作者：張?zhí)烊?/a>
弦理論中的“對(duì)偶性”（duality）被認(rèn)為是弦論研究的最重要發(fā)現(xiàn)，它指的是兩個(gè)看似毫無關(guān)系的幾何對(duì)象（或理論模型）卻擁有相同的物理。在當(dāng)今弦論尚處于研究發(fā)展、尚未被廣泛認(rèn)可的階段，弦論學(xué)家們清楚地意識(shí)到，即使將來弦論被證明是錯(cuò)的，弦論中許多與數(shù)學(xué)及科學(xué)哲學(xué)相關(guān)的內(nèi)容仍然會(huì)被留下來，而 “對(duì)偶性”必定是被留下來的理論精華之一。
理解物質(zhì)世界的方法論既是一個(gè)哲學(xué)問題也是一個(gè)物理學(xué)的問題。弦論的對(duì)偶關(guān)系將看似完全不同的理論聯(lián)結(jié)起來得到相同的物理學(xué)，這意味著宇宙大舞臺(tái)中的、不同于傳統(tǒng)粒子的“演員”也能產(chǎn)生相同的散射振幅以及其它可觀測(cè)物理量。
傳統(tǒng)物理學(xué)把物質(zhì)世界歸結(jié)為點(diǎn)粒子，弦論則是歸結(jié)為弦。按照傳統(tǒng)的經(jīng)典物理學(xué)，點(diǎn)粒子或標(biāo)準(zhǔn)模型中的基本粒子，其特性用質(zhì)量、電荷、色荷，自旋等物理量來描述，但點(diǎn)粒子沒有大小可言，也不可能解釋它們?yōu)槭裁从心切傩?，若追根到底要解釋的話，只能說是基本粒子的內(nèi)稟屬性。這“內(nèi)稟”二字好像是將我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)地?fù)踉诹肆Ｗ拥膬?nèi)部之外，也就是粒子模型描述的“點(diǎn)”沒有“內(nèi)部”可言。既然無法言及內(nèi)部結(jié)構(gòu)，當(dāng)然也解釋不了描述點(diǎn)粒子的物理量從何而來，比如電子為什么會(huì)代有電荷？把它們歸結(jié)為內(nèi)稟就是與生具有，永恒不變的，娘胎里帶來的“性質(zhì)”，自然也不需要解釋！
弦論有所不同，弦論學(xué)家認(rèn)為弦是比點(diǎn)粒子模型更深一層的還原論，他們把解釋原來的點(diǎn)粒子內(nèi)稟屬性當(dāng)作己任之一。盡管目標(biāo)尚未達(dá)到，但畢竟是一個(gè)美妙的目標(biāo)和愿望。例如，基本粒子為什么有著各不相同的質(zhì)量m，按照愛因斯坦相對(duì)論中的質(zhì)能關(guān)系，質(zhì)量m對(duì)應(yīng)內(nèi)部能量E。弦論則是通過描述弦的屬性來得到其內(nèi)部的能量屬性。
圖35-1：開弦和閉弦
弦可以是閉的，也可以是開的。閉弦是一個(gè)圈，開弦是一根有兩個(gè)端點(diǎn)的線（見圖35-1）。無論開弦閉弦，都可以規(guī)定一定的方向。不過，弦論不止一種，有的弦論用不同方向的弦代表不同的“荷”；也有的認(rèn)為開弦的端點(diǎn)可以視為帶荷的粒子：例如，一端可以是帶負(fù)荷的電子，另一端可以是帶相反電荷的正電子。第二次弦論革命后，理論物理學(xué)家威滕提出M理論，他用對(duì)偶性將5種不同的弦論統(tǒng)一在一個(gè)共同的10維（9維空間+1維時(shí)間）的框架里。
所有的弦論都包括閉弦。一般認(rèn)為：只有閉弦的振動(dòng)才產(chǎn)生引力子，開弦產(chǎn)生其它粒子。開弦或閉弦在10維時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)，可以分解為其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)及弦本身繞質(zhì)心之振動(dòng)兩部分。由此看來，弦繞質(zhì)心之振動(dòng)是我們更感興趣和必須關(guān)注的。
假設(shè)一根“弦”的長度為L，質(zhì)量為m（圖35-1中右邊所示），它是由N個(gè)部分即由N-1個(gè)彈簧鏈接起來的長度為L的一串，或者說弦類似于一個(gè)有彈性的、長為L的橡皮繩（圈）。繩子的每一小部分如同一個(gè)諧振子，小振子的振動(dòng)用相對(duì)位置變量σ 和時(shí)間變量 t 描述。對(duì)于開弦而言，σ 的變化范圍從0到 p ；而對(duì)于閉弦來說，范圍從0到2p（如圖35-1右圖所示）。
