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阿基米德是人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。是的，是有“之一”，但也可以說就是最偉大的數(shù)學(xué)家。有人這么說，如果找當(dāng)今的數(shù)學(xué)家作一個(gè)調(diào)查，請(qǐng)他們列出人類歷史上最偉大的10個(gè)數(shù)學(xué)家，可能不同的人會(huì)有不同的看法，但如果人數(shù)減少到3人，即請(qǐng)他們列出人類歷史上最偉大的3個(gè)數(shù)學(xué)，那么這個(gè)名單會(huì)非常集中，集中在這三個(gè)人：阿基米德，牛頓，高斯。還有人說，如果阿基米德能到現(xiàn)在大學(xué)數(shù)學(xué)系的課堂里去聽課，他很快就不會(huì)有太多障礙。
阿基米德處理數(shù)學(xué)問題，既體現(xiàn)出熟練的計(jì)算技巧，又有嚴(yán)格的證明。
阿基米德是被羅馬士兵殺死的……
我們從阿基米德的著作《圓的度量》中選一個(gè)命題，用我們現(xiàn)代習(xí)慣的表達(dá)方式寫出來，方便我們體會(huì)一個(gè)這位天才的數(shù)學(xué)家的思想。
我們先來說一個(gè)有意思的結(jié)論：
一個(gè)量A可以任意接近另一個(gè)確定的量B，那么A大于任意比B小的確定的量C
這里包含有阿基米德的微積分思想萌芽。
道理是很簡(jiǎn)單的。如上圖，C比B小，即數(shù)軸上，C在B的左邊，且與B有固定的距離。而A可以任意接近B，當(dāng)然終于會(huì)比C更接過B，從而大于C。
下面，我們來看阿基米德的命題：
任一圓的面積等于以該圓的半徑和周長(zhǎng)為兩直角邊的直角三角形的面積。
我們?cè)谇懊娴奈恼轮?，曾?jīng)給出過一個(gè)形象的說明（圓面積的另類推導(dǎo)）
現(xiàn)在我們來看阿基米德的嚴(yán)謹(jǐn)證明。
假設(shè)上述三角形的面積為K，圓的面積為S，阿基米德要證明的是：S=K
他的思路是：
為了證明S=K，分兩步：第一步，證明S不大于K；第二步，證明S不小于K。
怎么樣，這個(gè)步驟看起來與把大象放進(jìn)冰箱里的步驟差不多吧！
阿基米德完成了證明！他完成每一步的證明都是反證！
假設(shè)S大于K。
考慮圓的內(nèi)接正多邊形。顯然，隨著邊的增加，正多邊形的面積可以任意的接近圓的面積。
但圓的面積S是大于K的，于是，終于會(huì)得到一個(gè)正多邊形，它的面積也會(huì)大于K。（就是應(yīng)用一開始給出的結(jié)論）
但讓我們來看圓內(nèi)接正多邊形的情況：
圓內(nèi)接正多邊形可以分成若干個(gè)三角形，每個(gè)三角形的面積都等于多邊形邊長(zhǎng)與邊心距（即圖中的k）乘積的一半。于是多邊形的面積就等于多邊形的周長(zhǎng)乘邊心距的一半。
但顯然，多邊形的周長(zhǎng)小于圓的周長(zhǎng)，邊心距小于圓的半徑。從而，多邊形的面積小于以圓的周長(zhǎng)和半徑為直角邊的三角形面積。矛盾！
于是S不可能大于K。
完全類似的，我們只要考慮圓外切正多邊形，就可以證明：S不可能小于K。
從而，S=K。
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