一、教學(xué)背景分析
1. 教材的地位和作用
本節(jié)課選自人教B版選修2－1第二章《圓錐曲線與方程》的第五節(jié)《直線與圓錐曲線》．通過(guò)對(duì)圓錐曲線一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)解析幾何的基本思想方法有初步了解，但是對(duì)于解決以“直線和圓錐曲線的位置關(guān)系”為載體的具體問(wèn)題的能力還有待提高．以“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”為背景的弦的中點(diǎn)及相關(guān)問(wèn)題(如定值、定點(diǎn)問(wèn)題)，在解決過(guò)程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，可以充分提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力, 抽象概括能力,理解能力，拓寬學(xué)生在解題方法上的選擇空間.
2.學(xué)情分析
我所任教學(xué)校是北京市示范校，學(xué)生基礎(chǔ)較好，思維活躍，通過(guò)校本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了幾何畫(huà)板的使用．
學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于本單元中的“坐標(biāo)法”，學(xué)生只是一種模式的應(yīng)用，學(xué)習(xí)方式傾向于模仿接受；同時(shí)，僅有一些思維敏捷的學(xué)生能夠提出問(wèn)題，可能是學(xué)生困惑的問(wèn)題，也可能是他們自認(rèn)為有意思的問(wèn)題，有一些問(wèn)題甚至超出教師預(yù)料之外．
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)
隨著新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的實(shí)施，面對(duì)社會(huì)不斷提出的知識(shí)創(chuàng)新要求，我國(guó)學(xué)校教育也開(kāi)始關(guān)注學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與潛能的開(kāi)發(fā)，提出問(wèn)題也已成為我國(guó)數(shù)學(xué)課程的重要組成部分．提出問(wèn)題可以充分體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與反思，是其終生學(xué)習(xí)和發(fā)展的基礎(chǔ)．提出問(wèn)題在我們的課堂上是如此的少，這些學(xué)生是如何提出問(wèn)題的呢？我們?nèi)绾翁幚韺W(xué)生提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)與時(shí)間，讓學(xué)生能夠提出一些有價(jià)值的問(wèn)題呢？
我國(guó)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生能夠“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、了解問(wèn)題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)．”
《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在高中數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)中明確地提出：“提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問(wèn)題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．”
1．在領(lǐng)會(huì)“坐標(biāo)法”的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，明確理解幾何對(duì)象的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)代數(shù)化的基礎(chǔ)；幫助學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式（熟練掌握常見(jiàn)的“代數(shù)形式”），給出常見(jiàn)求定值、定點(diǎn)問(wèn)題的方法，拓寬學(xué)生在解題方法上的選擇空間.
2．通過(guò)熟練、合理和簡(jiǎn)捷的解決定值、定點(diǎn)問(wèn)題，提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力；通過(guò)問(wèn)題的提出與探究，提高學(xué)生的抽象概括能力，培養(yǎng)思維的深刻性、靈活性．
3．引導(dǎo)學(xué)生自已發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提高提出問(wèn)題的能力，培養(yǎng)鍥而不舍的求實(shí)精神.
