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巧用旋轉(zhuǎn)解題

【例題講解】

一、當條件中出現(xiàn)“鄰邊相等+對角互補十半角”

二、當條件中出現(xiàn)“鄰邊相等+半角”

【解題思路】

分析題意可知∠BAP+∠CAQ=30°，充分利用這一點是解答本題的關(guān)鍵.思路一:可以將△BAP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AC重合，設(shè)點P的對應點為P'，過點P'作BC的垂線，利用特殊角和勾股定理，求出線段P'Q的長；然后證明△QAP'≌△QAP，得到線段PQ的長，進一步得到線段AB的長.思路二:可以將△BAP沿直線AP翻折得△B'AP，連接B'Q，證明△B'AQ≌△CAQ，從而發(fā)現(xiàn)△B'PQ中，∠PB'Q=120°，PB'=2，QB'=3，可求線段PQ的長，進一步得到線段AB的長.

【點評】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

三、當條件中出現(xiàn)“鄰邊相等+對角互補”

四、僅有“鄰邊相等”

【鞏固練習】

【解析】

如圖，將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，連接PE，只要證明PA、PB、PC為邊組成的三角形就是△PEB，再求出其內(nèi)角即可.

【點評】

本題考查等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

【解析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，進而根據(jù)∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，設(shè)BP=BP'=a、AP=CP'=b，在RT△PP'C中根據(jù)勾股定理可得CP'=v(9-2a2)，最后由BP的長a為整數(shù)可得AP.

【點評】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形、勾股定理等知識點，熟練運用這些性質(zhì)、定理得出a、b間的關(guān)系式是關(guān)鍵.

【點評】

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形、學會利用分割法解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

【解析】

首先過點D作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB，由AB為O的直徑，∠ACB的平分線交O于點D，可證得Rt△AFD≌Rt△BGD(HL)，Rt△CDF≌Rt△CDG(HL)，則可得AC+BC=CF-AF+AG+BG=CF+CG=2CF，△CDF是等腰直角三角形，繼而求得答案.

【點評】

此題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì).能準確作出輔助線，借助于方程求解是解此題的關(guān)鍵.

【點評】

本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，難度適中.