一、
選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2010·全國Ⅱ文，7)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( )
A．a(chǎn)＝1，b＝1
B．a(chǎn)＝－1，b＝1
C．a(chǎn)＝1，b＝－1
D．a(chǎn)＝－1，b＝－1
[答案] A
[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
將(0，b)代入切線方程得b＝1.
2．一物體的運動方程為s＝2tsint＋t，則它的速度方程為( )
A．v＝2sint＋2tcost＋1
B．v＝2sint＋2tcost
C．v＝2sint
D．v＝2sint＋2cost＋1
[答案] A
[解析] 因為變速運動在t0的瞬時速度就是路程函數(shù)y＝s(t)在t0的導(dǎo)數(shù)，S′＝2sint＋2tcost＋1，故選A.
3．曲線y＝x2＋3x在點A(2,10)處的切線的斜率是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
[答案] D
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線y＝x2＋3x在點A(2,10)處的切線的斜率就是函數(shù)y＝x2＋3x在x＝2時的導(dǎo)數(shù)，y′|x＝2＝7，故選D.
4．函數(shù)y＝x|x(x－3)|＋1( )
A．極大值為f(2)＝5，極小值為f(0)＝1
B．極大值為f(2)＝5，極小值為f(3)＝1
C．極大值為f(2)＝5，極小值為f(0)＝f(3)＝1
D．極大值為f(2)＝5，極小值為f(3)＝1，f(－1)＝－3
[答案] B
[解析] y＝x|x(x－3)|＋1
＝x3－3x2＋1 (x<0或x>3)－x3＋3x2＋1 (0≤x≤3)
∴y′＝3x2－6x (x<0或x>3)－3x2＋6x (0≤x≤3)
x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 無極值 極大值5 極小值1
∴f(x)極大＝f(2)＝5，f(x)極小＝f(3)＝1
故應(yīng)選B.
5．(2009·安徽理，9)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是( )
A．y＝2x－1
B．y＝x
C．y＝3x－2
D．y＝－2x＋3
[答案] A
[解析] 本題考查函數(shù)解析式的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程的點斜式．
∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，
∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為2，切線方程為y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.
6．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[答案] D
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f(x)在x＝－3時取得極值，
∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，
∴a＝5，故選D.
7．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)．當(dāng)x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<>
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
[答案] D
[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)為奇函數(shù)，又當(dāng)x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，又F(x)為奇函數(shù)，所以F(x)在(0，＋∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，且由奇函數(shù)知f(0)＝0，∴F(0)＝0.
又由g(－3)＝0，知g(3)＝0
∴F(－3)＝0，進(jìn)而F(3)＝0
于是F(x)＝f(x)g(x)的大致圖象如圖所示
∴F(x)＝f(x)·g(x)<>
8．下面四圖都是同一坐標(biāo)系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，其中一定不正確的序號是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
[答案] B
[解析] ③不正確；導(dǎo)函數(shù)過原點，但三次函數(shù)在x＝0不存在極值；④不正確；三次函數(shù)先增后減再增，而導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正再負(fù)．故應(yīng)選B.
9．(2010·湖南理，5)241xdx等于( )
A．－2ln2
B．2ln2
C．－ln2
D．ln2
[答案] D
[解析] 因為(lnx)′＝1x，
所以 241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.
10．已知三次函數(shù)f(x)＝13x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函數(shù)，則m的取值范圍是( )
A．m<2或m>4
B．－4<><>
C．2<><4 >
D．以上皆不正確
[答案] D
[解析] f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，
由題意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)
＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28
＝4(m2－6m＋8)≤0，
∴2≤m≤4，故選D.
11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，那么b＋c( )
A．有最大值152
B．有最大值－152
C．有最小值152
D．有最小值－152
[答案] B
[解析] 由題意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成立．
所以f′(－1)≤0f′(2)≤0
即2b－c－3≥04b＋c＋12≤0
令b＋c＝z，b＝－c＋z，如圖
過A－6，－32得z最大，
最大值為b＋c＝－6－32＝－152.故應(yīng)選B.
12．設(shè)f(x)、g(x)是定義域為R的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<><><>
A．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(x)
[答案] C
[解析] 令F(x)＝f(x)g(x)
則F′(x)＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)<>
f(x)、g(x)是定義域為R恒大于零的實數(shù)
∴F(x)在R上為遞減函數(shù)，
當(dāng)x∈(a，b)時，f(x)g(x)>f(b)g(b)
∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．故應(yīng)選C.
二、
填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)
13.－2－1dx(11＋5x)3＝________.
[答案] 772
[解析] 取F(x)＝－110(5x＋11)2，
從而F′(x)＝1(11＋5x)3
則－2－1dx(11＋5x)3＝F(－1)－F(－2)
＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.
14．若函數(shù)f(x)＝ax2－1x的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[答案] a≥0
[解析] f′(x)＝ax－1x′＝a＋1x2，
由題意得，a＋1x2≥0，對x∈(0，＋∞)恒成立，
∴a≥－1x2，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0.