弦論學(xué)家認(rèn)為，弦的質(zhì)量m便來源于所有這些小振子的振動(dòng)能量。于是，總能量E（或質(zhì)量）就與弦的長度L有關(guān)，或者說與橡皮繩或某種材料的彈性系數(shù)（張力）有關(guān)。盡管弦長L應(yīng)該是一個(gè)很小的數(shù)值，屬于普朗克尺度范圍，但這并不妨礙建立弦理論模型。
根據(jù)弦論定義的弦概念，一定長度的弦應(yīng)該有一個(gè)最小質(zhì)量，即所有諧振子都處于基態(tài)時(shí)的能量和。人們驚奇地發(fā)現(xiàn)，為了保證光子的零靜止質(zhì)量，弦論只能容許空間是一定的維度！最早的玻色弦論，空間維度只能是25；后來的超弦論，空間維度則只能是9。所謂的10維時(shí)空的弦論就是通過計(jì)算所得到的。
從圖35-1對(duì)閉弦的描述方式來看，T對(duì)偶又可以稱作“靶空間”對(duì)偶，它是關(guān)于不同空間之間的對(duì)偶。弦論將時(shí)空分成了普通3維空間x和額外維卷曲空間y，并將環(huán)面緊致部分用y方向的圓圈R表示。所有通常將弦論的9維宇宙簡單畫地成一個(gè)如同下圖所示的花園中的水管。
圖35-2：未繞圈閉弦和繞圈的閉弦
從卷曲空間的角度看，閉弦有兩種不同形態(tài)：纏繞數(shù)w為0，或w不為0（見圖35-2a和b）。當(dāng)閉弦不纏繞額外維空間時(shí)，其質(zhì)心作自由運(yùn)動(dòng)，如同花園里一個(gè)小飛蟲，它可以在水管方向運(yùn)動(dòng)或繞水管運(yùn)動(dòng)，或者在兩個(gè)方向之間運(yùn)動(dòng)。因此，其動(dòng)量p可以是朝向3維空間方向，也可能是額外維方向，或者是兩者之組合（圖35-2a）。由于額外維度半徑R小而卷曲，py是量子化的：即該閉弦在y方向的能量應(yīng)該是 Ey ～ n/R（“～”表示二者存在著量化關(guān)系，下同）。有意思的現(xiàn)象發(fā)生于閉弦纏繞額外空間維y時(shí)（圖35-2b），這時(shí)候多了一個(gè)整數(shù) w，代表閉弦在R空間所纏繞的圈數(shù)。
纏繞閉弦除了在R方向（y）具有能量Ey ～ n/R之外，在x方向可以作整體滑動(dòng)，這部分能量的最小值正比于弦的長度 L，弦越長，最小能量越大，所包含的“東西”更多。由于圓周長正比于半徑，所以纏繞弦的極小質(zhì)量正比于繞數(shù)與半徑R的乘積：Ex ～ wR。
因此，纏繞的閉弦總能量來源于Ex 和Ey兩套不同的能譜。粗略而言，前者以R為能級(jí)間隔，后者以1/R為能級(jí)間隔。R增大，Ex的能級(jí)間隔增大，但Ey的能級(jí)間隔減??；R減小時(shí)，情況則反過來。
圖35-3：纏繞閉弦的總能譜
然而，物理測(cè)量方法并不能判別實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)來自于哪套能譜，而只能通過測(cè)量散射振幅來得到總譜中各個(gè)能級(jí)之間的躍遷情況。如圖35-3所示，總能量譜等于兩套能量譜加到一起的結(jié)果。換言之，如果有兩個(gè)不同的弦論系統(tǒng)，如果一個(gè)被認(rèn)定是卷曲維的尺寸比較小：R1=a，那么另一個(gè)卷曲維的尺寸為R2=1/a便會(huì)比較大（見圖35-4）。但是，這兩個(gè)幾何不同的系統(tǒng)的總能量譜卻是一樣的！因此，它們將表現(xiàn)出完全相同的物理性質(zhì)。這就是所謂的“閉弦理論中的T對(duì)偶性”。
圖35-4：閉弦的兩個(gè)T對(duì)偶系統(tǒng)
T對(duì)偶顯示的物理非常奇怪。因?yàn)?/span>R是以普朗克長度lp為單位，所以R=1=1/R意味著額外維的大小是 lp。由于兩個(gè)T對(duì)偶系統(tǒng)是一樣的，假如二者分別為R=10，1/R=0.1，這兩個(gè)系統(tǒng)的物理性質(zhì)也是一樣的。于是，弦論得出一個(gè)非常令人驚訝的結(jié)論：不論卷曲世界是“粗”還是“細(xì)”，它們的物理規(guī)律是等效的。
