萬有引力定律常結(jié)合牛頓第二定律、勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律和物理建模，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)綜合分析天體運(yùn)動(dòng)的能力，為每年高考必考試題。隨著新課改的推進(jìn)，試卷結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，該部分內(nèi)容以選擇題為主要考查題型，常以雙星、地球同步衛(wèi)星、當(dāng)年航天大事為題材進(jìn)行出題，難度中等。以下對(duì)該部分試題涉及的知識(shí)結(jié)合2010年全國(guó)高考物理試題，進(jìn)行歸類分析。
一、根據(jù)萬有引力定律分析天體、衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)
天體、衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由萬有引力提供，即，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的關(guān)系式；同時(shí)利用星球表面物體所受萬有引力近似等于物體重力的規(guī)律公式，
，進(jìn)行求解問題。
當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突變時(shí)（開啟或關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)或空氣阻力作用），萬有引力就不再提供向心力，衛(wèi)星將變軌運(yùn)行，可結(jié)合開普勒定律進(jìn)行解題。
當(dāng)v增大時(shí)，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原軌道，軌道半徑增大，進(jìn)入新軌道后，由知其運(yùn)行速度減小，但重力勢(shì)能、機(jī)械能均增加。當(dāng)v減小時(shí)，衛(wèi)星做向心運(yùn)動(dòng)，脫離原軌道，軌道半徑變小，進(jìn)入新軌道后，由
知其運(yùn)行速度增大，但重力勢(shì)能、機(jī)械能均減小。
?。ㄒ唬┒ㄜ夁\(yùn)行特征量計(jì)算問題
1．（2010·全國(guó)2，21）已知地球同步衛(wèi)星離地面的高度約為地球半徑的6倍，若某行星的平均密度為地球平均密度的一半，它的同步衛(wèi)星距其表面的高度是其半徑的2.5倍，則該行星的自轉(zhuǎn)周期約為
A．6小時(shí) B．12小時(shí)
C．24小時(shí) D．36小時(shí)
解析：對(duì)地球同步衛(wèi)星有＝m()2×7R地，對(duì)某行星的同步衛(wèi)星有＝m()2×R行，兩式相比得T1∶T2＝＝2∶1，那么行星的同步衛(wèi)星周期為12小時(shí)，即該行星的自轉(zhuǎn)周期約為12小時(shí)，B項(xiàng)對(duì)，故答案：B
點(diǎn)評(píng)：本題考查同步衛(wèi)星的相關(guān)知識(shí)，對(duì)考生的運(yùn)算能力要求較高．
2．（2010·四川，17）a是地球赤道上一幢建筑，b是在赤道平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)、距地面9.6×106 m的衛(wèi)星，c是地球同步衛(wèi)星，某一時(shí)刻b、c剛好位于a的正上方(如圖甲所示)，經(jīng)48 h，a、b、c的大致位置是圖乙中的(取地球半徑R＝6.4×106 m，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，π＝)
解析：對(duì)b有G＝m()2(R＋h)，而G＝mg，所以b的運(yùn)動(dòng)周期Tb＝2π ，即Tb＝2.0×104 s＝ h．故b經(jīng)48 h轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為n＝＝8.64圈。而c的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相同，即a與c都轉(zhuǎn)過2圈，回到原處，所以答案應(yīng)為B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查萬有引力與人造地球衛(wèi)星，意在考查考生對(duì)同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的理解，并能正確利用衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力即衛(wèi)星所受的萬有引力解答衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問題．
3．（2010·北京，16）一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上。已知引力常量為G，若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對(duì)天體表面壓力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為
A．() B．()
C．() D．()
解析：赤道表面的物體對(duì)天體表面的壓力為零，說明天體對(duì)物體的萬有引力恰好等于物體隨天體轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的向心力，有G＝mR和ρ＝得：T＝，選項(xiàng)D正確。
點(diǎn)評(píng)：本題意在考查考生運(yùn)用萬有引力定律和牛頓第二定律解決天體運(yùn)動(dòng)問題的能力．計(jì)算天體圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期，為密度計(jì)算的逆過程。
4．（2010·上海，24）如圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為、
、。在C的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑之比,則它們的周期之比=______；從圖示位置開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線了____次。
解析：根據(jù)，得,所以，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a運(yùn)動(dòng)8周，所以a、b、c共線了8次。
