132 坐標(biāo)系以及直線和圓的方程
關(guān)于本節(jié)要介紹的內(nèi)容是坐標(biāo)系，這要從勾股定理說(shuō)起，見“026 千古第一的勾股定理”。勾股定理的定義是：在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。
勾股定理▲
在我國(guó)周朝數(shù)學(xué)家商高于公元前十一世紀(jì)就提出了“勾三、股四、弦五”的論斷，給出了勾股定理的一個(gè)特例。這個(gè)定理在西方叫做“畢達(dá)哥拉斯定理”，是古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出的，雖然比商高晚了五個(gè)世紀(jì)，但他給出了一個(gè)直角三角形具有的普遍的規(guī)律，并且給予了證明。勾股定理是形數(shù)結(jié)合的千古第一的經(jīng)典范例。
古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，見“101 圓錐與圓錐曲線”。其中阿波羅尼奧斯采用平面截割一對(duì)頂圓錐得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線等“圓錐曲線”，這種純幾何的演繹形式使得古希臘的幾何學(xué)在公元前就處于歷史的黃金時(shí)期，以至于伴隨“地心說(shuō)”中關(guān)于行星軌道中的“本輪和均輪”的純幾何方法統(tǒng)治了一千多年，見“105 流傳了一千多年的地心說(shuō)”，這種純幾何的方法晦澀難懂，使得一千多年來(lái)的幾何發(fā)展裹足不前。
地心說(shuō)使用純幾何的方法▲
歐洲文藝復(fù)興后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)地發(fā)展，天文、力學(xué)、航海、等方面都對(duì)幾何學(xué)提出新的需求。例如德國(guó)天文學(xué)家開普敦提出行星運(yùn)動(dòng)三大定律，意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投拋物體沿著拋物線運(yùn)動(dòng)，這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，而研究這些復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了。
阿拉伯?dāng)?shù)字的前身----印度數(shù)字▲
同時(shí)，阿拉伯人的代數(shù)學(xué)得到了發(fā)展，大多數(shù)的國(guó)家都采用了印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼，由此使計(jì)數(shù)和算術(shù)運(yùn)算得以簡(jiǎn)化，大大地提高了數(shù)學(xué)能力。另外普遍采用字母與符號(hào)表示常量、變數(shù)，使文藝復(fù)興后地?cái)?shù)學(xué)不同于古代的數(shù)學(xué)。這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)脫離了古希臘數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，離開了嚴(yán)格的公理法，而關(guān)注的實(shí)際上屬于現(xiàn)在的所謂代數(shù)和分析等數(shù)學(xué)門類。
羅馬字用在鐘表上▲
原來(lái)幾何與代數(shù)式彼此獨(dú)立的兩個(gè)分支，幾何是幾何，代數(shù)是代數(shù)，它們各自為政，互不相擾。傳統(tǒng)的幾何過(guò)分依賴圖形和形式演繹，而代數(shù)又過(guò)分受法則和公式的限制，這一切都制約了數(shù)學(xué)的發(fā)展。公元十七世紀(jì)，由法國(guó)數(shù)學(xué)家迪卡爾和費(fèi)爾瑪創(chuàng)立的解析幾何學(xué)，真正實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合、使形與數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，這是數(shù)學(xué)史上一次重大的突破。
本節(jié)以首先介紹平面直角坐標(biāo)系，然后介紹直線與圓的方程式。
1、迪卡爾與蜘蛛的故事
法國(guó)數(shù)學(xué)家迪卡爾(1596～1650)▲
笛卡爾20歲時(shí)，有一次在荷蘭看到大街上貼招賢榜，求解幾道數(shù)學(xué)題，圍觀的人議論紛紛，可沒(méi)有一個(gè)人能夠解答。笛卡爾揭下此榜，很快就把那幾道題做出來(lái)了，這使他對(duì)自己的數(shù)學(xué)才能有了自信，從此靜下心來(lái)研究數(shù)學(xué)。
