向你介紹我是誰
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大家好，我是杭州市余杭區(qū)良渚古墩路小學(xué)的張偉明，是朱樂平名師工作站“一課研究”第二十九組的學(xué)員，很榮幸在“一課研究”微信平臺(tái)中與您相遇。
本期內(nèi)容有哪些
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聽一聽：多邊形的面積教學(xué)思考
讀一讀：多邊形的面積教學(xué)例談
想一想：趣味數(shù)學(xué)——雞蛋問題
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（一）在數(shù)學(xué)情境的重溫中，激活知識(shí)點(diǎn)
激活學(xué)生腦海中的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)習(xí)課展開的重要前提。教師以對(duì)學(xué)生深刻的讀懂創(chuàng)設(shè)一個(gè)個(gè)豐富的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生置身于問題解決中，充分激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索，讓數(shù)學(xué)的思考生長于數(shù)學(xué)情境與數(shù)學(xué)知識(shí)之間。教師適時(shí)捕捉有價(jià)值的生成，并以此為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生在交流和思考中提升對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，形成數(shù)學(xué)方法、意識(shí)、思想。
本課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，在出示了一組互相垂直的線段后，教師提問：“看著這組線段，你想到了哪些平面圖形？”，在經(jīng)歷了短暫的思考后，學(xué)生很快就想到了學(xué)過的一些平面圖形，一雙雙手都舉了起來。起點(diǎn)不高的問題情境，點(diǎn)燃了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)生插著想象的翅膀，搜尋著頭腦中已有的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而關(guān)注平面圖形的本質(zhì)屬性——互相垂直的底和高。教師則不失時(shí)機(jī)，及時(shí)讓學(xué)生計(jì)算想象出來圖形的大小，于是學(xué)生很自然的就出現(xiàn)了10×4、10×4÷2兩組算式，同時(shí)根據(jù)算式想象出了長方形、平行四邊形和三角形。在這樣的純數(shù)學(xué)情境中，學(xué)生重溫了多邊形面積的知識(shí)，教師則通過喚醒學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自然而然的拋出了課題——多邊形的面積復(fù)習(xí)。緊接著教師和學(xué)生帶著“面積該怎么計(jì)算，面積公式又是怎么推導(dǎo)出來的？”兩個(gè)問題共同瀏覽電子課本，進(jìn)一步回顧了三年級(jí)以來所有多邊形面積的學(xué)習(xí)內(nèi)容。這并不是一種簡(jiǎn)單意義上的再現(xiàn)，而是一種復(fù)習(xí)方法的指導(dǎo)?；仡櫴钦淼那疤幔菑?fù)習(xí)的第一步。在這一步后，復(fù)習(xí)就變的順利成章起來。
（二）在自主探究的梳理中，完善知識(shí)鏈
星星點(diǎn)點(diǎn)的知識(shí)，在問題解決情境中得到了激活，適時(shí)的梳理就顯得尤為重要。知識(shí)點(diǎn)在梳理中串成知識(shí)鏈，復(fù)習(xí)從點(diǎn)狀收攏成線狀。此時(shí)，給予學(xué)生思考的材料與時(shí)空，又進(jìn)一步將復(fù)習(xí)主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐與探究中把知識(shí)點(diǎn)鏈接起來，從而培育學(xué)生自主整理的數(shù)學(xué)思維。
課的梳理環(huán)節(jié)，在學(xué)生回顧了電子教材，激活了原有的知識(shí)點(diǎn)，并在練習(xí)紙上記錄下多邊形面積的公式后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形面積公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行回憶。學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)給思維一個(gè)物化的載體，放手的時(shí)空讓學(xué)生更勇于參與到回憶、討論與思考中來。為了能更充分的放手與梳理，教師先讓學(xué)生跟同伴回憶面積公式的推導(dǎo)而后全班交流，讓學(xué)生能充分、自主探究回憶面積公式推導(dǎo)過程，并在與同伴、集體的交流中隱約感受到面積在推導(dǎo)上存在的聯(lián)系。在學(xué)生交流中輔以課件操作，真實(shí)再現(xiàn)平行四邊形、三角形、梯形等多邊形面積公式的推導(dǎo)過程，將學(xué)生置身于原有的面積公式推導(dǎo)情境中，讓推理有據(jù)可循。教師適時(shí)給予評(píng)價(jià)“是的，把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積，這樣就推導(dǎo)出了平行四邊形面積公式，那跟它有關(guān)的長方形的面積公式是怎么來的你們知道嗎？”“可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形呢！那同樣是轉(zhuǎn)化成平行四邊形的還有？”……進(jìn)一步幫助學(xué)生感受這些表面上看起來獨(dú)立的知識(shí)之間存在著的千絲萬縷的關(guān)系。學(xué)生在自主探究回憶知識(shí)中充分應(yīng)用的分類、比較、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，加深的是知識(shí)的理解，鏈接的是知識(shí)的本質(zhì)。至此，一個(gè)個(gè)散裝的知識(shí)點(diǎn)因?yàn)閮?nèi)在的聯(lián)系慢慢聯(lián)立成了知識(shí)鏈。
