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這是2021年浙江衢州中考數(shù)學(xué)一道壓軸題，是一道矩形上的動(dòng)點(diǎn)問題。這類壓軸題一般完成起來都比較繁瑣，因此如何比較簡(jiǎn)潔地完成，也是平時(shí)練習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)。

在直角坐標(biāo)系中,過原點(diǎn)O及點(diǎn)A(8,0),C(0,6)作矩形OABC，連接OB，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，作DF⊥DE，交OA于點(diǎn)F，連結(jié)EF.點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)如圖1，當(dāng)t=3時(shí)，求DF的長(zhǎng)；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過程中，∠DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠DEF的值；

(3)連結(jié)AD，當(dāng)AD將△DEF分成的兩局部的面積之比為1:2時(shí),求相應(yīng)的t的值.

解：(1)如圖1, 當(dāng)t=3時(shí), AE=3，AB=OC=6，∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),

∵D為OB的中點(diǎn), ∴DE//AF, 又DF⊥DE，EA⊥FA, ∴DF//AE, ∴DF=AB/2=3.

【第一小題這樣做是比較完整的，條理也比較清楚。第一行可以簡(jiǎn)單寫成：當(dāng)t=3時(shí),點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)。最后一步用了中位線的判定定理，比運(yùn)用矩形的性質(zhì)簡(jiǎn)便】

(2)如圖2，過D分別作DM⊥OA于點(diǎn)M, DN⊥AB于點(diǎn)N, 則四邊形AMDN是矩形.

且DM=AB/2=3, DN=OA/2=4, 【三角形中位線定理】

∵∠MDF=∠EDF-∠EDM=90?-∠EDM,∠NDE=∠NDM-∠EDM=90?-∠EDM, ∴∠MDF=∠NDE,【這里可以考慮直接寫成：∠MDF=∠NDE(同角等余)】

∴Rt△MDF∽R(shí)t△NDE, tan∠DEF=DF/DE=DM/DN=3/4. 【在運(yùn)用相似的邊成比例的過程中，順便把結(jié)論給求了】

(3)如圖3，分別過E,F作EP⊥AD于點(diǎn)P, FQ⊥AD于點(diǎn)Q, 【兩個(gè)三角形在AD上有公邊底邊，因此高的比FP/EQ就是面積比，注意比值有兩種情形，一種情形是2，另一種情形是1/2】

易證Rt△AFP∽R(shí)t△EAQ∽R(shí)t△OAB, 【這里如果要證明，就特別繁瑣，其實(shí)完全沒有這個(gè)必要】

FP/FA=AB/OB=3/5，F(xiàn)P=3FA/5;EQ:AE=4/5, EQ=4AE/5.【三個(gè)直角三角形都是“勾三股四弦五”的關(guān)系，這樣做是為了把FP與EQ的比，轉(zhuǎn)化成FA與AE的比，因?yàn)镕A和AE都比較容易用含t的式子表示】

由(2)有FM/EN=3/4, FM=3EN/4. 【(2)中相似三角形邊的比例關(guān)系的運(yùn)用】

當(dāng)EN=AN-AE=3-t時(shí), FA=AM+FM=4+3(3-t)/4=(25-3t)/4,【對(duì)應(yīng)圖3的情形】

當(dāng)EN=AE-AN=t-3時(shí), FA=AM-FM=4-3(t-3)/4=(25-3t)/4,【對(duì)應(yīng)圖4的情形，兩種情形，EN關(guān)于t的表達(dá)式不變.當(dāng)然，圖4是沒有畫出來的必要的?！?/p>

當(dāng)FP/EQ=3FA/(4AE)=(3(25-3t)/4)/(4t)=2:1時(shí)，t=75/41.【對(duì)應(yīng)圖3的情形】

當(dāng)(3(25-3t)/4)/(4t)=1:2時(shí)，t=75/17.【對(duì)應(yīng)圖4的情形】

∴t=75/41或t=75/17.

您覺得這個(gè)過程還算簡(jiǎn)潔嗎？