Wir müssen wissen, wir werden wissen.
we must know---we will know.
我們必須知道，我們終將知道。
大衛(wèi)·希爾伯特(Hilbert,David，1862～1943)德國著名數(shù)學(xué)家。 他于1900年8月8日在巴黎第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，提出了新世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的23個數(shù)學(xué)問題，被認(rèn)為是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的制高點(diǎn)，對這些問題的研究有力推動了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，在世界上產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。希爾伯特領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)派是19世紀(jì)末20世紀(jì)初數(shù)學(xué)界的一面旗幟，希爾伯特被稱為“數(shù)學(xué)界的無冕之王”，他是天才中的天才。
希爾伯特 生于東普魯士哥尼斯堡（前蘇聯(lián)加里寧格勒）附近的韋勞，中學(xué)時代他就是一名勤奮好學(xué)的學(xué)生，對于科學(xué)特別是數(shù)學(xué)表現(xiàn)出濃厚的興趣，善于靈活和深刻地掌握以至能應(yīng)用老師講課的內(nèi)容。他與17歲便拿下數(shù)學(xué)大獎的著名數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（愛因斯坦的老師）結(jié)為好友，同進(jìn)于哥尼斯堡大學(xué)，最終超越了他。1880年，他不顧父親讓他學(xué)法律的意愿，進(jìn)入哥尼斯堡大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)，并于1884年獲得博士學(xué)位，后留校取得講師資格和升任副教授。1893年他被任命為正教授，1895年轉(zhuǎn)入哥廷根大學(xué)任教授，此后一直在數(shù)學(xué)之鄉(xiāng)哥廷根生活和工作。他于1930年退休。在此期間，他成為柏林科學(xué)院通訊院士，并曾獲得施泰訥獎、羅巴契夫斯基獎和波約伊獎。1930年獲得瑞典科學(xué)院的米塔格 - 萊福勒獎，1942年成為柏林科學(xué)院榮譽(yù)院士。希爾伯特是一位正直的科學(xué)家，第一次世界大戰(zhàn)前夕，他拒絕在德國政府為進(jìn)行欺騙宣傳而發(fā)表的《告文明世界書》上簽字。戰(zhàn)爭期間，他敢于公開發(fā)表文章悼念“敵人的數(shù)學(xué)家”達(dá)布。希特勒上臺后，他抵制并上書反對納粹政府排斥和迫害猶太科學(xué)家的政策。由于納粹政府的反動政策日益加劇，許多科學(xué)家被迫移居外國，其中多數(shù)流亡到美國，曾經(jīng)盛極一時的哥廷根學(xué)派衰落了，希爾伯特也于1943年在孤獨(dú)中逝世。但由于大量數(shù)學(xué)家的到來，美國成為了當(dāng)時的世界數(shù)學(xué)中心。
希爾伯特是對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)有深刻影響的數(shù)學(xué)家之一，他領(lǐng)導(dǎo)了著名的哥廷根學(xué)派，使哥廷根大學(xué)成為當(dāng)時世界數(shù)學(xué)研究的重要中心，并培養(yǎng)了一批對現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)的杰出數(shù)學(xué)家。希爾伯特的數(shù)學(xué)工作可以劃分為幾個不同的時期，每個時期他幾乎都集中精力研究一類問題。按時間順序，他的主要研究內(nèi)容有：不變量理論、代數(shù)數(shù)域理論、幾何基礎(chǔ)、積分方程、物理學(xué)、一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、“希爾伯特空間”等。在這些領(lǐng)域中，他都做出了重大的或開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。希爾伯特認(rèn)為，科學(xué)在每個時代都有它自己的問題，而這些問題的解決對于科學(xué)發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義。他指出：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡和終止?！?br>
在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個問題統(tǒng)稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未得到解決。他在講演中所闡發(fā)的相信每個數(shù)學(xué)問題都可以得到解決的信念，對數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。他說：“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個數(shù)學(xué)問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡榮譽(yù)市民稱號的講演中，針對一些人信奉的不可知論觀點(diǎn)，他再次滿懷信心地宣稱：“我們必須知道，我們必將知道?！?/span>
希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》（1899）是公理化思想的代表作，書中把歐幾里得幾何學(xué)加以整理，成為建立在一組簡單公理基礎(chǔ)上的純粹演繹系統(tǒng)，并開始探討公理之間的相互關(guān)系與研究整個演繹系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)。1904年，又著手研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，經(jīng)過多年醞釀，于二十年代初，提出了如何論證數(shù)論、集合論或數(shù)學(xué)分析一致性的方案。他建議從若干形式公理出發(fā)將數(shù)學(xué)形式化為符號語言系統(tǒng)，并從不假定實(shí)無窮的有窮觀點(diǎn)出發(fā)，建立相應(yīng)的邏輯系統(tǒng)。然后再研究這個形式語言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)，從而創(chuàng)立了元數(shù)學(xué)和證明論。希爾伯特的目的是試圖對某一形式語言系統(tǒng)的無矛盾性給出絕對的證明，以便克服悖論引起的危機(jī)，一勞永逸地消除對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)推理方法可靠性的懷疑。