笛卡爾
關(guān)于數(shù)與圖形結(jié)合的根本性工作，即坐標(biāo)系和解析幾何的發(fā)明，是由兩位法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬完成的。柯郎在他的著作《什么是數(shù)學(xué)》中說，費(fèi)馬的工作是在1626年，笛卡爾的工作是在1637年完成的。
雖然笛卡爾在數(shù)學(xué)上作出過杰出的貢獻(xiàn)，但他更重要的貢獻(xiàn)卻是在哲學(xué)方面，他的思想對(duì)于科學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，甚至影響到萊布尼茨和牛頓這樣的偉人。笛卡爾崇尚科學(xué)，關(guān)于科學(xué)考察的對(duì)象，在《探求真理的指導(dǎo)原則》的“原則二”中，他明確地寫道：
“應(yīng)當(dāng)僅僅考察憑我們地心靈似乎就足以獲得的確信無疑的認(rèn)識(shí)的那些對(duì)象”
在這一點(diǎn)，笛卡爾說得比柏拉圖更為深刻，因?yàn)樗粌H說出了科學(xué)所應(yīng)當(dāng)考察的對(duì)象，也就是柏拉圖所說的必須用思考才能看到的對(duì)象，笛卡爾還說了憑借什么去考察，這就是心靈，也就是直觀。在“原則三”中，他又進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：
“關(guān)于打算考察的對(duì)象，應(yīng)當(dāng)要求的不是某些別人的看法，也不是我們自己的推測(cè)，而是我們能夠從中清楚而明顯地直觀出什么，或者說，從中確定無疑地演繹出什么，因?yàn)椋@得真知，是沒有其他方法的”
在這里，我們能夠明晰地知道，無論是知識(shí)獲取的方法還是科學(xué)研究的方法，笛卡爾強(qiáng)調(diào)的是直觀和演繹。關(guān)于直觀，他接著論述道：
“我用直觀一詞，......指的是純粹而專注的心靈的構(gòu)想，......產(chǎn)生于唯一的光芒，即理性的光芒的不容置疑的構(gòu)想，這種構(gòu)想由于更單純而比演繹本身更為確實(shí)無疑”
更進(jìn)一步，笛卡爾又對(duì)直觀和演繹的功能進(jìn)行了分工：
“起始原理本身則僅僅通過直觀而得知，相反，較遠(yuǎn)的推論是僅僅通過演繹而獲得”
我們看到，雖然對(duì)于直觀的解釋有所不同，但無論是古希臘的柏拉圖，文藝復(fù)興后的笛卡爾，還是工業(yè)革命后的康德，都非常強(qiáng)調(diào)直觀對(duì)于思維的重要，強(qiáng)調(diào)直觀對(duì)于知識(shí)的重要，我們將在后續(xù)《數(shù)學(xué)的抽象》專門討論這個(gè)問題。
笛卡爾 《方法論》
笛卡爾于1637年發(fā)表了著名的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，因?yàn)闀L(zhǎng)，人們通常稱這部書為“方法論”。在《方法論》中，笛卡爾說出了他對(duì)數(shù)學(xué)的看法，闡述了一個(gè)大膽的，對(duì)后世產(chǎn)生了重要影響的思想：
“我發(fā)現(xiàn)在邏輯方面，三段論式和大部分其他法則只能用來向別人說明已知的東西，......，并不能求知未知的東西。......至于古代人的幾何和近代人的代數(shù)，都是只研究非常抽象，看來毫無用處的題材。此外，前者始終局限于考察圖形，直到把想象力累得疲憊不堪后才運(yùn)用理解力；后者則一味地用規(guī)則和數(shù)字來約束，使人感覺晦澀枯燥，頭昏腦脹，卻得不到心靈的學(xué)問。正因?yàn)槿绱?，我才要尋找另一種方法，包含這三種學(xué)問的長(zhǎng)處，而沒有它們的短處”