15．(2009·陜西理，16)設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________．
[答案] －2
[解析] 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
k＝y(tǒng)′|x＝1＝n＋1，
∴切線l：y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，x＝nn＋1，∴an＝lgnn＋1，
∴原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100
＝lg12×23×…×99100＝lg1100＝－2.
16．如圖陰影部分是由曲線y＝1x，y2＝x與直線x＝2，y＝0圍成，則其面積為________．
[答案] 23＋ln2
[解析] 由y2＝x，y＝1x，得交點A(1,1)
由x＝2y＝1x得交點B2，12.
故所求面積S＝01xdx＋121xdx
＝23x3210＋lnx21＝23＋ln2.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)(2010·江西理，19)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)當(dāng)a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)在(0,1]上 的最大值為12，求a的值．
[解析] 函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，
f ′(x)＝1x－12－x＋a，
(1)當(dāng)a＝1時，f ′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，2)；
(2)當(dāng)x∈(0,1]時，f ′(x)＝2－2xx(2－x)＋a>0，
即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝12.
18．(本題滿分12分)求曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成圖形的面積．
[解析] 由y＝2x－x2，y＝2x2－4x得x1＝0，x2＝2.
由圖可知，所求圖形的面積為S＝02(2x－x2)dx＋|02(2x2－4x)dx|＝02(2x－x2)dx－02(2x2－4x)dx.
因為x2－13x3′＝2x－x2，
23x3－2x2′＝2x2－4x，
所以S＝x2－13x320－23x3－2x220＝4.
19．(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點．
[分析] 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值點的性質(zhì)，以及分類討論思想．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－3a.
因為曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，
所以f′(2)＝0，f(2)＝8.即3(4－a)＝0，8－6a＋b＝8.
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
當(dāng)a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)沒有極值點．
當(dāng)a>0時，由f′(x)＝0得x＝±a.
當(dāng)x∈(－∞，－a)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(－a，a)時，f′(x)<>
當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
此時x＝－a是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點．
20．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝12x2＋lnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)x>1時，12x2＋lnx<>
[解析] (1)依題意知函數(shù)的定義域為{x|x>0}，
∵f′(x)＝x＋1x，故f′(x)>0，
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．
(2)設(shè)g(x)＝23x3－12x2－lnx，
∴g′(x)＝2x2－x－1x，
∵當(dāng)x>1時，g′(x)＝(x－1)(2x2＋x＋1)x>0，
∴g(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，
∴g(x)>g(1)＝16>0，
∴當(dāng)x>1時，12x2＋lnx<>
21．(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－92x2＋6x－a.
(1)對于任意實數(shù)x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．
[分析] 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想，以及求參數(shù)的范圍問題．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．
因為x∈(－∞，＋∞)．f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，即m的最大值為－34.
(2)因為當(dāng)x<1時，f′(x)>0；當(dāng)1<><><0；當(dāng)x>2時f′(x)>0.
所以當(dāng)x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝52－a，
當(dāng)x＝2時，f(x)取極小值f(2)＝2－a.
故當(dāng)f(2)>0或f(1)<><2或a>52.
22．(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)．
(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間0，23上遞增，在區(qū)間23，＋∞上遞減，求a的值；
(2)當(dāng)x∈[0,1]時，設(shè)函數(shù)y＝f(x)圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，若給定常數(shù)a∈32，＋∞，求θ的取值范圍；
(3)在(1)的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象恰有三個交點．若存在，請求出實數(shù)m的值；若不存在，試說明理由．
[解析] (1)依題意f′23＝0，
由f′(x)＝－3x2＋2ax，得－3232＋2a·23＝0，即a＝1.
(2)當(dāng)x∈[0,1]時，tanθ＝f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x－a32＋a23.
由a∈32，＋∞，得a3∈12，＋∞.
①當(dāng)a3∈12，1，即a∈32，3時，f′(x)max＝a23，
f(x)min＝f′(0)＝0.
此時0≤tanθ≤a23.
②當(dāng)a3∈(1，＋∞)，即a∈(3，＋∞)時，f′(x)max＝f′(1)＝2a－3，f′(x)min＝f′(0)＝0，
此時，0≤tanθ≤2a－3.
又∵θ∈[0，π)，∴當(dāng)32<>
當(dāng)a>3時，θ∈[0，arctan(2a－3)]．
(3)函數(shù)y＝f(x)與g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的圖象恰有3個交點，等價于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1恰有3個不等實根，
∴x4－4x3＋(1－m)x2＝0，
顯然x＝0是其中一個根(二重根)，
方程x2－4x＋(1－m)＝0有兩個非零不等實根，則
Δ＝16－4(1－m)>01－m≠0
∴m>－3且m≠1
故當(dāng)m>－3且m≠1時，函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象恰有3個交點．
