【本講教育信息】
一. 教學(xué)內(nèi)容：
3.2.3 直線與平面的夾角
3.2.4 二面角及其度量
3.2.5 距離
二. 教學(xué)目的
1、理解斜線和平面所成的角的定義，體會夾角定義的唯一性、合理性；會求直線與平面的夾角．
2、掌握二面角的概念，二面角的平面角的定義，會找一些簡單圖形中的二面角的平面角；掌握求二面角大小的基本方法與步驟．
3、理解圖形F1與圖形F2的距離的概念；掌握點線距、線線距、線面距、面面距的概念，會解一些簡單的與距離有關(guān)的問題．
三. 教學(xué)重點、難點
◆重點：
（1）斜線與平面所成的角（或夾角）及其求法；
（2）二面角的概念，二面角的平面角的定義；
（3）點線距、線線距、線面距、面面距的概念；點到平面距離的求法．
◆難點：
（1）二面角大小的求法．
（2）斜線與平面所成的角的求解；公式的靈活運(yùn)用．
四. 知識分析
3.2.3直線與平面的夾角
1、提出問題：
（1）直線與平面的位置關(guān)系有哪些？（l，或l//α，或l
（l⊥α））
（2）當(dāng)直線與平面斜交時，“傾斜程度”該如何衡量？（此時，對線面角的提出有了強(qiáng)烈的要求）
（3）線面角的大小怎樣度量？
方案：轉(zhuǎn)化為合適的線線角．
【探究】已知平面γ及它的一條斜線l，斜足為O，則過O在平面γ內(nèi)的直線m與l所夾的角是否不變？
先觀察：肯定變化
再論證：在l上取一點P，作PQ⊥γ于Q，過Q作QM⊥m于M，連接PM，易知PM⊥m．如圖記l與m所成的角（即∠POM）為β，記l與它在平面γ上的射影OQ所成的角為θ，∠QOM＝α在OM上取單位向量，則
這說明，由于θ為定角，所以β隨α而變化：
當(dāng)α＝0°時，取得最大值，從而β取最小值θ；
當(dāng)α＝90°時，取得最小值，從而β取最大值90°；
【結(jié)論】
斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角．
2、定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）．
注：（1）數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化：線面角→面面角
（2）關(guān)鍵：找射影
【練習(xí)】
（1）在棱長都為1的正三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是________．
（2）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
①BC1與平面AB1所成的角的大小是___________；
②BD1與平面AB1所成的角的大小是___________；
③CC1與平面BC1D所成的角的大小是___________；
④BC1與平面A1BCD1所成的角的大小是___________；
⑤BD1與平面BC1D所成的角的大小是___________；
（3）已知空間內(nèi)一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC兩兩夾角為60°，試求OA與平面BOC所成的角的大小．
3.2.4二面角及其度量
1、二面角的概念及記法
定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；叫做二面角．
說明：對二面角概念的理解，可類比與平面幾何中角的定義．射線——半平面，頂點——棱．
2、二面角的平面角
定義：在二面角的棱上任取一點O，在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量．我們約定，二面角的范圍[0°，180°]．
【探討】嘗試用向量求二面角的大小
如圖所示，分別在二面角的面α、β內(nèi)，并且沿α，β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，則我們可以用向量n1與n2的夾角來度量這個二面角．
如圖，設(shè)m1⊥α，m2⊥β，則角<m1，m2>與該二面角相等或互補(bǔ)．
3、求二面角平面角的方法
（1）定義法
實例：過空間一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，兩兩夾角60°，試求二面角B－OA－C的大小．
分析：如圖，在射線OA上取點P，使OP＝1，過P作PM⊥OA，交OB于M，作PN⊥OA，交OC于N，連接MN．則顯然∠MPN為所求二面角的一個平面角．
利用已知條件可以迅速求出OM＝ON＝MN＝2，PM＝PN＝．利用余弦定理，就可以求出∠MPN的大小為．
（2）三垂線定理