（三）在對(duì)比反思的提升中，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)
零碎、分散的知識(shí)鏈，在學(xué)生自主梳理中得到了完善。要將教材的知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí)，還需進(jìn)一步提升。通過引導(dǎo)探尋知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比與對(duì)知識(shí)鏈的反思中，將發(fā)展變化中的數(shù)學(xué)知識(shí)鏈織成知識(shí)網(wǎng)，構(gòu)建脈絡(luò)清晰的知識(shí)模塊，在進(jìn)一步豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時(shí)，讓學(xué)生獲得認(rèn)識(shí)事物的普遍方法。
本課的提升環(huán)節(jié)，在學(xué)生把知識(shí)點(diǎn)鏈接起來后，教師試圖讓學(xué)生在更廣闊的空間里去比較、合作、反思。教師以“看來圖形間是有聯(lián)系的，這樣的推導(dǎo)關(guān)系你能用線連一連嗎？”設(shè)問，為了更有序推進(jìn)思考，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后在組內(nèi)議一議，進(jìn)行全班的匯報(bào)。在分析、比較各小組知識(shí)時(shí)，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：除了正方形外，平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成長方形，三角形、梯形可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形。正是因?yàn)榇嬖谶@樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系（這也是教材的序），所以我們可以根據(jù)長方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)出平行四邊形面積的計(jì)算方法。而這也正是下圖雙向箭頭所表示的含義。這樣，學(xué)生腦海中那些孤立、分散、無序的圖形知識(shí)點(diǎn)，以再現(xiàn)、整理等辦法，串成了鏈，攏成了片，織成了網(wǎng)，縱橫溝通，形成了結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識(shí)網(wǎng)。而在思維碰撞中，學(xué)生經(jīng)歷了由模糊到清晰、由割裂到聯(lián)系、由片面到全面、由感性到理性的認(rèn)識(shí)過程，他們又進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，雖然長方形是面積推導(dǎo)的源頭，但是平行四邊形才是圖形轉(zhuǎn)化的鼻祖，于是他們又想到知識(shí)網(wǎng)可以從平行四邊形出發(fā)，建立起基于轉(zhuǎn)化思想的知識(shí)網(wǎng)，為進(jìn)一步豐富在整體中理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和系統(tǒng)性奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。
（四）在解決問題的應(yīng)用中，感悟知識(shí)價(jià)值
復(fù)習(xí)課不應(yīng)只是知識(shí)的簡(jiǎn)單再現(xiàn)。在回顧與整理的過程中，它更多承載著溝通與生長的功能。溝通和生長的關(guān)鍵點(diǎn)在于練習(xí)。輔以教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥，為學(xué)生架構(gòu)起 “認(rèn)知橋梁”，讓學(xué)生感悟到知識(shí)間的碰撞、觸發(fā)、再成長，從而實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)，促進(jìn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生感悟知識(shí)的價(jià)值。
本課的應(yīng)用環(huán)節(jié)，學(xué)生很快就算出長方形、平行四邊形、梯形、三角形的面積都是20平方厘米。教師提問：“為什么這些圖形的面積都是20平方厘米？”。通過對(duì)圖形的分析、類比、聯(lián)想，學(xué)生發(fā)現(xiàn)長方形和平行四邊形面積相等是因?yàn)橥椎雀?；三角形的底?0厘米是平行四邊形底的2倍，高沒變，但三角形的面積要除以2，所以面積也是20平方厘米；梯形可以通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)換為底是10厘米，高是4厘米的三角形。教師根據(jù)學(xué)生的成長，拖動(dòng)圖形，學(xué)生開始深入觀察圖形的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯圖形本質(zhì)的同時(shí)，也讓梯形面積計(jì)算的萬能公式的發(fā)現(xiàn)成為可能。
