導(dǎo)數(shù)的思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用，除對中學(xué)數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)作用外，也能在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上起到居高臨下和以簡化繁的作用。本文對2007年數(shù)學(xué)高考試題中有關(guān)運用導(dǎo)數(shù)解決問題的試題進(jìn)行分析，看如何運用導(dǎo)數(shù)解決中學(xué)數(shù)學(xué)中相關(guān)問題：如函數(shù)單調(diào)性、最值等函數(shù)問題；在掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作出特殊函數(shù)的圖象；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題的一般方法證明某些不等式的成立和解決數(shù)列的有關(guān)問題，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)所具有的幾何意義對切線相關(guān)問題及平行問題等幾何問題進(jìn)行了一些探討，并最終運用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值。
在我國現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)新教材中，導(dǎo)數(shù)處于一種特殊的地位，是高中數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，是聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容以及解決相關(guān)問題的重要工具。在2007年各省高考試題中，我們不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)中是非常廣泛的，涉及到了中學(xué)數(shù)學(xué)的各個方面，具體如下：
（一）在函數(shù)方面的應(yīng)用
1．1 函數(shù)單調(diào)性的討論
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。通常用定義來判斷，但當(dāng)函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜時判斷正負(fù)有困難時選用導(dǎo)數(shù)就會很方便。運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，只需求出
，再考慮
的正負(fù)即可。此方法簡單快捷而且適用面廣。
江西卷12．設(shè)在
內(nèi)單調(diào)遞增，
，則是的（ B?。?/span>
Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件
安徽卷18．設(shè)，．令，討論在內(nèi)的單調(diào)性。
解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，
于是， 當(dāng)時，，當(dāng)時，
故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。．
陜西卷20．設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)．（II）當(dāng)的定義域為時，求的單調(diào)減區(qū)間．
解：，令，得．由，得或，
又， 時， 由得； 當(dāng)時，；
當(dāng)時，由得，
即當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為．
浙江卷22設(shè)，對任意實數(shù)，記．（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
解：．由，得．
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是．
分析：這類求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題要比給出某個區(qū)間判斷函數(shù)的單調(diào)性復(fù)雜一些.在這類題型中，首先對求導(dǎo)；再令或，通過解關(guān)于的不等式，即可得到的單調(diào)遞增（減）區(qū)間.
1．2 函數(shù)的最值（極值）的求法
最值（極值）問題是高中數(shù)學(xué)的一個重點，也是一個難點.它涉及到了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的各個方面，用導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也好掌握。
一般地，函數(shù)閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，則在[a，b]上的最值求法：
?、偾蠛瘮?shù)在（a，b）上的駐點；
?、谟嬎?span>在駐點和端點的函數(shù)值，比較而知，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。
江蘇卷13．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_32__．
遼寧卷12．已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（ C ）
A．0是的極大值，也是的極大值 B．0是的極小值，也是的極小值
C．0是的極大值，但不是的極值 D．0是的極小值，但不是的極值
天津卷20．已知函數(shù)，其中．當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．
解：．由于，以下分兩種情況討論．
?。?span>1）當(dāng)時，令，得到，．當(dāng)變化時，的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
| 遞減 | 極小值 | 遞增 | 極大值 | 遞減 |
所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)．
函數(shù)在處取得極小值，且，
函數(shù)在處取得極大值，且．
（2）當(dāng)時，令，得到，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
| 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．
函數(shù)在處取得極大值，且．
函數(shù)在處取得極小值，且．
分析：本小題考查兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。
湖北卷20．已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．
?。?span>I）用表示，并求的最大值；
解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點處的切線相同．
，，由題意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．令，則．
于是當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．
故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．
分析：這類題目解決的關(guān)鍵在于深刻理解并靈活運用導(dǎo)數(shù)的知識，實質(zhì)是確定新構(gòu)造函數(shù)的最大值。
（二）在不等式證明方面的應(yīng)用
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，將不等式的部分或者全部投射到函數(shù)上。直接或等價變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。通過導(dǎo)數(shù)運算判斷出函數(shù)的單調(diào)性或利用導(dǎo)數(shù)運算來求出函數(shù)的最值，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，即轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值的大小，或者函數(shù)值在給定的區(qū)間上恒成立等。
江蘇卷9．已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對于任意實數(shù)，有，
則的最小值為（ C?。?span> Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
安徽卷18．設(shè)，．（Ⅱ）求證：當(dāng)時，恒有．
證明：由知，的極小值．
于是由（Ⅰ）知，對一切，恒有．
從而當(dāng)時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時，，即．
故當(dāng)時，恒有．
湖北卷20．已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．（II）求證：（）．
證明：設(shè)，
則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
