關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想
【閱讀與思考】
1.線段的中點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，圖形中出現(xiàn)中點(diǎn)，可以引起我們豐富的聯(lián)想:首先它和三角形的中線緊密聯(lián)系；若中點(diǎn)是在直角三角形的斜邊上，又可以引用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”結(jié)論；其次，中點(diǎn)又與中位線息息相關(guān)；另外，中點(diǎn)還可以與中心對(duì)稱相連.
2.解答中點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，如作中線倍長(zhǎng)、作直角三角形的斜邊上的中線、構(gòu)造三角形、梯形中位線、構(gòu)造中心對(duì)稱圖形等，如圖所示:
【例題與求解】
【解析】延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，首先證明△APB≌△APE，可得AB=AE=14，PE=PB，進(jìn)而得到EC=12，再根據(jù)三角形中位線定理可以計(jì)算出PM=1/2EC=6.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形中位線定理.
方法一：
方法二：
【解析】因?yàn)轭}目沒(méi)有確定正方形EFGH的位置，所以我們可以將正方形EFGH的位置特殊化，使點(diǎn)H與點(diǎn)A重合，重新作出圖形，這樣有利于我們解題，過(guò)點(diǎn)M作MO⊥ED于O，則可得出OM是梯形FEDC的中位線，從而可求出ON、OM，然后在RT△MON中利用勾股定理可求出MN.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的中位線定理、正方形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，屬于綜合性題目，對(duì)待這樣既有動(dòng)態(tài)因素又不確定位置的題目，一定要將位置特殊化，這樣不影響結(jié)果且解題過(guò)程簡(jiǎn)單，同學(xué)們要學(xué)會(huì)在以后的解題中利用這種思想.
【解析】取AC的中點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得到AE=AF，再根據(jù)SAS判定△ABF≌△ACE，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得到BF=CE，再利用三角形中位線定理得到DC=2BF，即證得了DC=2CE.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理的綜合運(yùn)用.
【解析】(1)連接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，從而得到AD=BC，因?yàn)镋F、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線，則可以得到EF=FG=GH=EH，根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形，可推出四邊形EFGH是菱形；
(2)成立，可以根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形判定；
(3)先將圖形補(bǔ)充完整，再通過(guò)角之間的關(guān)系得到∠EHG=90°，已證四邊形EFGH是菱形，則四邊形EFGH是正方形.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用及推理論證能力.
方法一：
方法二：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的判斷，四點(diǎn)共圓的判斷與運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造四點(diǎn)共圓的條件.本題具有一定的綜合性.
【A級(jí)能力訓(xùn)練】
【解析】由AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線推出即△ABG和△ACF都是等腰三角形.根據(jù)三角形中位線定理可得FG=2DE=6，即可解題.
【點(diǎn)評(píng)】此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，有全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理的應(yīng)用等，對(duì)于初二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一道難題.
【解析】連接MN，根據(jù)中位線定理，可得出MN=DE=5cm；圖中陰影部分的面積就是圖中三個(gè)三角形的面積，由圖可知，這三個(gè)三角形的底相等都是5cm，這三個(gè)三角形的高之和是從A點(diǎn)到BC的垂線段的長(zhǎng)，利用勾股定理可求得高的值，據(jù)此可求出圖中陰影部分的面積.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的概念性質(zhì)和判定，考查了中點(diǎn)四邊形，各圖形性質(zhì)及之間的相互聯(lián)系，對(duì)角線之間的關(guān)系.
【解析】畫(huà)草圖分析，作輔助線，將求梯形的面積轉(zhuǎn)化為求等腰直角三角形的面積，利用中位線及等腰梯形的性質(zhì)可求出結(jié)果.
【解析】取AB的中點(diǎn)G，連接EG,根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EG//AD，EG=1/2AD，GF//BC，GF=1/2BC，再根據(jù)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行可得點(diǎn)G、E、F三點(diǎn)共線，然后求解即可.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，作輔助線，熟記三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵，要注意說(shuō)明點(diǎn)G、E、F三點(diǎn)共線.
【解析】首先根據(jù)梯形中位線定理可求得梯形ABCD的中位線為:(18+32)/2=25，由題意可得梯形ABCD的中位線也是梯形EFHG的中位線，據(jù)此求解.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查梯形中位線定理:梯形中位線等于上底和下底和的一半，根據(jù)已知得出梯形ABCD的中位線也是梯形EFHG的中位線，是解題的關(guān)鍵.
【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的外角性質(zhì)，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
【解析】根據(jù)中位線定理證明MH=NH，進(jìn)而證明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ為等腰三角形，即AP=AQ.
【點(diǎn)評(píng)】考查中位線定理在三角形中的應(yīng)用，考查平行線對(duì)角相等，考查等腰三角形的判定.
【解析】(1)本題主要利用重合的性質(zhì)來(lái)證明；(2)首先要連接MB、MD，然后證明△FBM≌△MDH，從而求出兩角相等，且有一角為90°；(3)根據(jù)(2)的證明過(guò)程中△FBM≌△MDH仍然成立即可證明.
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了等腰三角形的判定，偏難，學(xué)生要綜合運(yùn)用學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)來(lái)證明.
【B級(jí)能力訓(xùn)練】
【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
【點(diǎn)評(píng)】 此題要能夠巧妙構(gòu)造三角形的中位線，綜合運(yùn)用三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定.
【解析】分別過(guò)點(diǎn)D、A、E作直線BC的垂線，交BC于F、G、H，得到AG是梯形DFHE的中位線，根據(jù)圖形的中位線定理、三角形的面積公式計(jì)算即可.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的面積的計(jì)算、梯形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，三角形的三邊關(guān)系，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造中位線是本題的關(guān)鍵.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形面積的計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是分別連接OB、OA、OD、OC，利用三角同底同高的性質(zhì)求證幾個(gè)三角形面積相等，此題有一定難度，屬于難題.
【解析】取AP、BP的中點(diǎn)，并連接EM、DM、FN、DN，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)易證得△DEM≌△FDN，即可得各角的關(guān)系即可證得結(jié)論.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，涉及到直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是一道難度較大的綜合題型，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線、三角形全等的判定，作輔助線是關(guān)鍵.
【點(diǎn)評(píng)】此題比較復(fù)雜，(1)主要是利用線段垂直平分線的性質(zhì)；在解(2)時(shí)要作出輔助線，構(gòu)造出平行其性質(zhì)求解四邊形及直角三角形的中線是解答此題的關(guān)鍵.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、等腰直角三角形、三角形中位線定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)，適用于基礎(chǔ)較好的學(xué)生.
【解析】(1)①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠MBP=∠ECP再根據(jù)BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=1/2ME，而在Rt△MNE中，PN=1/2ME，即可得到PM=PN.
(2)證明方法與②相同.
(3)四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.
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