然而，1930年，年輕的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾（K.G.del，1906～1978）獲得了否定的結(jié)果，證明了希爾伯特方案是不可能實(shí)現(xiàn)的。但正如哥德爾所說，希爾伯特有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的方案“仍不失其重要性，并繼續(xù)引起人們的高度興趣。” 希爾伯特的著作有《希爾伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《數(shù)論報告》）、《幾何基礎(chǔ)》、《線性積分方程一般理論基礎(chǔ)》等，與其他人合著的有《數(shù)學(xué)物理方法》、《理論邏輯基礎(chǔ)》、《直觀幾何學(xué)》、《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。
在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的相信每個數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念，對于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。
詳見文末附錄。
以希爾伯特命名的數(shù)學(xué)名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。比如有一次，希爾伯特問系里的同事“請問什么叫做希爾伯特空間？”
1916年，埃米·諾特這位卓有才華的青年婦女來到哥廷根大學(xué)。希爾伯特對她的學(xué)識倍加欣賞，立即決定讓她留下來當(dāng)講師，輔助相對論的研究工作。但當(dāng)時歧視婦女的現(xiàn)象相當(dāng)嚴(yán)重，希爾伯特的建議遭到語言學(xué)、歷史學(xué)等教授們的強(qiáng)烈反對。希爾伯特拍案而起，大聲疾呼：“先生們，這里是學(xué)校，不是澡堂！” 于是因此激怒了他的對手，希爾伯特對此不為所動，毅然決定讓諾特以自己的名義代課。
他的一位學(xué)生買了一輛車，后來不幸死于一場車禍。在葬禮上，死者家屬請希爾伯特老師說幾句話，于是他說：“小克勞斯是我的學(xué)生當(dāng)中最優(yōu)秀的，他生前在數(shù)學(xué)方面，具有非凡的天分。他對數(shù)學(xué)問題的涉及非常廣泛，諸如……” 他暫停了一會兒，然后說：“考慮單位區(qū)間上一組可微函數(shù)，然后取它們的閉包……”
1880年秋天，18歲的希爾伯特進(jìn)人家鄉(xiāng)的哥尼斯堡大學(xué)，他不顧當(dāng)法官的父親希望他學(xué)習(xí)法律的愿望，毫不猶豫地進(jìn)了哲學(xué)系學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（當(dāng)時的大學(xué)，數(shù)學(xué)還設(shè)在哲學(xué)系內(nèi)）。希爾伯特發(fā)現(xiàn)當(dāng)時的大學(xué)生活要多自由有多自由。意想不到的自由，使許多年輕人把大學(xué)第一年的寶貴時光都花費(fèi)在學(xué)生互助會的傳統(tǒng)活動飲酒和斗劍上，然而對希爾伯特來說，大學(xué)生活的更加迷人之處卻在于他終于能自由地把全部精力給予數(shù)學(xué)了。
這個定理很好，請問是誰發(fā)明的？某生答道：是您。
希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學(xué)分析。
（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。
1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科思證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。
（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。
歐氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。
（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。
問題的意思是：存在兩個等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。德思在1900年已解決。
（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題。
此問題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。
（5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海?/span>
這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森、蒙哥馬利、齊賓共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。
（6）對數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。
1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘：髞?，在量子力學(xué)、量子場論方面取得成功。但對物理學(xué)各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。
（7）某些數(shù)的超越性的證明。
需證：如果α是代數(shù)數(shù)，β是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么α^β一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如，2^√2和exp(π)）。蘇聯(lián)的蓋爾封特1929年、德國的施奈德及西格爾1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無統(tǒng)一的方法。
（8）素數(shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)問題。
素數(shù)是一個很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)問題目前也未獲最終解決，其最佳結(jié)果分別屬于中國數(shù)學(xué)家陳景潤和張益唐。
（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。
1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。
（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？
