將軍飲馬模型
“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．
模型1：直線與兩定點
模型實例
例1：如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，則PD＋PE最小值是 ．
解答：如圖所示，∵點B與點D關(guān)于AC對稱，
∴當(dāng)點P為BE與AC的交點時，PD＋PE最小，且線段BE的長．
∵正方形ABCD的面積為12，∴其邊長為
∵△ABE為等邊三角形，∴BE＝AB＝．∴PD＋PE的最小值為．
例2：如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P為CD上的動點，則 的最大值是多少？
解答：
如圖所示，作點A關(guān)于CD的對稱點A′，連接A′C，連接A′B并延長交CD于點P，則點P就是的值最大時的點，＝A′B．
∵△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．
∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．
∵點A、A′關(guān)于CD對稱，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，
∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．
∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等邊三角形，∴A′B＝BC＝4．∴的最大值為4．
練習(xí)
1．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC＋ED的最小值是 ．
解：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到，使O=OC，連接D，交AB于E，連接B，此時DE+CE=DE+E=D的值最小．連接B，由對稱性可知∠BE=∠CBE=45°，∴∠CB=90°，∴B⊥BC，
∠BC=∠BC=45°，∴BC=B=2，∵D是BC邊的中點，∴BD=1，根據(jù)勾股定理可得：
D=
，故EC+ED的最小值是
模型2兩動點一定長
模型 | 作法 | 結(jié)論 |
點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得△PCD周長最?。?/span> | 分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求． | △PCD周長的最小值為P′P″ |
點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得PD＋CD最?。?/span> | 作點P關(guān)于OB的對稱點P′，過P′作P′C⊥OA交OB于D，點C、點D即為所求． | PD＋CD的最小值為P′C |
點P、Q在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得四邊形PQDC周長最?。?/span> | 分別作點P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點P′、Q′，連接P′Q′，分別交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求． | PC＋CD＋DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC周長的最小值為PQ＋P′Q′ |
模型實例
如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點，且.在上有一點，上
一點．若立△周長最小，則最小周長是多少？
模型3兩定點一定長
模型 | 作法 | 結(jié)論 |
如圖，在直線l上找M、N兩點 (M在左)，使得AM＋MN＋NB最 小，且MN＝d. | 將A向右平移d個單位到A′，作A′ 關(guān)于l的對稱點A'，連接A'B與直線l交于點N，將點N向左平移d個單位即為M，點M，N即為所求. | AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d |
如圖，l1∥l2，l1、l2間距離為d， 在l1、l2分別找M、N兩點，使 得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最?。?/span> | 將A向下平移d個單位到A，連接A′B交直線l2于點N，過點N作MN⊥l1，連接AM.點M、N即為所求． | AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d. |
例題：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側(cè)，EF＝2.當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標(biāo)．
練習(xí)
1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，0)，B(0，4)，D為邊OB的中點．
(1)若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；
(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF＝1，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo)．
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