接著，教師拋出更高層次的問題：“像這樣，面積和高都不變的圖形還有嗎？”。學(xué)生創(chuàng)造力迸發(fā)，創(chuàng)造了多種不同形狀的等積梯形。教師捕捉學(xué)生創(chuàng)造出的上底是1，下底為9的梯形，讓學(xué)生想像圖形的形狀，追問：“上底還能再小一點(diǎn)嗎？”。從整數(shù)自然就拓展成了小數(shù)，進(jìn)一步逼近學(xué)生頭腦中的梯形。繼續(xù)追問“上底能不能繼續(xù)小下去，直到…”打破梯形面積公式只能計(jì)算梯形的定勢(shì)，又溝了通梯形與三角形的內(nèi)在聯(lián)系，豐富梯形的教學(xué)內(nèi)涵。配合特定板書，學(xué)生很快又繼續(xù)運(yùn)動(dòng)想象，聯(lián)系了梯形與平行四邊形，然而這并不是終點(diǎn)，孩子們?cè)谶\(yùn)動(dòng)得到倒立的三角形后驚喜發(fā)現(xiàn)：“此時(shí)的梯形已經(jīng)變成了三角形，又因?yàn)閎=0梯形的面積公式就變成了ah÷2，而這就是三角形的面積公式。”順理成章的，他們又得到了平行四邊形的面積公式的另類推導(dǎo)。學(xué)生在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)知識(shí)網(wǎng)還可以以梯形為源頭，結(jié)成一張基于計(jì)算公式的新網(wǎng)。在這樣的練習(xí)題里，學(xué)生解決問題從靜態(tài)的基本圖形組成分析上升到基于關(guān)系去分析圖形之間的要素結(jié)構(gòu)與等積變換，有效實(shí)現(xiàn)了知識(shí)間的關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)化。
后記：復(fù)習(xí)課的類思考
古語有云：“溫故而知新”，道出了多邊形面積復(fù)習(xí)的真諦。教師在復(fù)習(xí)課上不應(yīng)只是給知識(shí)，給練習(xí)，更應(yīng)在一個(gè)相對(duì)民主的環(huán)境中師生共同求通，求構(gòu)，求悟。
求通，即激活知識(shí)、疏通整理。如前文復(fù)習(xí)策略（一）（二）兩點(diǎn)所述，基于學(xué)生的學(xué)習(xí)素材，給學(xué)生一個(gè)低起點(diǎn)的解決問題沃土，讓學(xué)生置身于問題解決的情境中，激活知識(shí)點(diǎn)，如知識(shí)點(diǎn)之間的時(shí)間間隔比較長，教材的重溫也非常的必要。有了知識(shí)點(diǎn)的適時(shí)喚醒，借助于物化的學(xué)習(xí)材料如學(xué)習(xí)單、圖、表等讓學(xué)生在自主探索與合作交流中，把具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)串成知識(shí)鏈。求通是以通達(dá)的知識(shí)節(jié)為求構(gòu)的知識(shí)網(wǎng)奠定基礎(chǔ)。
求構(gòu)，即對(duì)比提升、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)。如前文復(fù)習(xí)策略（三）所述，有了通達(dá)的知識(shí)節(jié)，還需要以能串聯(lián)起整個(gè)單元學(xué)習(xí)的內(nèi)核如教材學(xué)習(xí)的序、轉(zhuǎn)化思想等為立足點(diǎn)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探尋知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生在通達(dá)的知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比與對(duì)知識(shí)鏈的反思中，將發(fā)展變化中的知識(shí)鏈以思維導(dǎo)圖的形式結(jié)成知識(shí)網(wǎng)，構(gòu)建脈絡(luò)清晰的知識(shí)模塊。這種結(jié)構(gòu)化的思維導(dǎo)圖，不僅僅是知識(shí)脈絡(luò)的構(gòu)建，更是學(xué)生思維方式上的構(gòu)建。求構(gòu)是以結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)促成知識(shí)價(jià)值的深度感悟。
求悟，即鞏固應(yīng)用、感悟價(jià)值。如前文復(fù)習(xí)策略（四）所述，有了求構(gòu)的知識(shí)網(wǎng)，還需要指向于知識(shí)網(wǎng)中每個(gè)或者某個(gè)節(jié)下知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用練習(xí)，多以凸顯核心價(jià)值的簡(jiǎn)單應(yīng)用為主，即既能體現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的鞏固，又能以變式促成價(jià)值的感悟。當(dāng)然這樣的習(xí)題需要教師平時(shí)對(duì)學(xué)生典型問題的關(guān)注與對(duì)教材的深度挖掘。基于知識(shí)網(wǎng)下的結(jié)構(gòu)性應(yīng)用，更能以一種超脫的姿態(tài)助力學(xué)生在廣度、深度的悟得。
總之，雖復(fù)習(xí)課萬法，教亦無定法，但唯有從關(guān)注學(xué)生的復(fù)習(xí)結(jié)果中脫離出來，到關(guān)注知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的合理構(gòu)建與關(guān)系的自然求聯(lián)，進(jìn)而關(guān)注他們?cè)趶?fù)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的一般能力的全面發(fā)展，乃至數(shù)學(xué)思維的習(xí)得，才是作為新時(shí)期的數(shù)學(xué)教育工作者的我們持續(xù)研究的方向。
本文部分觀點(diǎn)發(fā)表于2019年12月《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)月刊》
趣味數(shù)學(xué)——雞蛋問題
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雞蛋問題
一個(gè)基督教徒提一籃雞蛋來到市場(chǎng)。商人問他：“你有多少個(gè)雞蛋？”基督教徒回答到：“先生，我不記得有多少個(gè)雞蛋，只記得我在裝雞蛋時(shí)，如果每次往籃里放2個(gè)，那么就余1個(gè)；每次放3個(gè)，也余1個(gè)；每次放4個(gè)，還余1個(gè)；每次放6個(gè)，還余1個(gè)；每次放7個(gè)，剛好一個(gè)不剩，究竟有多少個(gè)雞蛋，您自己去算吧！”
本題出自1612年出版的《趣味算題集》
答案：雞蛋數(shù)量為49、133、217、301、385、469、553、637、721……，注：原算題集中答案為721
你若盛開 蝴蝶自來
審核人：徐大彬 彭應(yīng)奎
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