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3.1415926...是什么？

圓周率π是一個(gè)十分重要的數(shù)，也是一個(gè)很神奇的數(shù)。從古希臘時(shí)代開(kāi)始，由于科學(xué)研究和工程技術(shù)的需要，圓周率的計(jì)算就一直沒(méi)有停止過(guò)。直到今天，圓周率依然是檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的方法之一。日本某個(gè)無(wú)聊的出版社居然出了一本一百萬(wàn)位的圓周率的書(shū)《円周率1000000桁表》，全書(shū)只有一個(gè)數(shù)字：π。

你知道人們最開(kāi)始是如何計(jì)算圓周率的嗎？看完這篇文章，你就有所了解了。

阿基米德π≈3.14

公元前300年左右，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在著作《幾何原本》里將幾何的基礎(chǔ)簡(jiǎn)化成幾個(gè)公理。其中一條公理是：過(guò)一點(diǎn)以某個(gè)長(zhǎng)度為半徑可以做一個(gè)圓。根據(jù)相似性可知：任何一個(gè)圓的周長(zhǎng)與直徑的比都是一個(gè)常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)稱為圓周率π。

如果使用一根軟繩測(cè)量圓的周長(zhǎng)，再除以圓的直徑，只能得到圓周率大約等于3的結(jié)果，更加精確的結(jié)果只能依賴計(jì)算。

第一個(gè)把π計(jì)算到3.14的人是古希臘的阿基米德。

我們都知道阿基米德的名言：給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬起地球。阿基米德第一個(gè)發(fā)現(xiàn)了杠桿原理和浮力定律，是一位物理學(xué)家。但是同時(shí)，他也是一位數(shù)學(xué)家。公元前212年，羅馬士兵進(jìn)攻敘拉古國(guó)，城破之后阿基米德被羅馬士兵殺死。傳說(shuō)他臨死時(shí)被羅馬士兵逼到一個(gè)海灘，還在海灘上畫(huà)圓，并且對(duì)士兵說(shuō)：“你先不要?dú)⑽?，我不能給后世留下一個(gè)不完善的幾何問(wèn)題?！?/p>

阿基米德計(jì)算圓周率的方法是雙側(cè)逼近：使用圓的內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)近似圓的周長(zhǎng)。正多邊形的邊數(shù)越多，多邊形周長(zhǎng)就越接近圓的邊長(zhǎng)。

阿基米德最終計(jì)算到正96邊形，并得出π約等于3.14的結(jié)果。阿基米德死后，古希臘遭到羅馬士兵摧殘，敘拉古國(guó)滅亡，古希臘文明衰落，西方圓周率的計(jì)算從此沉寂了一千多年。

劉徽和祖沖之π≈3.1415926

阿基米德死后五百年，中國(guó)處于魏晉時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家劉徽將圓周率推演到小數(shù)點(diǎn)之后四位。他在著作《九章算術(shù)注》中詳細(xì)闡述了自己的計(jì)算方法。

劉徽的算法與阿基米德基本相同，但是劉徽提出了圓的內(nèi)接正N邊形邊長(zhǎng)與內(nèi)接正2N邊形邊長(zhǎng)之間的遞推公式，并且計(jì)算到了圓的內(nèi)接正3072邊形，得到π的值大約是3.1416。

又過(guò)了兩百年，中國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之橫空出世。

祖沖之使用“綴術(shù)”將圓周率的值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第七位，指出

3.1415926<?π<3.1415927

這個(gè)結(jié)果直到一千多年后才被西方超越。

但遺憾的是，“綴術(shù)”的計(jì)算方法已經(jīng)失傳。華羅庚等科學(xué)家認(rèn)為：祖沖之的方法仍然是割圓法。

但是如果要得到這個(gè)精度，需要分割到24576邊形，從正六邊形出發(fā)，還需要迭代劉徽的公式12次。而且在每次迭代的過(guò)程中，必須保證足夠多的有效數(shù)字，否則就會(huì)影響到最后的結(jié)果。祖沖之通過(guò)什么神奇的方法保證了計(jì)算的準(zhǔn)確？至今仍是一個(gè)謎。

看到這里，也許有的同學(xué)已經(jīng)躍躍欲試了，我們能不能仿照阿基米德和劉徽的方法自己計(jì)算一下圓周率呢？

割圓法到底是什么？

其實(shí)這個(gè)問(wèn)題也沒(méi)那么難，我們不妨也來(lái)簡(jiǎn)單推導(dǎo)一下：首先做一個(gè)半徑為1的圓。

• 設(shè)圓的內(nèi)接正N邊形的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)N，如圖中AB所示；

• 將正N邊形變?yōu)檎?N邊形，邊長(zhǎng)L2N如圖中BD所示；

• 在三角形BCD中列勾股定理：

其中，AB=LN，OD=1

• OC又可以在三角形OCB中利用勾股定理計(jì)算：

• 根據(jù)以上的由此可以得到遞推式：

• 當(dāng)N=6時(shí)，圓的內(nèi)接正六邊形邊長(zhǎng)剛好與圓的半徑相等L6=1，用這個(gè)正多邊形近似圓的周長(zhǎng)，可以得到圓周率

• 再根據(jù)遞推公式，可以得到12邊形的邊長(zhǎng)

• 用這個(gè)正多邊形近似圓的周長(zhǎng)，可以得到

按照這個(gè)方法一直計(jì)算下去，就可以得到更加精確的結(jié)果了。

當(dāng)然，時(shí)至今日，人們已經(jīng)發(fā)明出各種各樣計(jì)算π的方法。比如，歐拉就提出過(guò)使用級(jí)數(shù)方法計(jì)算π的值：

這種方法要比使用割圓術(shù)快得多，也方便得多。

話說(shuō)，你能背下來(lái)多少位的π呢？我能背下來(lái)小數(shù)點(diǎn)后22位，這是因?yàn)樾r(shí)候看過(guò)的一個(gè)故事：

有位教書(shū)先生，整日里不務(wù)正業(yè)，就喜歡到山上找廟里的和尚喝酒。他每次臨行前留給學(xué)生的作業(yè)都一樣：背誦圓周率。開(kāi)始的時(shí)候，每個(gè)學(xué)生都苦不堪言。后來(lái)，有一位聰明的學(xué)生靈機(jī)一動(dòng)，想出妙法，把圓周率的內(nèi)容與眼前的情景聯(lián)系起來(lái)，編了一段順口溜：

山巔一寺一壺酒（3.14159）爾樂(lè)苦煞吾（26535）把酒吃（897）酒殺爾（932）殺不死（384）樂(lè)爾樂(lè)（626）