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建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將有關(guān)向量坐標(biāo)化是解題的基礎(chǔ)，然后通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算使問題獲解。牢固掌握并靈活運(yùn)用空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則，空間向量位置關(guān)系的判斷（運(yùn)算法則）是解題的關(guān)鍵。

例1、如圖，正三棱柱

的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為

。

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；

（2）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。

分析：（1）可建立不同的坐標(biāo)系，來確定所求點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）取A1B1中點(diǎn)M，將所求的角轉(zhuǎn)化為

的夾角。

解法1：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為y軸，

所在直線為z軸，以過原點(diǎn)且垂直于平面

的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3。

則A（0，0，0）、B（0，a，0）、A1（0，0，

）、C1（

）

（2）取A1B1的中點(diǎn)M，則M（0，

，

）

連AM、MC1，得

，且

＝（0，a，0），

＝（0，0，

）

由

所以

與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。

因?yàn)?div id="c9ozetgccsir" class='imgcenter'>

所以

又

于是有

所以

解法2：（1）以線段AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線和CO、OB、OM（M為A1B1的中點(diǎn)）分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖示，易得A（0，

（2）連C1M、AM，由（0，0，

因?yàn)镃1M垂直于坐標(biāo)平面yOz，即垂直于側(cè)面ABB1A1

所以

因?yàn)閠an∠C1AM＝

所以∠C1AM＝30°，即AC1與側(cè)面ABB1A1成30°角

說明：點(diǎn)的坐標(biāo)依賴于坐標(biāo)系，即選取的坐標(biāo)系不同，同一點(diǎn)的坐標(biāo)也不同，但不影響線面之間的位置關(guān)系。因此，要選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)盡可能簡(jiǎn)單。掌握空間點(diǎn)的坐標(biāo)的求法是空間坐標(biāo)運(yùn)算的難點(diǎn)。

例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA＝AB＝BC＝a，AD＝2a。

（1）求證：平面SAC⊥平面SCD；

（2）求二面角A—SD—C的大??；

（3）求異面直線SD與AC所成的角；

（4）設(shè)E為BD的中點(diǎn)，求SE與平面SAC所成的角。

分析：空間中的三種角都是轉(zhuǎn)化成平面內(nèi)的角來定義和度量的，這是解答本題的關(guān)鍵。

證明：（1）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6。則A（0，0，0）、S（0，0，a）、C（a，a，0）、D（0，2a，0），于是

所以

所以CD⊥SA，CD⊥SC，因而CD⊥平面SAC

因?yàn)镃D

所以平面SAC⊥平面SCD

（2）過A作AF⊥SD，過C作CG⊥SD，則

于是

所以

所以二面角A—SD—C的大小為

（3）因?yàn)?div id="c9ozetgccsir" class='imgcenter'>