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1. 哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）：每個(gè)大于等于4的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。
哥德巴赫猜想被簡(jiǎn)化地描述為1+1（1是指由質(zhì)數(shù)本身表示的那個(gè)自然數(shù)，它不是由質(zhì)數(shù)合成的數(shù)，即不是殆素?cái)?shù)）。由于這個(gè)猜想太難啃，人們先嘗試了攻克它的較弱版本，如9+9、1+3等等。陳景潤(rùn)證明的是1+2，即任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)都可以表示為一個(gè)質(zhì)數(shù)加上一個(gè)質(zhì)因數(shù)數(shù)目不超過(guò)2的數(shù)。迄今為止，陳景潤(rùn)1+2是最強(qiáng)結(jié)果，雖然離哥德巴赫猜想只有一步之遙，但這一步極其困難。
2. 考拉茲猜想（Collatz conjecture），亦稱角谷猜想、冰雹猜想、421猜想、3x+1猜想，等等。
根據(jù)3x+1理解猜想很直觀：取一個(gè)正整數(shù)，如果它是偶數(shù)，把它除以2，如果它是奇數(shù)，把它乘以3再加上1，即變成3x+1。猜想說(shuō)的是：按照這樣的規(guī)則操作，無(wú)論奇數(shù)x等于多少，經(jīng)過(guò)有限次的3x+1迭代循環(huán)，最終都可以得到結(jié)果1。數(shù)學(xué)家們用計(jì)算機(jī)已經(jīng)驗(yàn)證到了2^68 ≈ 2.95×10^20，都滿足這個(gè)規(guī)律，但不意味對(duì)所有自然數(shù)都是成立的。
3. 勒讓德猜想（Legendre’s conjecture）：對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)n，在n^2和(n + 1)^2之間都至少存在一個(gè)質(zhì)數(shù)p。
這個(gè)猜想最重要的結(jié)果是伯特蘭-切比雪夫定理：對(duì)于任何大于3的自然數(shù)n，都至少存在一個(gè)質(zhì)數(shù)p滿足n<p<2n-2。勒讓德猜想看起來(lái)只是伯特蘭-切比雪夫定理的一個(gè)改進(jìn)，但這個(gè)改進(jìn)到現(xiàn)在還是沒(méi)有獲得證明。
4. 孿生質(zhì)數(shù)猜想（twin prime conjecture）：設(shè)p1,p2是質(zhì)數(shù)，若p2=p1+2，則稱p1和p2為孿生質(zhì)數(shù)。人們猜想存在無(wú)窮多對(duì)孿生質(zhì)數(shù)。
中國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在這個(gè)問(wèn)題上取得了突破性進(jìn)展，他證明了存在無(wú)窮多對(duì)質(zhì)數(shù)，它們之間的差距不超過(guò)7千萬(wàn)。與2相比較，雖然7千萬(wàn)看起來(lái)很大，但以前是完全不能肯定有這樣的上限存在，所以張益唐是從無(wú)限到7千萬(wàn)的進(jìn)展，是質(zhì)的跨越。假如把7千萬(wàn)縮小到2，就證明了孿生質(zhì)數(shù)猜想。目前已經(jīng)將7千萬(wàn)縮小到了246，但再往下就十分困難了。
5. 梅森質(zhì)數(shù)猜想。梅森（Marin Mersenne, 1588－1648）是十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家，他研究了2^p-1類型的數(shù)（p是質(zhì)數(shù)）。后來(lái)人們把這樣的數(shù)叫做梅森數(shù)（記為Mp）。如果對(duì)于某個(gè)p，Mp是個(gè)質(zhì)數(shù)則稱之為梅森質(zhì)數(shù)。梅森質(zhì)數(shù)猜想說(shuō)的就是：存在無(wú)窮多個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。
尋找梅森質(zhì)數(shù)是目前尋找大質(zhì)數(shù)最好的辦法。近幾十年來(lái)找到的最大質(zhì)數(shù)都是通過(guò)對(duì)梅森質(zhì)數(shù)的搜索所得到的。如2018年發(fā)現(xiàn)了目前最大的梅森質(zhì)數(shù)，也就是目前已知的最大質(zhì)數(shù)2^82589933-1，它是一個(gè)有24862048位的數(shù)。