5．（2010·上海，15）月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小為，設(shè)月球表面的重力加速度大小為，在月球繞地球運(yùn)行的軌道處由地球引力產(chǎn)生的加速度大小為，則
A． B． C． D．
解析：根據(jù)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由地球引力提供，選B。難度：中等。
點(diǎn)評(píng)：以上兩題均考查萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)，但后者在兩者結(jié)合上很巧妙，是個(gè)很好的題目。
6．（2010·新課標(biāo)，20）太陽系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道。下列4幅圖是用來描述這些行星運(yùn)動(dòng)所遵從的某一規(guī)律的圖象。圖中坐標(biāo)系的橫軸是lg(T/T0)，縱軸是lg(R/R0)；這里T和R分別是行星繞太陽運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑，T0和R0分別是水星繞太陽運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑．下列4幅圖中正確的是
解析：根據(jù)開普勒周期定律：周期平方與軌道半徑三次方正比可知,兩式相除后取對(duì)數(shù)，得：，整理得：，選項(xiàng)B正確。
點(diǎn)評(píng)：本題考查天體運(yùn)動(dòng)的周期與軌道半徑的關(guān)系。可根據(jù)萬有引力提供向心力公式：，進(jìn)行求解，所以此題為萬有引力定律和開普勒定律的雙向考查。
7．（2010·浙江，20）宇宙飛船以周期為T繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于地球遮擋陽光，會(huì)經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示.已知地球的半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，地球自轉(zhuǎn)周期為T0，太陽光可看做平行光．宇航員在A點(diǎn)測(cè)出地球的張角為α，
A．飛船繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度為
B．一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為T/T0
C．飛船每次“日全食”過程的時(shí)間為
D．飛船周期為T=
解析：飛船繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝，飛船繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度v＝＝，A選項(xiàng)正確。因?yàn)橐惶斓臅r(shí)間為T0，飛船每繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)一次將看到一次“日全食”，所以一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為T0/T，B選項(xiàng)錯(cuò)誤。只要沒有太陽光照到飛船上，飛船上將處于“日全食”的過程中，這個(gè)過程所對(duì)應(yīng)的圓心角等于α，飛船每次經(jīng)歷“日全食”的時(shí)間為T，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤。飛船的周期T＝＝，D選項(xiàng)正確．所以答案：AD
點(diǎn)評(píng)：本題考查萬有引力定律、圓周運(yùn)動(dòng)、光學(xué)和日食模型的綜合應(yīng)用，有一定的新意，是道很好的題目。
啟示：從以上試題主要考查牛頓第二定律和萬有引力定律的綜合應(yīng)用，分析天體等定軌運(yùn)行時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的周期問題。結(jié)合2011年考試大綱，在今年的備考中，仍應(yīng)多加注意定軌運(yùn)行的特征量計(jì)算問題。
（二）變軌運(yùn)行特征量變化分析問題
8．（2010·江蘇，6）2009年5月，航天飛機(jī)在完成對(duì)哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的維修任務(wù)后，在A點(diǎn)從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，B為軌道Ⅱ上的一點(diǎn)，如圖所示，關(guān)于航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的有
A．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于經(jīng)過B的速度
B．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的動(dòng)能小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A 的動(dòng)能
C．在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期小于在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期
D．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的加速度
解析：航天飛機(jī)在軌道Ⅱ上從遠(yuǎn)地點(diǎn)A向近地點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中萬有引力做正功，所以A點(diǎn)的速度小于B點(diǎn)的速度，選項(xiàng)A正確；航天飛機(jī)在A點(diǎn)減速后才能做向心運(yùn)動(dòng)，從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，所以軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)的動(dòng)能小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A點(diǎn)的動(dòng)能，選項(xiàng)B正確；根據(jù)開普勒第三定律＝k，因?yàn)檐壍?/span>Ⅱ的長(zhǎng)半軸小于軌道Ⅰ的半徑，所以航天飛機(jī)在軌道Ⅱ的運(yùn)動(dòng)周期小于在軌道Ⅰ的運(yùn)動(dòng)周期，選項(xiàng)C正確；根據(jù)牛頓第二定律F＝ma，因航天飛機(jī)在軌道Ⅱ和軌道Ⅰ上A點(diǎn)的萬有引力相等，所以在軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)的加速度等于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A點(diǎn)的加速度，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故答案：ABC
