2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省預(yù)賽第12題：
求證：
（1）方程 恰有一個(gè)實(shí)根 ，并且 是無理數(shù)；
（2） 不是任何整數(shù)系數(shù)二次方程 （ ， 
）的根．
證明 ? ?（1）設(shè)函數(shù) ，則
當(dāng) 時(shí)， ，于是函數(shù) 單調(diào)遞增，注意到 ， ，因此函數(shù) 在 上有一個(gè)實(shí)根，且此根在區(qū)間 上．
當(dāng) 時(shí)，有
當(dāng) 時(shí)，有
于是方程 恰有一個(gè)實(shí)根．下面用反證法證明該實(shí)根為無理數(shù)．
若實(shí)根 ，其中 為互質(zhì)的正整數(shù)，則
因此 為無理數(shù)．
（2）用反證法．若不然，則有
因此原命題得證．
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