教學(xué)重點(diǎn)：
1．“直線和圓錐曲線的位置關(guān)系”問(wèn)題中，依據(jù)幾何條件，選擇適當(dāng)?shù)膮⒆兞浚_立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式，提高學(xué)生運(yùn)算的合理性與簡(jiǎn)捷性；
2．通過(guò)簡(jiǎn)單圓錐曲線中有關(guān)動(dòng)弦的定值及過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，及對(duì)代數(shù)推理結(jié)果的幾何含義的分析，加深學(xué)生對(duì)解析幾何的基本思想方法的理解。
3．引導(dǎo)學(xué)生自已發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提高提出問(wèn)題的能力．
教學(xué)難點(diǎn)：
1．運(yùn)算的合理性與簡(jiǎn)捷性的培養(yǎng)．
2．引導(dǎo)學(xué)生自已發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提高提出問(wèn)題的能力．
課 型：習(xí)題課
教學(xué)方法及手段：講授式與啟發(fā)式相結(jié)合，多媒體輔助教學(xué)平臺(tái)．
三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
為了達(dá)到以上教學(xué)目標(biāo)，在具體教學(xué)中，根據(jù)“循序漸進(jìn)原則”，我計(jì)劃把本節(jié)課分為以下五個(gè)階段．下面我將對(duì)每一階段教學(xué)中計(jì)劃解決的主要問(wèn)題和教學(xué)步驟作出說(shuō)明．
（一） 問(wèn)題回顧，回歸基礎(chǔ)
1．本階段主要任務(wù)
⑴學(xué)生利用“坐標(biāo)法”解決典型的中點(diǎn)弦問(wèn)題，加深理解解析幾何的基本思想方法；
⑵注意學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)．基于培養(yǎng)理解能力之上的數(shù)學(xué)閱讀，必須持之以恒的集中注意力，關(guān)注題目中的每一句話．
2．具體教學(xué)安排
引言：平面解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的學(xué)科，它主要有兩大任務(wù)：
（1）根據(jù)曲線的幾何條件，寫(xiě)出它的代數(shù)形式；（2）通過(guò)曲線的方程討論它的幾何性質(zhì).
曲線的幾何性質(zhì)是解析幾何研究的核心問(wèn)題．我們已通過(guò)定義、曲線方程的結(jié)構(gòu)及特征、某些特殊的條件、直線與曲線的位置關(guān)系進(jìn)行了部分討論，解決了如范圍、對(duì)稱性、切線、弦長(zhǎng)等性質(zhì)，今天我們繼續(xù)來(lái)研究一些性質(zhì)．
引例：定值問(wèn)題（改編自人教版
）
例1 如圖1，不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線
與橢圓
相交于
、
兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，且弦不與對(duì)稱軸垂直．
⑴ 若點(diǎn)，則的值為 ， ??；
⑵ 若點(diǎn)，則的值為 ， ；
（二） 歸納、概括，類比，揭示本質(zhì)
1．本階段主要任務(wù)
⑴ 由學(xué)生歸納出解決定值問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加深學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)“直線與曲線的位置關(guān)系”的認(rèn)識(shí)．解決定值問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，即選取適當(dāng)參數(shù)（坐標(biāo)、斜率等基本量），分別表示題目之中的各量，進(jìn)行一般計(jì)算推理，消去參數(shù)，求出其結(jié)果；或是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算，證明該式是恒定的.
⑵使學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)是歸納的，也是演繹的．歸納是演繹的基礎(chǔ)，演繹是歸納的升華．
2．具體教學(xué)安排
問(wèn)題⑴ 通過(guò)上題兩問(wèn)的處理，你有何想法呢？（感覺(jué)呢？）
對(duì)于任意地、兩點(diǎn)，為定值．
問(wèn)題⑵請(qǐng)把本題概括表示為橢圓的一個(gè)命題．
命題1 在橢圓內(nèi)，弦不與對(duì)稱軸垂直，且不通過(guò)原點(diǎn)，則弦所在直線斜率與橢圓中心與弦中點(diǎn)連線的斜率之積為定值．（即：，其中點(diǎn)不在對(duì)稱軸上，為弦中點(diǎn)．）
