題1：已知m、n為有理數(shù)，關(guān)于x的方程x^2+mx+n=0有一個根為2+√3，求方程的另一個根及m、n的值．
分析與解：不少學(xué)生一見此題首先想到的解法是：把x=2+√3代入方程，得：
(2+√3)^2+m(2+√3)+n=0．
至此才發(fā)現(xiàn)已知條件好像缺少了一個，或者說方程的字母系數(shù)多了一個．總之，認(rèn)為已知的條件不足以解決這道題．這種認(rèn)為顯然是受到曾經(jīng)解過以下類似題目的影響．
題2：已知x=2+√3是關(guān)于x的方程x^2-mx+m-3=0的一個根，求方程的另一個根及m的值．
對于這個題，人人都會想到如下的解法：
把x=2+√3代入方程，得：
(2+√3)^2-m(2+√3)+m-3=0．
整理，得：(1+√3)m=4(1+√3)，
所以m=4，
所以方程為：x^2-4x+1=0，
解得方程的另一根為2-√3.
仔細(xì)比較一下兩道題的異同點(diǎn)，題1的字母系數(shù)比題2多了一個；題1強(qiáng)調(diào)字母系數(shù)m、n為有理數(shù)，而題2對m的值不強(qiáng)調(diào)為有理數(shù)；題1和題2的相同點(diǎn)都是方程的一個根為2+√3，這是一個無理數(shù)根．
由此可見，解決題1的關(guān)鍵在于理解和運(yùn)用系數(shù)為有理數(shù)這個條件．
首先，我們?nèi)匀皇前?em>x=2+√3代入方程，得：
(2+√3)^2+m(2+√3)+n=0，
即7+4√3+2m+√3m+n=0，
接下來對方程左邊按有理數(shù)和無理數(shù)歸類分組，得：
(7+2m+n)+(4+m)√3=0，
因為m，n為有理數(shù)，所以7+2m+n是有理數(shù)，
如果4+m≠0，則(4+m) √3為無理數(shù)，
因為有理數(shù)與無理數(shù)的和不等于0，
所以等式(7+2m+n)+(4+m)√3=0不成立，
所以4+m=0，m=-4，
把m=-4代入(7+2m+n)+(4+m)√3=0，得
7+2×(-4)+n=0，解得n=1，
所以原方程為x^2-4x+1=0，
解得另一根為2-√3.
所以，方程的另一個根為2-√3，m=-4，n=1.
題1是有理系數(shù)一元二次方程無理數(shù)根的問題，這類問題的解法除了上述方法外，事實上還可以根據(jù)如下結(jié)論進(jìn)行簡捷地求解．
如果x=m+√n(m，n為有理數(shù)，√n是無理數(shù))是有理系數(shù)一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的一個根，則x=m-√n是該方程的另一個根．
比如上述題1的解法，在未解得m，n時，我們就可以確定方程的另一個根是2-√3，然后由根和系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)即可得：
(2+√3)+(2-√3)=-m，
(2+√3)(2-√3)=n，
所以m=-4，n=1.
運(yùn)用這個結(jié)論解得的結(jié)果與上述是一樣的，而我們要問的是：這個結(jié)論對一般的一元二次方程成立嗎？回答是肯定的．下面進(jìn)行證明．
因為x=m+√n(m，n為有理數(shù))是有理系數(shù)一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的一個根，
所以a(m+√n)^2+b(m+√n)+c=0，
整理，得：(am^2+an+bm+c)+(2am+b) √n=0，
因為a、b、c、m、n都是有理數(shù)，
所以am^2+an+bm+c和2am+b也都是有理數(shù)，
因為√n是無理數(shù)，
所以am^2+an+bm+c=0且2am+b=0，
當(dāng)x=2-√n時，方程ax^2+bx+c=0的左邊為：
a(m-√n)^2+b(m-√n)+c
=(am^2+an+bm+c)-(2am+b) √n
=0-0√n=0=右邊，
所以x=2-√n是方程ax^2+bx+c=0的根．
聯(lián)系客服