6. n^2 + 1猜想：存在無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)n，使得n^2+1是質(zhì)數(shù)。
這個(gè)猜想的表述出奇的簡(jiǎn)單，證明卻完全無(wú)從著手。
7. 費(fèi)馬數(shù)猜想。這個(gè)猜想是說(shuō)費(fèi)馬數(shù)中的質(zhì)數(shù)只有有限多。所謂費(fèi)馬數(shù)，是指形如2^(2^n)+1的數(shù)，其中n=0，1，2，3，4……，通常把它記為F(n)。
費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601 - 1665）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n從0到4時(shí)，F(xiàn)(n)的值分別是3、5、17、257和65537，它們都是質(zhì)數(shù)。由于下一個(gè)F(5)太大，費(fèi)馬沒(méi)有去檢驗(yàn)，于是他猜測(cè)費(fèi)馬數(shù)全都是質(zhì)數(shù)。然而將近一百年后，歐拉發(fā)現(xiàn)F(5)是個(gè)合數(shù)，F(5)=641 × 6700417，推翻了費(fèi)馬的猜想。更令人大跌眼鏡的是，后來(lái)人們算出的費(fèi)馬數(shù)全都是合數(shù)，再也沒(méi)見(jiàn)到一個(gè)質(zhì)數(shù)！那么將 費(fèi)馬數(shù)猜想反過(guò)來(lái)，是否意味著費(fèi)馬數(shù)中只有有限個(gè)質(zhì)數(shù)，或再進(jìn)一步，費(fèi)馬數(shù)中的質(zhì)數(shù)是否只有最初的那五個(gè)呢？
8. 奇完全數(shù)猜想。完全數(shù)（perfect number）亦稱完滿數(shù)、完美數(shù)，是指它的所有真因數(shù)之和等于它自己。注意，真因數(shù)不同于是質(zhì)因數(shù)，真因數(shù)是指小于它自己的因數(shù)，這些真因數(shù)中有的可能是合數(shù)。例如6是一個(gè)完全數(shù)，因?yàn)?的真因數(shù)只有1、2、3，而1 + 2 + 3剛好等于6。又如28的所有真因數(shù)是1、2、4、7、14，這些數(shù)加起來(lái)等于28，所以28也是完全數(shù)。
截止2018年，已經(jīng)找到了51個(gè)完全數(shù)，它們?nèi)际桥紨?shù)，且都能表示成Mp+1（Mp為梅森質(zhì)數(shù)）。奇完全數(shù)猜想就是問(wèn)是否存在奇完全數(shù)？目前完全不清楚。假如存在奇的完全數(shù)，那么它必須要大于10^1500。
9. 完美長(zhǎng)方體猜想。所謂完美長(zhǎng)方體（perfect cuboid），就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和所有的對(duì)角線（包括面對(duì)角線和體對(duì)角線）的長(zhǎng)度都是整數(shù)。
記長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為a、b、c是三個(gè)自然數(shù)，假如a^2+b^2、a^2+c^2、b^2+c^2以及a^2+b^2+c^2都是平方數(shù)，那么這樣的長(zhǎng)方體就是完美長(zhǎng)方體。是否存在這樣的一組自然數(shù)就是完美長(zhǎng)方體猜想。 我們只知道勾股數(shù)，但三個(gè)平方數(shù)相加在什么情況下是平方數(shù)還沒(méi)有解決，所以完美長(zhǎng)方體是否存尚不能證明或也不能證偽。數(shù)值驗(yàn)證表明，如果存在完美長(zhǎng)方體，那么它最小的奇數(shù)棱長(zhǎng)不小于2.5 × 10^13（https://unsolvedproblems.org/S58.pdf）。
10. 黎曼猜想（Riemann hypothesis）。這個(gè)猜想說(shuō)的是黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都等于1/2。如果用復(fù)平面表示黎曼猜想：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都在實(shí)部等于1/2的臨界線上。
要理解黎曼猜想非常不容易，因?yàn)樾枰獜?fù)變函數(shù)的知識(shí)。目前人們認(rèn)為它是整個(gè)數(shù)學(xué)界最重要、最著名的那“一個(gè)”未解之謎。