圖35-4是T對(duì)偶的最簡單情形，很容易推廣到6維平坦環(huán)面，也就是圓的乘積，只需要將R用多個(gè)Ri代替即可。六維的Ri環(huán)面與六維的1/Ri環(huán)面，幾何尺寸完全不同，其物理屬性是無法區(qū)分的。卡拉比-丘流形（link）被認(rèn)為是6維額外卷曲空間最符合實(shí)際的理論模型。Philip Candelas等人在上世紀(jì)90年代發(fā)現(xiàn)了卡拉比-丘流形中的“鏡像對(duì)稱”流形，并將其用于枚舉幾何，計(jì)算卡丘流形上有理曲線的數(shù)目，從而啟發(fā)數(shù)學(xué)家解決了一些長期的難題（link）。
弦論學(xué)者們已經(jīng)證明：卡拉比-丘流形的鏡對(duì)稱就是T對(duì)偶性。當(dāng)然，卡拉比-丘流形的鏡像對(duì)稱并不是通常意義下所說的“鏡中之像”那種反演對(duì)稱，而是指卡拉比-丘流形之間的一種特殊關(guān)系。這是一種很奇怪的“鏡對(duì)稱”：互為“鏡伴”的兩個(gè)流形雖然在幾何上差別很大，拓?fù)湫螒B(tài)也很不同，然而它們遵循T對(duì)偶性，在物理上卻是不可區(qū)別的，意思就是說物理規(guī)律是一樣的。
之后，丘成桐等三位數(shù)學(xué)家發(fā)表的SYZ論文，為“鏡對(duì)稱”提供了一個(gè)比較簡單直觀的幾何圖像。他們認(rèn)為，卡拉比-丘流形基本上可以分成兩個(gè)三維的部分，彼此以類似笛卡兒乘積的方式糾纏在一起。其中一個(gè)空間是三維環(huán)面，如果你將這個(gè)空間分離出來，并將它“倒轉(zhuǎn)”后（將半徑r變成半徑1/r）再重組回去，就可以得到原來卡拉比-丘流形的鏡流形。
將額外維的半徑從R變成1/R，在物理上卻沒有區(qū)別，乍一聽視乎不可理解。讀者可能會(huì)問：這個(gè)額外維世界到底是多大？是R還是1/R？它是客觀真實(shí)存在的嗎？難道就沒有一個(gè)辦法準(zhǔn)確地測(cè)量它？在“傳統(tǒng)”幾何學(xué)中，半徑為R的圓與半徑為1/R的圓是絕對(duì)不同大小的兩個(gè)幾何實(shí)體，在廣義相對(duì)論的彎曲空間中，它們也應(yīng)該是對(duì)應(yīng)于兩個(gè)物理規(guī)律不同的世界。然而在弦論中，它們卻奇怪地互為對(duì)偶，反映同樣的物理規(guī)律，這難道不令人困惑嗎？
弦論專家并未因困惑而止步，反倒是認(rèn)為這正表現(xiàn)了“弦”模型相對(duì)于“點(diǎn)”模型的魅力所在。在弦論看來，因?yàn)?/span>R所用的單位是普朗克長度lp，大約等于1.6162×10-35米。如果R=100，大約是10-33米數(shù)量級(jí)的話，另外一個(gè)對(duì)偶的R=0.01的小宇宙比普朗克長度還要小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。正是因?yàn)檫@種尺度，粒子物理的“點(diǎn)”模型碰到了難以克服的困難：廣義相對(duì)論與量子力學(xué)之間顯露出了矛盾，連續(xù)光滑的黎曼幾何不能使用，廣義相對(duì)論對(duì)時(shí)空中的小尺度量子漲落無能為力。
“點(diǎn)粒子”模型無法言及粒子半徑也是一個(gè)短板，它只能認(rèn)為粒子的幾何尺度為0。這意味著可以用點(diǎn)粒子作為探針來分解和測(cè)量任意小的空間，但實(shí)際上這是不可能做到的，因?yàn)橐芰孔恿W(xué)不確定性原理的限制，所以點(diǎn)模型在理論上就不能自圓其說。
弦論就聰明多了。弦不是一個(gè)點(diǎn)，而是一段具有伸展性的“弦”，它具有與普朗克尺度可比較的長度。弦作為最基本的元素，也能當(dāng)探針使用。但是，對(duì)不起，它只能測(cè)量比它大的東西，普朗克長度以下的空間結(jié)構(gòu)性質(zhì)，弦是探測(cè)不到的，也很難去測(cè)量那么小的長度。所以，弦的延伸本性使我們不可能在弦論中探測(cè)普朗克長度以下的現(xiàn)象，諸如普朗克尺度下的什么“量子漲落”、黎曼幾何災(zāi)難，都只能視而不見，探測(cè)不了。然而，按照量子物理的觀念，只有可以探尋和測(cè)量的事物才是存在，而按弦論，普朗克長度以下的現(xiàn)象可以說是不存在的。要了解半徑小于普朗克長度以下的空間，弦論有一個(gè)美妙的T對(duì)偶性，我們探索半徑大于普朗克長度的空間就等于探索了更小的空間。
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