實例：如圖，已知直角Rt△ABC，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，試求二面角B－PA－C的大?。?/span>
分析：由已知，得：平面PAB⊥平面ABC，為了找此二面角的一個平面角，我們可先過C作CM⊥AB，這樣CM⊥平面PAB，然后，過M作MN⊥PA于N，連接CN．根據(jù)三垂線定理，得：CN⊥PA，于是∠MNC就是所求二面角的一個平面角．（想一想，還可以怎么做？）
3.2.5距離
【求距離的注意事項】
（1）求空間各種距離時，要緊緊抓住線線、點面、線面、面面之間距離的轉(zhuǎn)化，其中，最基本、最重要的是點面距．
（2）求距離和求角一樣，都要按照一作二證三計算的步驟進(jìn)行，不可忽視第二步的證明．
（3）求距離時，要注意四點：
①合理選點：當(dāng)線面平行時，選端點中點、交點．當(dāng)用體積法求點面距時，選高線長容易確定的頂點．
②點點距離等于向量的模長，建立空間直角坐標(biāo)系，探求向量坐標(biāo)，繼而求出模長、思路更加清晰，學(xué)生更易掌握．
③異面直線的距離注意考綱要求，不要擴(kuò)張．
④注意立體幾何與代數(shù)內(nèi)容的結(jié)合點，如幾何背景下的函數(shù)最值問題，幾何問題代數(shù)化的向量方法等等．
【典型例題】
例1. 正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖所示，E，F分別是棱AA1、AB的中點，求EF和平面ACC1A1所成角的大?。?/span>
解析：解法1：過F作FG⊥AC于點G，連結(jié)EG，
∵平面⊥平面ABCD且交線為AC
∴FG⊥平面，
EG為EF在平面內(nèi)的射影，
∴∠GEF即為EF與平面所成的角
設(shè)正方體棱長為1，則
又RtΔAGF中，∠GAF＝
∴
∴RtΔEGF中，
∴∠GEF＝
解法2：∵E、F分別是、AB的中點
∴
∴所求即為與平面所成角
設(shè)AC和中點為，則
由平面平面ABCD得
∴∠即為所求．
設(shè)正方體棱長為1，
RtΔ中，
∴
解法3：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長為2，則E（2，0，1），F（2，1，0）
作FG⊥AC于G，由解法1知，∠GEF即為所求．
∵RtΔAGF中，∠GAF
∴
∴G（，，0），（，，－1），（0，1，－1）
∴
∴
∴EF與平面所成角為．
點評：此題考查直線和平面所成角，其中，利用定義找射影是基本方法，確定斜線在平面內(nèi)射影的一般步驟：先找直線上不同斜足的一點（通常是已知的相關(guān)點）在平面內(nèi)的射影，再將其與斜足連結(jié)，即得．
例2.（2004，江蘇卷）在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
（1）求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）設(shè)O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；
（3）求點P到平面ABD1的距離．
解析：（1）∵AB⊥平面，
∴AP與平面所成的角就是∠APB．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為D．
∵
．
．
∵，
．
∴直線AP與平面所成的角為．
（2）連結(jié)，由（1）（0，0，4），O（2，2，4）．
∴（2，2，0），．
∴．
∵平面的斜線在這個平面內(nèi)的射影是，
∴．
（3）連結(jié)，在平面中，過點P作PQ⊥BC1于點Q．
∵AB⊥平面，．
∴PQ⊥AB
∴PQ⊥平面．
∴PQ就是點P到平面的距離．
在RtΔ中，∠C1QP＝90°，
∠PC1Q＝45°，PC1＝3，∴，
即點P到平面ABD1的距離為．
例3. 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，．求面SCD與面SAB所成角的二面角θ的正切值．
解析：以A為原點，AD，AB，AS分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，依題意有
S（0，0，1），C（1，1，0），D（，0，0），
設(shè)（x，y，z）是面SCD的一法向量，
則
．
解得n＝（2，－1，1），
因為＝（，0，0）是面SAB的一法向量，
所以，．
例4. 如圖，底面等腰直角三角形的直三棱柱，∠C＝，，D為上的點，且，求二面角的大小．
解析：因為∠C＝，所以AC⊥BC，又直三棱柱，于是以C為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A（0，3，0），B1（3，0，3），D（0，0，2），