問(wèn)題⑶ 該命題是否為真命題呢，我們?nèi)绾谓鉀Q．
問(wèn)題⑷ 在前面的學(xué)習(xí)中是否學(xué)習(xí)過(guò)類似的結(jié)論？如圖3．
如何把前面的結(jié)論從幾何與解析的角度重新表述，使其更易揭示其本質(zhì)？
（三）變式練習(xí)，建立聯(lián)系，闡明內(nèi)涵，審?fù)娈?/span>
1．本階段主要任務(wù)
學(xué)生通過(guò)坐標(biāo)法或性質(zhì)解決變式練習(xí)，從不同的圖示增強(qiáng)自身的直觀感受，揭示“中點(diǎn)弦”的本質(zhì)，充分感受到數(shù)學(xué)中不同的形式，而其本質(zhì)是相同的．
通過(guò)對(duì)問(wèn)題的不斷引申，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生的抽象概括能力，提出問(wèn)題的能力．
2．具體教學(xué)安排
練習(xí)1（改編自人教版）
已知是直線被橢圓所截得的線段、中點(diǎn)，則直線的方程為 ．
練習(xí)2 已知是直線被橢圓所截得的線段、中點(diǎn)，則直線的方程為 ．
練習(xí)3（改編自人教版）
已知為橢圓長(zhǎng)軸的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，則的值為 ．
問(wèn)題⑸ 對(duì)于練習(xí)3，把上面的結(jié)論從解析的角度重新表述，使其更易揭示其本質(zhì)？（圖4）
命題2 已知為橢圓長(zhǎng)軸的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，則．
問(wèn)題⑹ 本題與橢圓定義的區(qū)別是什么？ 你想到了哪些內(nèi)容？
（選自人教版）已知點(diǎn)和，過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．如果，求點(diǎn)的軌跡方程．
問(wèn)題⑺ 與前面引例的聯(lián)系是什么？
（選自人教版）已知點(diǎn)和，過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．
⑴如果，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明此軌跡是何種曲線．
⑵如果，其中，求點(diǎn)的軌跡方程，并根據(jù)的取值討論此軌跡方程是何種曲線．
問(wèn)題⑻ 在前面的學(xué)習(xí)中是否學(xué)習(xí)過(guò)類似的結(jié)論？如圖5．
把該結(jié)論從解析的角度重新表述，使其更易揭示其本質(zhì)？
（四）類比推理，平臺(tái)拓展
1．本階段主要任務(wù)
學(xué)生深刻感悟前面兩組習(xí)題，體會(huì)圓與橢圓（圓錐曲線）之間的相似性，提出圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)坐標(biāo)法解決定點(diǎn)問(wèn)題，理解定點(diǎn)問(wèn)題，歸納解決定點(diǎn)問(wèn)題的方法：合理選取參數(shù)，求出相應(yīng)的直線（或曲線），把兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)的直線方程，化歸為單參數(shù)的真線方程，利用點(diǎn)斜式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而找出定點(diǎn)；或是通過(guò)特殊值法，找到定點(diǎn)，再加以證明，轉(zhuǎn)化為定值問(wèn)題．其難點(diǎn)在于選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)及代數(shù)形式，準(zhǔn)確的將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化，避免因選擇的盲目性，造成計(jì)算過(guò)于復(fù)雜.
由學(xué)生感悟全稱命題的處理方法，體會(huì)提出問(wèn)題的方法及感受提出有效問(wèn)題的成功感．
2．具體教學(xué)安排
問(wèn)題⑼ 通過(guò)前面2組習(xí)題，圓與橢圓具有這么多的相似性，你們可以從圓出發(fā)，類比得出一些關(guān)于橢圓命題？試著寫(xiě)出你的猜想．
問(wèn)題⑽ “圓周角所對(duì)的弦為直徑”．在橢圓中是否也成立呢？在其余圓錐曲線中，類似的結(jié)論是否也成立呢？
例2（選自人教版）
過(guò)拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條相互垂直的弦，．
求證：弦與拋物線的對(duì)稱軸交于定點(diǎn)．
問(wèn)題⑾ 對(duì)于題目中的“兩條相互垂直的弦，”是否還有更一般的表述方式呢？
（五）鞏固應(yīng)用，反思提高，形成系統(tǒng)知識(shí)結(jié)構(gòu)
1．本階段主要任務(wù)
