題目：正整數(shù)a,b都是完全平方數(shù)，它們的和a+b也是完全平方數(shù)。小明說：a和b的乘積一定能被144整除。請問小明的說法正確嗎？
這道題屬于數(shù)論問題，如果要說明小明的說法錯誤，只需要構(gòu)造出一個反例；如果要說明小明的說法正確，需要給出嚴格的證明。這種類型的題目通常選擇嚴格證明，這道題也不例外。
如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘后，再繼續(xù)。
思路分析：
不難發(fā)現(xiàn)144=12^2=9*16，(注：12^2表示12的平方)，由于a和b都是完全平方數(shù)，要說明ab是144的整數(shù)倍，就是要說明a或b是9的整數(shù)倍，且a或b是16的整數(shù)倍。這就是解題的突破口。解題過程需要用到余數(shù)的兩個知識點，設(shè)m,n,x,y,r,s都是正整數(shù),x除以n的余數(shù)是r,y除以n的余數(shù)是s,(1)若m=x+y,則m與r+s除以n的余數(shù)相同；(2)若m=x*y,則m與r*s除以n的余數(shù)相同。
假設(shè)a,b的最大公約數(shù)是d,且a=dp,b=dq,先考慮完全平方數(shù)除以3或4的余數(shù)，再考慮p和q有無可能都不整除9，再考慮p和q有無可能都是奇數(shù)，再考慮p和q有無可能都不整除16，最后考慮原題目的答案。
下面我們開始解答
步驟1：先思考第一個問題，完全平方數(shù)除以3或4的余數(shù)是多少？任意一個正整數(shù)，除以3后余數(shù)只可能是0,1,2，平方后除以3的余數(shù)只能是0或1;類似的任意一個正整數(shù)，除以4后余數(shù)只可能是0,1,2,3,平方后除以4的余數(shù)只能是0或1。下面的步驟中將用到這兩個結(jié)論。
步驟2：再考慮第二個問題，p和q有無可能都不整除9？由于a,b和a+b都是完全平方數(shù)，故d,p,q和p+q也都是完全平方數(shù)。如果p和q都不是9的整數(shù)倍，
則p和q都不是3的整數(shù)倍，根據(jù)步驟1的結(jié)論，p和q除以3的余數(shù)都是1，根據(jù)余數(shù)的第(1)個知識點，p+q除以3的余數(shù)就是2，這與p+q是完全平方數(shù)矛盾。因此p和q中一定有一個能整除9。
步驟3：再考慮第三個問題，p和q有無可能都是奇數(shù)？如果p,q都是奇數(shù)，則根據(jù)步驟1的結(jié)論，p和q除以4的余數(shù)都是1，根據(jù)余數(shù)的第(1)個知識點，p+q除以4的余數(shù)就是2，這與p+q是完全平方數(shù)矛盾，故p,q之間一定有一個偶數(shù)，又因為p,q的最大公約數(shù)是1，因此p,q一定是一奇一偶，以下不妨假設(shè)p為偶數(shù)q為奇數(shù)。
步驟4：再考慮第四個問題，p和q有無可能都不整除16？在步驟3的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考，假設(shè)p=(2m)^2 ,q=(2n+1)^2,由于p+q是奇數(shù)且是完全平方數(shù)，故存在正整數(shù)k，使p+q=(2k+1)^2,則 (2m)^2=(2k+1)^2-(2n+1)^2=4(k^2+k-n^2-n)=4[k(k+1)-n(n+1)],即m^2= k(k+1)-n(n+1),注意到k(k+1)和n(n+1)都是偶數(shù)，故m^2也是偶數(shù)，這說明m是偶數(shù)，因此p=(2m)^2一定能整除16。
步驟5：綜合上述幾個問題，考慮原題目的答案。從步驟2得到p或q能整除9，從步驟3和4得到p或q能整除16，因此pq一定能整除144，則ab也一定能整除144，
所以小明的說法正確。
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思考題：n和n+13都是完全平方數(shù)，請問滿足條件的n有多少個？
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