【本講教育信息】
一. 教學(xué)內(nèi)容：
立體幾何中的向量方法
二. 重點、難點：
直線，m的方向向量為
平面的法向量為
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【典型例題】
[例1] 已知，若且，求x+y的值。
解：由①
又 即②
由①②有：或
∴ 或
[例2] 設(shè)向量，計算，并確定的關(guān)系，使與z軸垂直。
解：
由
即當(dāng)滿足即使與z軸垂直
[例3] 如圖，在空間四邊形ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，且AB=BC=2，E是AC的中點，異面直線AD和BE所成的角為，求BD的長度。
解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意有A（0，2，0），C（2，0，0），則E（1，1，0），設(shè)D（0，0，z），（z>0），則
∴
∵ ∴
∴ 即BD=4
[例4] 在棱長為1的正方體中，E、F分別是的中點，G在棱CD上，且，H為C1G的中點，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題。
（1）求證：EF⊥B1C；
（2）求EF與C1G所成的角的余弦；
（3）求FH的長。
解：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，）
F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0）
∵ ∴
則即
（2） ∴
由（1）知
故EF與所成角的余弦值為
（3）∵ H為C1G1的中點 ∴ H（0，），又F（）
∴ 即
[例5] 如圖，在棱長為2的正方體中，E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
（1）寫出A、B1、E、D1的坐標(biāo)；
（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值。
解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）
（2）∵
∴ ，
∴ 與所成的角的余弦值為
[例6] 如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點。
（1）求證：EF//平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若，求EF與平面ABCD所成的角的大小。
證：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則：
A（0，0，0），B（），C（），D（），P（）
∵ E為AB的中點，F為PC的中點 ∴ E（），F（）
（1）∵
∴ ∴ 與、共面
又∵ 平面PAD ∴ EF//平面PAD
（2）∵ ∴
∴ CD⊥EF
（3）若，則有，即 ∴
∴ ∴
∵ 平面AC ∴ 是平面AC的法向量
∴ EF與平面AC所成的角為：
[例7] 在正方體中，如圖E、F分別是BB1，CD的中點，
（1）求證：平面ADE；
（2）
解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1）不妨設(shè)正方體的棱長為1，則D（0，0，0），
A（1，0，0，），D1（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0）
則， 則
∴ ∴ 平面ADE
（2）B1（1，1，1），C（0，1，0），故
∴ ，
則
[例8] 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F。
（1）證明PA//平面EDB；
（2）證明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。
解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=。
（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG
依題意得A（），P（0，0，a），E（）
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ G是此正方形的中心
故點G的坐標(biāo)為（）且，
∴ ，這表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB
∴ PA//平面EDB
（2）證明：依題意得B（），
又，故
∴ PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD
（3）解：設(shè)點F的坐標(biāo)為（），，則
從而，所以
由條件EF⊥PB知，即
解得 ∴ 點F的坐標(biāo)為（）
且
，即，故是二面角C—PB—D的平面角
∵
且
∴
∴ ，所以，二面角C—PC—D的大小為
[例9] 如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是的垂心G。
（1）求A1B與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求點A1到平面AED的距離。
解：（1）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即是與平面ABD所成的角，如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為O，設(shè)CA=，則A（），B（），D（0，0，1），A1（，0，2），E（），G（）
∴ ∴ ，解得
∴ ，
∴
A1B與平面ABD所成角是
（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）
∴ 平面AA1E，又 ED平面AED
∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE
∴ 點A在平面AED的射影K在AE上
設(shè)，則
由，即，解得
∴ ，即
即點A1到平面AED的距離為
[例10] 如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。
解：如圖，設(shè)，以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz
由題設(shè)C（0，0，0），A（4，4，0），B（0，4，0），D（4，0，0），E（2，4，0），
F（4，2，0），G（0，0，2）
∴
設(shè)BM⊥平面EFG，M為垂足，則M、G、E、F四點共面，由共面向量定理知，存在實數(shù)，使得
∴
由BM⊥平面EFG，得BM⊥GE， BM⊥EF，于是
∴
整理得： 解得
∴
∴
故點B到平面EFG的距離為
[例11] 已知正方體的棱長為1，求直線與AC的距離。
解：如圖，設(shè)，以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則有
∴
設(shè)是直線方向上的單位向量，則
∵ ∴
解得或
取，則向量在直線上的投影為
由兩個向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線與AC的距離為
[例12] 如圖，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。
（1）設(shè)E是DC的中點，求證：D1E//平面A1BD；
（2）求二面角的余弦值。
（1）證明：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
設(shè)DA=a，由題意知：D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，2a，0），
C1（0，2a，2a），A1（a，0，2a），D1（0，0，2a），E（0，a，0）
∴
又 ∴
∵ 平面平面
∴ 平面A1BD
（2）取DB的中點F，DC1的中點M，連結(jié)A1F、FM，由（1）及題意得知：
∴
∴ ∴ 為所求二面角的平面角
∴
∴ 二面角的余弦值為
【模擬試題】
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P（），那么下列說法正確的是（ ）
A. 點p關(guān)于x軸對稱的坐標(biāo)是
B. 點p關(guān)于yoz平面對稱的坐標(biāo)是
C. 點p關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是
D. 點p關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)是（）
2. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量
B. 若，則的長度相等而方向相同或相反
C. 若向量滿足，且與同向，則
D. 若兩個非零向量與滿足，則
3. 已知點，且該點在三個坐標(biāo)平面yoz平面，zox平面，xoy平面上的射影的坐標(biāo)依次為和則（ ）
A. B.
C. D. 以上結(jié)論都不對
4. 到定點（1，0，0）的距離小于或等于1的點集合為（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知和，則的取值范圍是（ ）
A. [0，5] B. [0，25] C. [1，5] D.（1，5）
6. 已知，則向量與的夾角為（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7. 已知為單位正交基，且，則向量與向量的坐標(biāo)分別是 。
8. 若，則同方向的單位向量是 。
9. 已知，則的最小值是 。
10. 若向量，夾角的余弦值為，則等于 。
11. 已知，則向量與的夾角是 。
12. 且兩兩垂直，則 ，
， 。
13. 設(shè)，且的夾角為120°，則等于 。
14. 已知長方體，OA=OC=2，OO1=4，D為BC1與B1C交點E為A1C1與O1B1的交點，則DE的長度為 。
15. 設(shè)向量與互相垂直，向量與它們構(gòu)成的角都是60°，且，那么 ， 。
16. 已知，則向量的關(guān)系分別是 ， ，
。
【試題答案】
1. D 2. D 3. A 4. A 5. C 6. C 7. ；
8. 9. 10. 11. 90° 12. －64；－26；－17
13. 2 14. 15. －62；373 16.
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