點(diǎn)評(píng)：本題考查萬有引力和開普勒定律的綜合應(yīng)用，意在考查考生分析航天飛機(jī)變軌過程中的相關(guān)問題的能力。難度：中等。
【真題擴(kuò)展】
航天飛機(jī)在A點(diǎn)從圓形軌道I變到II，航天飛機(jī)應(yīng)向前噴氣還是向后噴氣？
答案：應(yīng)向前噴氣使航天飛機(jī)減速。
9．（2010·天津卷，6）探測(cè)器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則變軌后與變軌前相比
A．軌道半徑變小 B．向心加速度變小
C．線速度變小 D．角速度變小
解析：由于，所以，T變小，r變小，A正確。又，，r變小，an增大，B錯(cuò)誤。由，，r變小，v增大，C錯(cuò)誤。由，，r變小，ω增大，D錯(cuò)誤，故答案為A。
10．（2010·海南，10）火星直徑約為地球的一半，質(zhì)量約為地球的十分之一，它繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為地球公轉(zhuǎn)半徑的1.5倍。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以下說法正確的是
A．火星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面小
B．火星公轉(zhuǎn)的周期比地球的長(zhǎng)
C．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大
D．火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的大
解析：由得，計(jì)算得火星表面的重力加速度約為地球表面的2/5，A正確；由得，公轉(zhuǎn)軌道半徑大的周期長(zhǎng)，B對(duì)；周期長(zhǎng)的線速度小，(或由判斷軌道半徑大的線速度小)，C錯(cuò)；公轉(zhuǎn)向心加速度，D錯(cuò)。故答案選：AB
點(diǎn)評(píng)：以上兩題均考查萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合，分析圓周運(yùn)動(dòng)特征量隨半徑的變化規(guī)律，難度：中等。
11．（2010·山東，18）1970年4月24日，我國(guó)自行設(shè)計(jì)、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”發(fā)射成功，開創(chuàng)了我國(guó)航天事業(yè)的新紀(jì)元．“東方紅一號(hào)”的運(yùn)行軌道為橢圓軌道，其近地點(diǎn)M和遠(yuǎn)地點(diǎn)N的高度分別為439 km和2384 km，則
A．衛(wèi)星在M點(diǎn)的勢(shì)能大于N點(diǎn)的勢(shì)能
B．衛(wèi)星在M點(diǎn)的角速度大于N點(diǎn)的角速度
C．衛(wèi)星在M點(diǎn)的加速度大于N點(diǎn)的加速度
D．衛(wèi)星在N點(diǎn)的速度大于7.9 km/s
解析：東方紅衛(wèi)星在軌道運(yùn)行過程中，機(jī)械能保持不變．由于M點(diǎn)離地面高度小于N點(diǎn)，所以衛(wèi)星在M點(diǎn)的勢(shì)能小于在N點(diǎn)的勢(shì)能，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；衛(wèi)星在M點(diǎn)的速度大于在N點(diǎn)的速度，由角速度公式ω＝v/R可知衛(wèi)星在M點(diǎn)的角速度大于在N點(diǎn)的角速度，選項(xiàng)B正確；由于M點(diǎn)離地面高度小于N點(diǎn)，所以衛(wèi)星在M點(diǎn)所受萬有引力大于在N點(diǎn)所受的萬有引力，由牛頓第二定律可知，衛(wèi)星在M點(diǎn)的加速度大于在N點(diǎn)的加速度，選項(xiàng)C正確；7.9 km/s是衛(wèi)星圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，所以衛(wèi)星在N點(diǎn)的速度一定小于7.9 km/s，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故答案：BC
點(diǎn)評(píng)：本題通過衛(wèi)星橢圓軌道運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)（可認(rèn)為是衛(wèi)星變軌的一個(gè)中間過程），考查航天運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)、牛頓第二定律、萬有引力定律等知識(shí)點(diǎn)，意在考查考生理解和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．難度：中等。
二、天體質(zhì)量和密度計(jì)算問題
1．利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
由，得天體質(zhì)量，天體密度。
2．通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，軌道半徑r。
（1）由萬有引力等于向心力，即，得出中心天體質(zhì)量；
（2）已知天體的半徑R，則天體的密度；
（3）若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度?？梢?，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估測(cè)出中心天體的密度。
12．（2010·安徽，17）為了對(duì)火星及其周圍的空間環(huán)境進(jìn)行探測(cè)，我國(guó)預(yù)計(jì)于2011年10月發(fā)射第一顆火星探測(cè)器“螢火一號(hào)”。假設(shè)探測(cè)器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期分別為T1和T2?；鹦强梢暈橘|(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，引力常量為G。僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的質(zhì)量和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力
