孫子曰：“夫用兵之法，全國為上，破國次之；全軍為上，破軍次之；全旅為上，破旅次之；全卒為上，破卒次之；全伍為上，破伍次之。是故百戰(zhàn)百勝,非善之善者也?！?/p>

立體幾何是高考數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的主體內(nèi)容, 立體幾何的最值問題是當(dāng)前高考命題的一個熱點。命題者特別關(guān)注空間幾何中的最值與函數(shù)、不等式、平面幾何、三角函數(shù)等知識的聯(lián)系，使得有些題目看起來偏難。

本文整理了歷年高考題和模擬題，從中提煉出立體幾何最值問題的五個策略，應(yīng)用相應(yīng)策略，可以解決所有立體幾何中最值問題。

策略一：構(gòu)造函數(shù)求最值

解題關(guān)鍵：恰當(dāng)引入?yún)⒆兞?，準確地建立目標(biāo)函數(shù)，借助于函數(shù)的思想和方法, 然后根據(jù)表達式的結(jié)構(gòu)特征用代數(shù)知識求最值。常見的有：二次函數(shù)，對勾函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)。

1、在四面體ABCD內(nèi)部有一點O，滿足OA＝OB＝OC＝4，OD＝1，則四面體ABCD體積的最大值為　　．

【分析】由定、動結(jié)合可得，要使四面體ABCD體積最大，需OD⊥平面ABC，設(shè)O在平面ABC上的投影為G，且OG＝x，求出三角形ABC的外接圓的半徑，得到三角形ABC面積的最大值，代入體積公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得答案．

策略二：利用均值不等式求最值

解題關(guān)鍵：構(gòu)建兩個變量的等式，應(yīng)用均值不等式求出最值

【分析】將該線段放于長方體的體對角線，則它的三視圖分別是長方體三個面的對角線，構(gòu)建長方體的長寬高和體對角線之間的方程，利用均值不等式可求出最大值！

策略三：構(gòu)建三角函數(shù)

解題關(guān)鍵：找到合適的角作為變量，用三角函數(shù)表示長度，可以幫助我們將題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式（三角函數(shù)式），進而求得最值！

【分析】題目中只給出了一個定值，顯然不能直接計算面積的最值，而分析題中所給的條件，有垂直關(guān)系，這樣就存在直角三角形，給三角函數(shù)的運用創(chuàng)造了條件。

【分析】利用AB與投影面α所成角為θ，∠BAC＝120°，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAD＝θ，建立正視圖的面積為m和側(cè)視圖的面積為n的關(guān)系，利用30°≤θ≤60°求解mn的最大值．

策略四：立體圖形展開為平面

解題關(guān)鍵：將空間圖形展開，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，一般用于求選擇路徑問題，幾何中的最值問題等。

應(yīng)用此法可化折為直、化曲為直。一定要重視圖形翻折前后的對比,，以及空間圖形的棱、側(cè)棱、母線等分別是平面圖形中的哪些量, 從而進行計算。

【分析】將三棱錐的側(cè)面展開，從A點蟲子爬行繞三棱錐側(cè)面一圈回到點A的距離中，蟲子爬行的最短距離，可轉(zhuǎn)化為求AA1的長度，利用勾股定理即可得到答案．

【分析】由題意，利用側(cè)面展開圖，則頂角為60°，利用正三角形可得螞蟻爬行的最短路程．

【解答】解：由題意，利用側(cè)面展開圖兩次，則頂角為60°，三角形是正三角形，

可得螞蟻爬行的最短路程為：2．

故答案為：2

【分析】連A1B，沿BC1將△CBC1展開與△A1BC1在同一個平面內(nèi)，不難看出CP+PA1的最小值是A1C的連線．（在BC1上取一點與A1C構(gòu)成三角形，因為三角形兩邊和大于第三邊）由余弦定理即可求解．

策略五：建坐標(biāo)系，空間向量求解

解題關(guān)鍵：向量的相關(guān)知識是高中數(shù)學(xué)中重要的解題方法，對于立體圖形中線段可以變成相應(yīng)的數(shù)量之間的運算關(guān)系，并且運用向量還可以表示空間中直線的位置關(guān)系，掌握向量在立體幾何解決最值問題有著很大的幫助。

【分析】（I）連接AD，DE，AE，可證AD⊥PQ，DE⊥PQ，從而可證PQ⊥平面ADE．

（II）設(shè)AD＝x，得到d2關(guān)于x的二次函數(shù)從而可得d何時最小并能求得此時四棱錐A﹣PBCQ的體積．