11. 歐拉-馬歇羅尼常數(shù)（Euler-Mascheroni constant）問(wèn)題。這個(gè)常數(shù)源于歐拉證明了所有自然數(shù)的倒數(shù)和（1+1/2+1/3+…+1/n+...）是發(fā)散的，而它發(fā)散的速度是lnn。這說(shuō)明1+1/2+1/3 +…+1/n-lnn在n趨于無(wú)窮時(shí)會(huì)趨于一個(gè)極限，這個(gè)極限現(xiàn)在被稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)。馬歇羅尼（Lorenzo Mascheroni，1750 - 1800）是一位意大利數(shù)學(xué)家，他把這個(gè)常數(shù)記為γ，并把它算到了小數(shù)點(diǎn)后32位，但后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)他在第20位出現(xiàn)了錯(cuò)誤。盡管如此，馬歇羅尼通過(guò)對(duì)這個(gè)常數(shù)的研究還是把他的名字刻在了數(shù)學(xué)史上。
現(xiàn)在我們知道，γ約等于0.57721。問(wèn)題是，它是一個(gè)有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)？直覺(jué)上，它是無(wú)理數(shù)的概率顯然比它是有理數(shù)的概率大得多——但目前完全無(wú)法證明。其實(shí)數(shù)學(xué)里還有很多類似的問(wèn)題，如圓周率π和自然對(duì)數(shù)的底e都早已證明了是無(wú)理數(shù)，但π+e是不是無(wú)理數(shù)目前就沒(méi)人知道！
12. 黎曼ζ函數(shù)在k為正奇數(shù)時(shí)ζ(k)是否為超越數(shù)？
超越數(shù)是那些不能表示成整系數(shù)多項(xiàng)式方程的解的數(shù)，它是無(wú)理數(shù)的一個(gè)真子集。例如根號(hào)2是無(wú)理數(shù)，但它不是超越數(shù)，因?yàn)樗钦禂?shù)多項(xiàng)式方程x^2-2=0的解。而π已經(jīng)被證明是超越數(shù)，由此得到一個(gè)重大結(jié)果：經(jīng)典尺規(guī)作圖“化圓為方”無(wú)解，因?yàn)槟悴豢赡芡ㄟ^(guò)有限次操作得到根號(hào)π。 當(dāng)k為正偶數(shù)時(shí)，已經(jīng)證明了ζ(k)必然是超越數(shù)，對(duì)于k為正奇數(shù)的情形來(lái)說(shuō)，ζ(k)是不是超越數(shù)目前還不知道答案。
13. 埃爾德什倒數(shù)和猜想。這個(gè)猜想的表述十分奇妙：如果A是一個(gè)正整數(shù)的無(wú)窮子集，而且A中所有數(shù)的倒數(shù)和發(fā)散，那么A包含任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列。
因?yàn)樗凶匀粩?shù)的倒數(shù)和發(fā)散，所以會(huì)有它的子集也滿足倒數(shù)和發(fā)散。但為什么這會(huì)導(dǎo)致A包含任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列，埃爾德什的思路真是天馬行空！一個(gè)有趣的特例是所有質(zhì)數(shù)的集合，格林和陶哲軒證明了所有質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和發(fā)散，而且所有質(zhì)數(shù)中包含任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列。這個(gè)成果幫助陶哲軒得到菲爾茲獎(jiǎng)。
14. 拉姆塞數(shù)（Ramsey number）問(wèn)題。
什么叫拉姆塞數(shù)？拉姆塞理論概念是：給定足夠多的樣本，那么任何復(fù)雜的結(jié)構(gòu)都會(huì)必然出現(xiàn)。例如有一個(gè)著名的定理：6個(gè)人中必然有3個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或者3個(gè)人互相不認(rèn)識(shí)。換一種說(shuō)法，6個(gè)點(diǎn)之間兩兩連線，每條線都是紅色或藍(lán)色，那么必然會(huì)出現(xiàn)一個(gè)紅色三角形或者一個(gè)藍(lán)色三角形。這個(gè)定理用拉姆塞理論的語(yǔ)言說(shuō)，就是R(3, 3)=6。給定兩個(gè)自然數(shù)s和t，拉姆塞數(shù)R(s, t)的意思是：達(dá)到這么多人，其中就必然有s個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或者t個(gè)人互相不認(rèn)識(shí)。拉姆塞證明了，這樣的數(shù)必然存在。然而確定拉姆塞數(shù)的難度上升得極快。目前已經(jīng)知道R(1, 1)=1， R(2, 2)=2，R(3, 3)= 6，R(4, 4) =18，但再往上我們就不知道了。對(duì)于R(5, 5)，可以確定它在43到48之間，但具體是多少仍然不知道。對(duì)于更大的n更是一頭霧水。為了表達(dá)拉姆塞問(wèn)題的難度，埃爾德什有一段著名的論述：