于是函數(shù)在上的最小值是．
故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，
全國卷20.設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù)； （Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍．
解：（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)．
由于，故．（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．
（Ⅱ）令，則，
?。?span>ⅰ）若，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
所以，時，，即．
?。?span>ⅱ）若，方程的正根為，
此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)．
所以，時，，即，與題設(shè)相矛盾．
綜上，滿足條件的的取值范圍是．
浙江卷22.設(shè)，對任意實數(shù)，記．
（II）求證：（ⅰ）當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立；
證明：（i）方法一：令，則，
當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，
所以在內(nèi)的最小值是．故當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立．
方法二：對任意固定的，令，則，
由，得．當(dāng)時，．當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，取得最大值．
因此當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立．
分析：這類題型主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中的應(yīng)用、以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。當(dāng)不等式直接證明比較困難時可對不等式一邊作一變形，再構(gòu)造函數(shù)利用求導(dǎo)分析。
（三）在數(shù)列方面的應(yīng)用
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個重要的部分，也是個難點。事實上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，運用導(dǎo)數(shù)來解決數(shù)列的有關(guān)問題。
廣東卷21.已知函數(shù)，是方程的兩個根（），是的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，．（1）求的值； （2）證明：對任意的正整數(shù)，都有；
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的兩個根，∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），∴同，樣，……，（n=1,2,……），
（四）在解析幾何方面的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)在解析幾何中應(yīng)用主要體現(xiàn)在求曲線的切線上。
江西卷11．設(shè)函數(shù)是上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（ B ）
?。粒?span> Ｂ． Ｃ． Ｄ．
分析：這道題可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)是曲線在點處的切線斜率.
全國卷二22．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；
?。?span>2）設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．
解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；．
曲線在點處的切線方程為：， 即．
?。?span>2）如果有一條切線過點，則存在，使 ．
于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數(shù)根．
記 ， 則．
當(dāng)變化時，變化情況如下表：
|
| 0 |
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
| 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；
當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；
當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根．
綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則
即 ．
（五）在實際問題中的應(yīng)用
北京卷19．如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．
（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；
?。?/span>II）求面積的最大值．
I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點的橫坐標(biāo)為．點的縱坐標(biāo)滿足方程，
解得
則，其定義域為．
?。?/span>II）記，則．令，得．
因為當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以是的最大值．
因此，當(dāng)時，也取得最大值，最大值為．即梯形面積的最大值為．
福建卷19．某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件．
?。?span>Ⅰ）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式；
?。?span>Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值．
解：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為：
．
?。?span>Ⅱ）．
令得或（不合題意，舍去）．
，．
在兩側(cè)的值由正變負(fù)．
所以（1）當(dāng)即時， ．
?。?span>2）當(dāng)即時，
，
所以
答：若，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）．
分析：在求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先求出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域。如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（一般初等函數(shù)在自己的定義域內(nèi)必可導(dǎo)），且此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)有最大（小）值，那么只要對函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個極值點時，立即可以斷定在這個極值點處的函數(shù)值就是最大（?。┲?。如果定義域是閉區(qū)間，則必須對該點處的函數(shù)值與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較才能確定。
從2007年高考試題中我們看到導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要作用和地位。不僅如此從近幾年新課程高考試題中也反映出導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用已成為高考的新熱點，特別是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極大（?。┲?、求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間上的最大值和最小值、利用求導(dǎo)解決一些實際應(yīng)用問題等考查點。
總之，在高三新課程復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)關(guān)注高考的動向，從實際出發(fā)，既重視基礎(chǔ)，又注重對學(xué)生數(shù)學(xué)能力與綜合素質(zhì)的提高。而將新課程內(nèi)容與傳統(tǒng)的內(nèi)容結(jié)合是近幾年高考試題的一個重要特點，也可以說是以后新課程試題的明顯標(biāo)志，應(yīng)引起教學(xué)中的關(guān)注。通過對導(dǎo)數(shù)這一塊內(nèi)容的復(fù)習(xí)歸納能夠提高學(xué)生的悟性，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自己去感悟、去應(yīng)用知識，從而爭取最好的教學(xué)效果。
聯(lián)系客服