笛卡爾在《方法論》的附錄《幾何學(xué)》中實(shí)踐了上述想法，他尋找的另一種方法就是解析幾何，通過解析幾何笛卡爾把傳統(tǒng)幾何與代數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來了?！稁缀螌W(xué)》共分三編，第一編的題目為“僅使用直線和圓的作圖問題”，討論如何利用尺規(guī)把算術(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題；第二編的題目為“曲線的性質(zhì)”，在這一編，笛卡爾批判了傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖的方法，認(rèn)為應(yīng)當(dāng)引入度量的方法來研究復(fù)雜的曲線，這樣，他發(fā)明了坐標(biāo)系和解析幾何；第三編的題目為“立體及超立體問題的作圖”，討論高次方程的根與幾何作圖的關(guān)系，雖然笛卡爾對(duì)負(fù)數(shù)還不理解，比如他認(rèn)定方程的負(fù)數(shù)根為假根，但在這一編他給出了三個(gè)重要的，對(duì)后來數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)的概念：（1）n次方程有n個(gè)根；（2）代數(shù)基本定理的雛形，即如果a是方程f(x)=0的根，則x-a一定能夠整除f(x)；（3）方程可能會(huì)出現(xiàn)虛根。
下面，我們通過兩個(gè)例子來分析笛卡爾的幾何與歐幾里得幾何的差別，從而分析笛卡爾是如何發(fā)明解析幾何的。第一個(gè)例子：作圖求二次方程的根，考慮下面的二次方程
y2=ay+b2
y2=-ay+b2
y2=ay-b2
因?yàn)榈芽柍霭孢@部書是在韋達(dá)之后半個(gè)世界，因此他應(yīng)當(dāng)知道上面三種形式是有統(tǒng)一解的，可是笛卡爾希望用幾何作圖的方法給出方程的解，因此必須分別討論。比如第一種形式可以等價(jià)地得到
(y-a/2)2=a2/4+b2
進(jìn)一步可以得到
y=a/2+√a2/4+b2
這樣，如圖（1）所示
圖（1）組圖求y2=ay+b2的根
令LM為b，NL為a/2且垂直于LM，延長(zhǎng)MN至P使得NP的長(zhǎng)等于a/2，則MP就是所求線段y。其他兩種形式的根可以類似地作圖得到。
然后，笛卡爾把問題推廣到四次方程
x4=ax2+b2
的形式，利用二次方程的結(jié)果可以作圖得到
x=√a/2+√a2/4+b2
我們看到，笛卡爾的心靈確實(shí)閃耀著理性的光芒，他已經(jīng)給出了現(xiàn)代代數(shù)學(xué)中“數(shù)域擴(kuò)張”的雛形。
第二個(gè)例子就是所謂的“帕波斯問題”問題：
如圖（2）所示
圖（2）四條直線的帕波斯問題
有四條給定的直線AB，AD，EF和GH，求點(diǎn)C描出的軌跡，使得過點(diǎn)C 的四條線段CB，CD，CF和CH與給定直線成給定角時(shí)，CB與CF的積等于CD與CH的積。
由條件知道，這個(gè)軌跡中只有兩個(gè)自由變量。如果令A(yù)和B之間的線段為x，B和C之間的線段為y，利用條件就可以建立x和y之間的關(guān)系表達(dá)式，這是一個(gè)軌跡為橢圓的曲線方程。在這個(gè)過程中，笛卡爾明確地建立了坐標(biāo)系，并利用這個(gè)坐標(biāo)系討論了曲線的方程，雖然這個(gè)坐標(biāo)系不是直角坐標(biāo)系，但在后來的論述中，笛卡爾建立的坐標(biāo)系大多數(shù)都是直角坐標(biāo)系。
直角坐標(biāo)系
通過上面的兩個(gè)例子我們可以看到，歐幾里得幾何在本質(zhì)上研究的是靜態(tài)的圖形，而笛卡爾幾何則考慮了圖形的運(yùn)動(dòng)，特別考慮了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并且用曲線來刻畫這樣的運(yùn)動(dòng)軌跡，這個(gè)變化是根本的，這個(gè)變化是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)端。我們說過，觀察運(yùn)動(dòng)是需要參照物的，為了刻畫運(yùn)動(dòng)軌跡就必須借助坐標(biāo)系，在這個(gè)意義上，隨著幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)明坐標(biāo)系是必然的。
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