1619年11月的一天，他因病躺在了床上，無(wú)所事事的他又想起了那個(gè)折磨他很久的數(shù)學(xué)問(wèn)題。天花板上，一只小小的蜘蛛從墻角慢慢地爬過(guò)來(lái)，吐絲結(jié)網(wǎng)，忙個(gè)不停。從東爬到西，從南爬到北。要結(jié)一張網(wǎng)，小蜘蛛該走多少路啊。笛卡爾就開始想如何去算蜘蛛走過(guò)的路程。他先把蜘蛛看成一個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)離墻角有多遠(yuǎn)呢？離墻的兩邊多遠(yuǎn)？
結(jié)網(wǎng)的小蜘蛛▲132-6
昏昏沉沉的他思考著，計(jì)算著，病中的他又睡著了。夢(mèng)中，他好像看見蜘蛛還在爬，離兩邊墻的距離也是一會(huì)兒大些，一會(huì)兒小些……他好像悟出了什么，又看到了什么，大夢(mèng)醒來(lái)的笛卡爾茅塞頓開：要是知道蜘蛛和兩墻之間的距離關(guān)系，不就能確定蜘蛛的位置嗎？確定了位置后，自然就能算出蜘蛛走的距離了。于是，他鄭重地寫下了一個(gè)結(jié)論：在互相垂直的兩條直線下，一個(gè)點(diǎn)可以用到這兩條直線的距離，也就是兩個(gè)數(shù)來(lái)表示，這個(gè)點(diǎn)的位置就被確定了。見下圖，P點(diǎn)的位置用3和2兩個(gè)數(shù)表示。這是一個(gè)初步的坐標(biāo)的設(shè)想。
坐標(biāo)的設(shè)想▲
這個(gè)發(fā)現(xiàn)在我們現(xiàn)在看來(lái)毫不稀奇，那不就是坐標(biāo)圖嗎？中學(xué)生的課本上多了去了，算什么呢？可是，這在當(dāng)時(shí)可真是一個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)，這是第一次用數(shù)形結(jié)合的方式將代數(shù)與幾何聯(lián)起來(lái)了。它使幾何概念用數(shù)來(lái)表示，幾何圖形也可以用代數(shù)形式來(lái)表示。這不就是解析幾何學(xué)誕生的曙光嗎。
2、平面直角坐標(biāo)系
笛卡爾平面直角坐標(biāo)系▲
上圖為正規(guī)的平面直角坐標(biāo)系，有互相垂直兩條坐標(biāo)軸，一條是X軸（橫軸）；另一條是Y軸（縱軸），每條軸都有刻度和箭頭，箭頭的指向表示該軸的正方向，兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。
四個(gè)象限▲
上圖，這兩條坐標(biāo)軸把平面劃分為四個(gè)象限，分別是羅馬字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示。圖中A點(diǎn)兩個(gè)有序的坐標(biāo)值（2，3）分別是A點(diǎn)的x,y坐標(biāo)，A點(diǎn)位于第一象限。第一象限里的點(diǎn)其坐標(biāo)值為正的，用（+,+）表示，其它象限依次類推。平面解析幾何通過(guò)平面直角坐標(biāo)系建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，或用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題。
與笛卡爾同時(shí)代對(duì)創(chuàng)立解析幾何作出重要貢獻(xiàn)的還有法國(guó)律師、業(yè)余數(shù)學(xué)家菲爾瑪，雖說(shuō)他的職業(yè)是律師，但在數(shù)學(xué)上一點(diǎn)也不亞于同時(shí)代的其他數(shù)學(xué)家。他獨(dú)立于笛卡爾，發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理。
法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪(1601～1665)▲
菲爾瑪提出：兩個(gè)未知量決定的—個(gè)方程式，對(duì)應(yīng)著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線；含有三個(gè)未知量的方程表示一個(gè)曲面。費(fèi)馬還對(duì)一般直線和圓的方程、以及關(guān)于雙曲線、橢圓、拋物線進(jìn)行了討論。笛卡爾是從一個(gè)軌跡來(lái)尋找它的方程的，而費(fèi)爾瑪是從方程出發(fā)研究軌跡的，這正是解析幾何基本原理的兩個(gè)相對(duì)方面。
以下內(nèi)容分別介紹直線方程和圓的方程。
3、直線方程
直線方程▲
在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，更多的采用參數(shù)法顯示和繪制直線和線段。
圓的方程▲
在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，繪制圓和正多邊形使用的是同一個(gè)方法，即上面介紹的圓的參數(shù)方程表達(dá)式。
圓與正多邊形使用同一種算法
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