求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國數(shù)學(xué)家戴維斯、普特南、羅賓遜等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾、費(fèi)羅斯對含兩個未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價值的副產(chǎn)品，其中不少和計算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。
（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。
德國數(shù)學(xué)家哈塞和西格爾在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國數(shù)學(xué)家魏依取得了新進(jìn)展。
（12）類域的構(gòu)成問題。
即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)。
（13）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c）。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德證明了任一在〔0，1〕上連續(xù)的實(shí)函數(shù)f(x1，x2，x3）可寫成形式∑hi（ξi(x1,x2）,x3）(i=1--9），這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)?？聽柲缏宸蜃C明f(x1，x2，x3）可寫成形式∑hi（ξi1(x1）+ξi2(x2）+ξi3(x3）)(i=1--7）這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)，ξij的選取可與f完全無關(guān)。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續(xù)可微情形，對解析函數(shù)情形則未解決。
（14）某些完備函數(shù)系的有限的證明。
即域K上的以x1,x2，…，xn為自變量的多項式fi（i=1，…，m），R為K〔X1，…，Xm]上的有理函數(shù)F（X1，…，Xm）構(gòu)成的環(huán)，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]試問R是否可由有限個元素F1，…，F(xiàn)N的多項式生成？這個與代數(shù)不變量問題有關(guān)的問題，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。
（15）建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)。
荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。
注一舒伯特計數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)。
一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。
（16）代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊?/span>
此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個數(shù)N（n）和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。對n=2（即二次系統(tǒng)）的情況，1934年福羅獻(xiàn)爾得到N（2）≥1；1952年鮑廷得到N（2）≥3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，這個曾震動一時的結(jié)果，由于其中的若干引理被否定而成疑問。關(guān)于相對位置，中國數(shù)學(xué)家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過兩串。1957年，中國數(shù)學(xué)家秦元勛和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個成串極限環(huán)的實(shí)例。1978年，中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導(dǎo)下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環(huán)的具體例子。1983年，秦元勛進(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個極限環(huán)，并且是（1，3）結(jié)構(gòu)，從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問題，并為研究希爾伯特第（16）問題提供了新的途徑。
（17）半正定形式的平方和表示。
實(shí)系數(shù)有理函數(shù)f(x1，…，xn）對任意數(shù)組（x1，…，xn）都恒大于或等于0，確定f是否都能寫成有理函數(shù)的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。
（18）用全等多面體構(gòu)造空間。
德國數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫1910年，萊因哈特1928年作出部分解決。
（19）正則變分問題的解是否總是解析函數(shù)？
德國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（1929）和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基（1939）已解決。
（20）研究一般邊值問題。
此問題進(jìn)展迅速，已成為一個很大的數(shù)學(xué)分支，目前還在繼讀發(fā)展。
（21）具有給定奇點(diǎn)和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。
此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國數(shù)學(xué)家德利涅作出了出色貢獻(xiàn)。
（22）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。
此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。
（23）發(fā)展變分學(xué)方法的研究。
這不是一個明確的數(shù)學(xué)問題。20世紀(jì)變分法有了很大發(fā)展。
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