C．火星的半徑和“螢火一號(hào)”的質(zhì)量
D．火星表面的重力加速度和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力
解析：由于萬有引力提供探測(cè)器做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有
；，可求得火星的質(zhì)量和火星的半徑，根據(jù)密度公式得：。在火星表面的物體有，可得火星表面的重力加速度，故選項(xiàng)A正確。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查天體運(yùn)動(dòng)知識(shí)，意在考查考生對(duì)天體運(yùn)動(dòng)中的一些基本公式的理解和應(yīng)用，如求解天體質(zhì)量、密度等。
13．（2010·福建卷，14）火星探測(cè)項(xiàng)目是我國(guó)繼神舟載人航天工程、嫦娥探月工程之后又一個(gè)重大太空探索項(xiàng)目．假設(shè)火星探測(cè)器在火星表面附近圓形軌道運(yùn)行的周期為T1，神舟飛船在地球表面附近的圓形軌道運(yùn)行周期為T2，火星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為p，火星半徑與地球半徑之比為q，則T1與T2之比為( )
A． B． C． D．
解析：本題意在考查學(xué)生應(yīng)用萬有引力定律分析實(shí)際問題的能力．火星探測(cè)器繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)過程中，火星對(duì)探測(cè)器的萬有引力提供向心力，即：＝mR1()2?T1＝，同理可知飛船繞地球的周期T2＝，所以＝＝，D項(xiàng)正確．
點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)注我國(guó)航天事業(yè)的發(fā)展，意在考查學(xué)生應(yīng)用萬有引力定律分析實(shí)際問題的能力，為天體質(zhì)量和密度的逆向計(jì)算。
啟示：本類型要求考生熟練掌握萬有引力定律在處理有關(guān)第一宇宙速度、天體質(zhì)量和密度、周期與距離以及同步衛(wèi)星的方法，特別要關(guān)注今年度航天事件。
三、雙星運(yùn)動(dòng)問題
雙星運(yùn)動(dòng)問題是指兩天體僅在彼此的引力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，兩天體運(yùn)動(dòng)的向心力、角速度和周期相等，質(zhì)量與半徑呈反比。
14．（2010·全國(guó)1，25）如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。
（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。
（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T1。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）
審題引導(dǎo)
兩星球在運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)靠彼此間的萬有引力提供向心力。兩星球運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期、角速度相等。
解析：(1)設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，相互作用的引力大小為F，運(yùn)行周期為T.根據(jù)萬有引力定律有：F＝G ①，由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：F＝m()2r ②F＝M()2R ③由題意有：L＝R＋r ④聯(lián)立①②③④式得T＝2π ⑤。
（2）在地月系統(tǒng)中，由于地月系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中心O不在地心，月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期可由⑤式得出：T1＝2π ⑥，式中，M′和m′分別是地球與月球的質(zhì)量，L′是地心與月心之間的距離。若認(rèn)為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則：G＝m′()2L′⑦，式中，T2為月球繞地心運(yùn)動(dòng)的周期。由⑦式得T2＝2π ⑧。由⑥⑧式得：()2＝1＋，代入題給數(shù)據(jù)得：()2＝1.012
【真題擴(kuò)展】
第1問中，兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是分別多少?
解析：由，所以，又因?yàn)?/span>r+R=L解得：,
15．（2010·重慶，16）月球與地球質(zhì)量之比約為1∶80，有研究者認(rèn)為月球和地球可視為一個(gè)由兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，它們都圍繞月地連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，據(jù)此觀點(diǎn)，可知月球與地球繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比約為
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
解析：月球和地球繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，則地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始終共線，說明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有，所以，線速度和質(zhì)量成反比，正確答案C。
點(diǎn)評(píng)：以上兩題均以雙星為模型，意考查萬有引力定律與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用。
啟示：從2010年試題來看雙星問題考查漸少，但根據(jù)考綱在2011年的備考中，仍要強(qiáng)化訓(xùn)練，做到心中有數(shù)。
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