所以（0，－3，2），＝（3，－3，3）
設(shè)平面的法向量為（1，λ，μ），
則 即
所以 所以＝（1，－2，－3）．
而平面的法向量即為＝（0，3，0），
所以
∴所求二面角大小為
【模擬試題】
1. 正方體中，直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
2. 正四面體ABCD，E、F分別為AC、AD中點，則ΔBEF在面ADC上的射影是（ ）
3. 平行六面體中，六個面都是菱形，則在平面上的射影是Δ的（ ）
A. 重心 B. 外心 C. 內(nèi)心 D. 垂心
4. 一直線與兩個互相垂直的平面所成的角分別為α、β，則（ ）
A. B.
C. D.
5. 一直線l，與平面α斜交成θ角，那么直線l與平面α內(nèi)所有直線所成的角中，最小角和最大角分別是（ ）
A. 0， B. θ， C. 不能確定 D. 以上都不對
6. 已知在ΔABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC，平面ABC外一點P到三個頂點的距離都是14，那么點P到面ABC的距離為（ ）
A. 49 B. C. D. 7
7. 線段AB夾在直二面角內(nèi)，，，AB與α、β所成的角分別為θ、，那么為（ ）
A. B. C. D.
8. 平面α內(nèi)的∠MON＝60°，PO是平面α的斜線段，PO＝3，且PO與∠MON的兩邊都成45°的角，則點P到α的距離為（ ）
A. B. C. D.
9. E是正方形ABCD的邊AB的中點，將ΔADE和ΔBCE沿DE、CE向上折起，使A、B重合于點P，則二面角D—PE—C的大小為（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 大于90°
10. 在棱長為1的正方形中，平面與平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
11. 在三棱錐P—ABC中，若PA＝PB＝PC，則點P在面ABC內(nèi)的射影是ΔABC的__________．
12. 長方體中，，AB＝2a，則對角線與平面ABCD所成角的余弦值為__________．
13. ΔABC的三個頂點A、B、C到平面α的距離分別為2cm，3cm，4cm，且它們在α的同側(cè)，則ΔABC的重心到平面α的距離為__________．
14. 已知RtΔABC的直角頂點C在平面α內(nèi)，斜邊AB//α，AB，AC、BC分別和平面α成45°和30°角，則AB到平面α的距離為__________．
15. 在正四邊體A—BCD中，E、F分別為AD、BC中點．
（1）求AF與CE所成角的余弦值．
（2）求CE與面BCD所成的角．
16. 在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，，求直線與側(cè)面所成的角．
17. 已知正方體的棱長為a，M為中點，O為的中點．
（1）求證：MO為與的公垂線段，并求OM長；
（2）求證：與面所成的角．
（3）求證：；
（4）求證：平面//平面，并求這兩個平面的距離．
18. 如圖：多面體由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得，AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，建立如圖坐標(biāo)系．
（1）求與點G的坐標(biāo)；
（2）求異面直線EF與AD所成的角；
（3）求截面AEFG與底面ABCD所成的銳二面角的正切值．
【試題答案】
1~10 C A D D A D D A B C
11. 外心
12.
13. 4
14. 2
15. 證明：（1）AB＝AC＝AD＝a
設(shè)，，
，
，
，
∴，
∴AF與CE夾角為．
（2）AO為正四面體的高，
，（EH為過BCD作的垂線段）
∠ECH為EC與面BCD所成的角，
，
∴CE與面BCD所成的角為
16. 取中點D，
∵Δ是正Δ，∴
∵是直棱柱
∴
連結(jié)AD．
∴∠DAB1是所求的角，，，
∴∠DAB，∴∠
17. （1）建立如圖坐標(biāo)，A1（a，0，0），A（a，0，a），B1（a，a，0），D（0，0，a），O（，，），M（a，0，），
，OM⊥AA1．
，OM⊥BD．
．
（2），
∴B1D與面AB1成角為
（3）B1D⊥A1C1，B1D⊥A1B，
∴B1D⊥面A1BC1．
（4），，
∴面．
∵，
∴的法向量，
（－a，－a，a），
∴面距離．
18. 解析：由題圖可知A（1，0，0，），B（1，4，0），E（1，4，3），F（0，4，4），
∴（－1，0，1）．
設(shè)G（0，0，z），因為平面ADG//平面BCFE，且截面AEFG截平面ADG和平面BCFE分別于AG、EF，所以AC//EF，同理可得AE//FG．
∴四邊形AEFG是平行四邊形．
∴ ∴（－1，0，1）＝（－1，0，z），．
∴G（0，0，1）．
（2）＝（－1，0，0），∵，，
，
∴．
∴
即AD與EF所成的角為45°
（3）＝（1，4，3）－（1，0，0）＝（0，4，3），
．．
，∴
S平行四邊形AEFG＝．
由射影面積，設(shè)平面AEFG與平面ABCD成θ°角
∴，∴．
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