)嗎？
生1：假設(shè)籠子里全是雞，就有８×2=16（只）腳，而實(shí)際上卻有22只腳，比實(shí)際少了6只腳，而每把一只雞換成兔子就增加2只腳，要補(bǔ)足６只，要換６÷2=３（只），所以兔子一共是３只。
師：如果假設(shè)全是兔呢？
生２：假設(shè)全是兔，就有4×8=32（只）腳，比實(shí)際多了10只。這是因?yàn)榘岩恢浑u看成兔，就會(huì)多2只腳。10÷2=5（只），說(shuō)明是把5只雞看成了兔，所以雞有5只，兔有3只。
師：這種方法叫做假設(shè)法，你覺(jué)得假設(shè)法與前面的列表方法有聯(lián)系嗎？
生：列表方法也是假設(shè)，先假設(shè)是幾只雞幾只兔，再一個(gè)一個(gè)去試或者跳著試。
?。?b>思考：給學(xué)生提供充分的自主探索和交流互動(dòng)的空間，特別是對(duì)跳躍列表的技巧和方法的探索與交流，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)列表法的體驗(yàn)和感悟。當(dāng)教師追問(wèn)“不用列表你能計(jì)算出結(jié)果嗎？”學(xué)生完全可以根據(jù)列表中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律輕松獲得計(jì)算的方法。在此基礎(chǔ)上，教師提出“你覺(jué)得假設(shè)法與前面的列表方法有聯(lián)系嗎？”時(shí)，學(xué)生能夠很好地溝通列表與假設(shè)的聯(lián)系，使得列表成為理解假設(shè)法的拐杖，成了發(fā)展學(xué)生思維能力的載體。）
二、回顧歷史，建立模型。
師：“雞兔同籠”問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是一道數(shù)學(xué)古題。大約1500年前，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中就記載了“雞兔同籠”問(wèn)題，并給出了一種很有意思的計(jì)算方法：
（出示：腳數(shù)÷2－頭數(shù)＝兔數(shù) 頭數(shù)－兔數(shù)＝雞數(shù)）
師：上面的題目可以列式為：22÷2－8=3 8－3=5（只），答案完全正確，古人很了不起吧？其實(shí)對(duì)這個(gè)問(wèn)題，不但咱們中國(guó)人有研究，也有外國(guó)人關(guān)注它，美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)講了一個(gè)很有趣的故事解釋了中國(guó)古人解法的道理：
有一天雞和兔在草地上玩，雞突發(fā)奇想對(duì)兔子說(shuō)：“我會(huì)金雞獨(dú)立！”說(shuō)著就將一只腳提起來(lái)。兔子也不甘示弱：“我也會(huì)！”于是，兔子也將兩條前腿提起來(lái)。這時(shí)草地上的總腳數(shù)是不是只剩下原來(lái)的一半了？22÷2＝11（只）這時(shí)草地上的腳數(shù)是不是還比雞兔的總只數(shù)多一些呢？11－8=3（只）為什么會(huì)多？不就是因?yàn)槊恐煌米佑袃芍荒_嗎？這樣總共多了幾只腳就有幾只兔子，3÷（2－1）=3（只）而剩下的就是雞了。8－3＝5（只）
師：日本人對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題也有研究，日本人又稱(chēng)它叫“龜鶴問(wèn)題”。
（出示：龜鶴的圖片）
師：日本人說(shuō)的“龜鶴”和我們說(shuō)的“雞兔”有聯(lián)系嗎？
生：是一樣的意思，龜就相當(dāng)于兔，都是四只腳；鶴就相當(dāng)于雞，都是兩只腳。
師：假如我們不叫它雞兔同籠，也不叫龜鶴問(wèn)題，是不是還可以給它取個(gè)其它的名字呢？
生1：鴨狗問(wèn)題。
生2：人馬問(wèn)題。
……
師：看來(lái)雞兔同籠不僅僅可以解決“雞兔”同籠的問(wèn)題，換成烏龜和仙鶴，換成人和馬，仍然是雞兔同籠問(wèn)題，“雞兔”同籠其實(shí)只是這類(lèi)問(wèn)題一個(gè)模型！
（思考：通過(guò)“雞兔”、“龜鶴”、“人馬”等不同變式的呈現(xiàn)，使學(xué)生初步感知雞兔同籠問(wèn)題只是一個(gè)“模型”，雖然問(wèn)題的情境在變化，但問(wèn)題的本質(zhì)——數(shù)量之間的關(guān)系是不變的。學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中逐漸形成雞兔同籠問(wèn)題的解題策略和思路，開(kāi)始初步建構(gòu)起關(guān)于雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。）
三、運(yùn)用模型，鞏固新知
師：生活中有類(lèi)似“雞兔同籠”的問(wèn)題嗎？
?。ǔ鍪荆┳孕熊?chē)和三輪車(chē)共10輛，總共有26個(gè)輪子。自行車(chē)和三輪車(chē)各有多少輛？
（出示）信封里放著5元和2元的鈔票，共8張，34元，信封里5元和2元的鈔票各有多少?gòu)垼?/font>
師：這些問(wèn)題跟“雞兔同籠”問(wèn)題有關(guān)聯(lián)嗎？
生1：第1題里的自行車(chē)相當(dāng)于2只腳的雞，三輪車(chē)相當(dāng)于3只腳的貓。
師：三腳貓。
生2：第2題里的2元鈔票相當(dāng)于雞有2只腳，而5元的鈔票就相當(dāng)于兔，是5只腳的怪兔。
師：看來(lái)“雞兔同籠”不只是代表著雞、兔同籠的問(wèn)題，有很多類(lèi)似的問(wèn)題都可以看成是“雞兔同籠”問(wèn)題?！?/font>
生獨(dú)立解答，集體評(píng)議、反饋。
（思考：學(xué)生在不同的生活場(chǎng)境中應(yīng)用模型解決實(shí)際問(wèn)題，既可使學(xué)生在實(shí)踐中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，又能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)與能力。）
四、回顧反思，提升認(rèn)識(shí)
師：同學(xué)們，雞兔同籠，把雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里現(xiàn)實(shí)生活中不太可能出現(xiàn)，但在我國(guó)，為什么能作為一個(gè)數(shù)學(xué)名題流傳至今呢？
生1：因?yàn)檫@題很有趣，能訓(xùn)練我們的思維。
生2：因?yàn)樯钪杏泻芏鄦?wèn)題跟雞兔同籠問(wèn)題類(lèi)似，可以用解決雞兔同籠問(wèn)題的方法解決。
……
師：從一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，研究解法，并上升到一種模型，最后進(jìn)行廣泛的運(yùn)用，數(shù)學(xué)就是這樣發(fā)展起來(lái)的。同樣，如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也有了“模型意識(shí)”，就能舉一反三、觸類(lèi)旁通，你就會(huì)變得越來(lái)越聰明的。