設(shè)想有一支外星人的軍隊(duì)，比我們強(qiáng)大得多，降落到地球上，要求我們給出R(5, 5)的值，否則就摧毀地球。在這種情況下，我們應(yīng)該調(diào)集我們所有的計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)家，嘗試找到這個(gè)值。但假如外星人要求的是R(6, 6)，那么我們最好的選擇就是嘗試攻擊外星人。
15. 華林問(wèn)題（Waring’s problem）。
英國(guó)數(shù)學(xué)家華林（Edward Waring，1736 - 1798）發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)自然數(shù)都可以表示成最多9個(gè)立方數(shù)之和，也可以表示成最多19個(gè)四次方數(shù)之和。于是他問(wèn)，對(duì)于任何一個(gè)大于1的自然數(shù)k是否都存在某個(gè)數(shù)g(k)，使得任何自然數(shù)都可以表示成不超過(guò)g(k)個(gè)k次方數(shù)之和？希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）給出了肯定的回答：對(duì)于任意一個(gè)k，都存在相應(yīng)的g(k)。但他只是證明了g(k)的存在性，如何把g(k)用k表示出來(lái)還不清楚。后來(lái)數(shù)學(xué)家們找到了一個(gè)g(k)的表達(dá)式，唯一的問(wèn)題是……它其實(shí)不是一個(gè)表達(dá)式，而是三個(gè)表達(dá)式，分別對(duì)應(yīng)三種可能的情況。然后，數(shù)學(xué)家猜測(cè)這三種情況中只有第一種會(huì)發(fā)生，那么答案就會(huì)簡(jiǎn)化到只剩第一個(gè)表達(dá)式（見(jiàn)維基百科）。
16. ABC猜想。這個(gè)猜想說(shuō)的是：如果有兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)a和b，它們的和a+b=c，那么在絕大多數(shù)情況下，abc的根積rad(abc)>c。
所謂根積（radical），就是先把一個(gè)自然數(shù)分解成所有質(zhì)因數(shù)的乘積，然后把所有的質(zhì)因數(shù)相乘一次（無(wú)論某個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)了多少次都只乘一次）。例如10=2×5，它的根積就是2×5=10；12= 2×2×3，它的根積就是2×3=6。ABC猜想還有一個(gè)非常討厭的地方，它說(shuō)的不是一定如此，而是“在絕大多數(shù)情況下”。為什么會(huì)這樣，以及如何精確地表示“絕大多數(shù)情況”，可參看相關(guān)介紹文章。如果證明了ABC猜想，就能快速地證明費(fèi)馬大定理。有意思的是，有一位日本數(shù)學(xué)家望月新一號(hào)稱證明了它，為此他提出了一整套理論，叫做“宇宙際Teichmüller理論”。望月新一對(duì)ABC猜想的證明到底對(duì)不對(duì)，目前除了他和京都大學(xué)的同事之外，基本沒(méi)人相信他真的證明了ABC猜想，因?yàn)槿藗儧](méi)法看懂他的論文。有些數(shù)學(xué)家認(rèn)真研究了望月新一的論文，指出了其中的一些錯(cuò)誤后，新一做了相應(yīng)的修正，宣稱這些錯(cuò)誤已經(jīng)補(bǔ)上了，但也有數(shù)學(xué)家認(rèn)為有些錯(cuò)誤仍然沒(méi)有得到彌補(bǔ)。新一認(rèn)為自己的證明沒(méi)錯(cuò)，只不過(guò)是這些數(shù)學(xué)家沒(méi)看懂而已，但在大多數(shù)數(shù)學(xué)家看來(lái)，“這論文這么不友好，不值得為它去花費(fèi)時(shí)間”。
另外，著名的費(fèi)馬大定理在1994年由懷爾斯畫(huà)上了句號(hào)。
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