通過(guò)學(xué)生對(duì)本節(jié)的回顧，鼓勵(lì)學(xué)生反思，促使個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善．
2．具體教學(xué)安排
⑴ 板書(shū)設(shè)計(jì)
⑵ 課堂小結(jié)
①利用直線與曲線相交為載體，明確了三個(gè)性質(zhì)，構(gòu)建了一個(gè)有效的平臺(tái)；
②解題過(guò)程中，坐標(biāo)法的應(yīng)用；
③思維能力上，回顧提出問(wèn)題的能力的方法．
⑶ 作業(yè)布置
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在本節(jié)課的基礎(chǔ)之上，試提出兩個(gè)問(wèn)題，并嘗試解決．
四、教學(xué)設(shè)計(jì)的說(shuō)明
⑴ 課堂教學(xué)中明確的表示把引導(dǎo)學(xué)生自已發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題作為課堂教學(xué)重要而相對(duì)獨(dú)立的環(huán)節(jié)，把培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提出問(wèn)題的能力作為課堂教學(xué)目標(biāo)．
本節(jié)課在解決解析幾何中兩個(gè)基本計(jì)算問(wèn)題之上，先后生成了10個(gè)問(wèn)題．本節(jié)課中問(wèn)題的切入點(diǎn)：橢圓中心與弦中點(diǎn)連線的斜率與弦所在直線的斜率之積相等，通過(guò)試驗(yàn)、特殊化、逆向、分類、類比或歸納等多種思維方法提出了新問(wèn)題．本節(jié)課學(xué)生提出問(wèn)題的數(shù)量和種類以及問(wèn)題的新穎性、原創(chuàng)性，可解性等都方面都是非常和諧的，提出的問(wèn)題合乎要求，具有開(kāi)放性、并有一定的深度或相當(dāng)?shù)膬r(jià)值．其中對(duì)于提出問(wèn)題的文字表達(dá)簡(jiǎn)潔和流暢，符號(hào)表達(dá)準(zhǔn)確無(wú)誤，圖形表示規(guī)范可以作為學(xué)生提出問(wèn)題能力的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．可以看到，基于提出問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生對(duì)于上述習(xí)題的認(rèn)知、思考方式發(fā)生了變化，即認(rèn)知空間發(fā)生了變化，學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，解決問(wèn)題選擇空間也隨之得到拓寬，形成了良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．學(xué)生由開(kāi)始習(xí)慣于教師命題，到最后的獨(dú)立提出問(wèn)題，學(xué)習(xí)觀上也得到了改變．
⑵基于提出問(wèn)題的教學(xué)，并不是常規(guī)教學(xué)之中的變式教學(xué)．反映在教學(xué)中，通過(guò)提出問(wèn)題，為學(xué)生增加盡可能多的數(shù)學(xué)場(chǎng)景，讓學(xué)生以類似數(shù)學(xué)家的活動(dòng)方式進(jìn)行數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，以便在積極參與中掌握探究技能、養(yǎng)成科學(xué)態(tài)度、形成創(chuàng)新意識(shí)．通過(guò)這種教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)回到了人類數(shù)學(xué)活動(dòng)的本來(lái)面目，也成為培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的一種有效途徑．
⑶在數(shù)學(xué)教學(xué)中,提出問(wèn)題有助于教師相關(guān)教學(xué)觀念和行為的改變，提高了教師有關(guān)提出問(wèn)題的教學(xué)知識(shí)和技能．不僅研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，教學(xué)生怎樣解決問(wèn)題, 而且還學(xué)怎么教學(xué)生提出問(wèn)題的知識(shí)，促進(jìn)了教師的反思．如在前面關(guān)于圓的教學(xué)之中，初中、高中階段的教學(xué)應(yīng)從哪些點(diǎn)去考慮呢？如何整體思考，才能最大化的給予學(xué)生思維提升的空間．
正是：奇思妙計(jì)，課堂起新意，提問(wèn)有法驥可索，巨匠凡夫無(wú)異．有意聊勝無(wú)意，誘發(fā)哪抵自發(fā)．梅香苦寒常度，枝枝歲歲難重．
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