數(shù)學(xué)不僅是解決物理問題的工具，數(shù)學(xué)方法更是物理學(xué)的研究方法之一。在物理解題中，可以運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將“物理模型”轉(zhuǎn)化成“數(shù)學(xué)模型”，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行求解或論證，再將數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題中進(jìn)行驗(yàn)證，完成物理問題的求解。
一、函數(shù)模型
函數(shù)模型就是建立起所求量或所研究量與已知量或決定量之間的函數(shù)關(guān)系，然后運(yùn)用函數(shù)的運(yùn)算或性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算或判斷。這是物理解題中最常用的數(shù)學(xué)模型，一般用來解決最值問題或變量問題比較方便。
例1 一輛汽車在十字路口等候紅綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。求汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？
分析與求解：設(shè)汽車起動(dòng)后經(jīng)時(shí)間t還未追上自行車，則汽車的位移為：s1=at2，自行車的位移為：s2=vt，二者間距為Δs=s2-s1=vt-
at2。
帶入已知數(shù)據(jù)，建立Δs與ｔ的函數(shù)關(guān)系式：。
由此式可知：當(dāng)ｔ＝2s時(shí)，Δs最大為6m。即汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前2s兩車相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是6m。
二、三角模型
有關(guān)涉及位移、速度、加速度、力等矢量的問題，可運(yùn)用矢量合成與分解的平行四邊形定則建立由表示已知量與未知量的矢量構(gòu)成的矢量三角形，運(yùn)用三角形的知識(shí)進(jìn)行求解與分析。
例2 如圖１所示，用細(xì)繩懸AB吊一質(zhì)量為ｍ的物體，現(xiàn)在AB中的某點(diǎn)O處再結(jié)一細(xì)繩用力F拉細(xì)繩，使細(xì)繩的AO部分偏離豎直方向的夾角為θ后保持不動(dòng)，則F的最小值是多少？
分析與求解：以Ｏ點(diǎn)為研究對象，則它在AO繩的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三個(gè)力的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此，這三個(gè)力相互平衡。這樣，表示這三個(gè)力的矢量，首尾相接應(yīng)該組成一個(gè)封閉三角形。由于繩BO對O點(diǎn)的拉力FBO=mg恒定不變，繩AO 對O點(diǎn)的拉力方向不變。所以，當(dāng)F方向變化時(shí)，由圖1可以看出，當(dāng)F方向與AO垂直時(shí)，F(xiàn)最小，F(xiàn)=mg
三、圖像模型
圖像模型就是，在平面直角坐標(biāo)系中，建立起有某種關(guān)系的物理量間的關(guān)系圖像，利用圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積，圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，圖像間的交點(diǎn)的物理意義進(jìn)行分析和求解。這類問題求解時(shí)，準(zhǔn)確化出圖像是關(guān)鍵。
例3 如圖2所示，兩光滑斜面的總長度相等，高度也相同，兩球由靜止從頂端滑下，若求在右圖斜面上的轉(zhuǎn)折處無能量損失，則兩球誰先滑至底端？
四、不等式模型
所謂不等式模型，就是根據(jù)題意或解題要求，就所求量和題中已知量建立起不等關(guān)系式，通過不等式的求解和分析，完成物理問題的求解。
例4 如圖3-（a）所示，用一水平力F使質(zhì)量為ｍ的物體靜止于傾角為θ的斜面上，已知斜面對物體的最大靜摩擦力為它們接觸面間壓力的μ倍，θ求水平力F的大??？
分析與求解：物體恰要上滑時(shí)，受力如圖（ｂ）所示，物體恰要下滑時(shí)受力如圖（ｃ）所示。不管是上滑還是下滑，物體和斜面間的壓力都為：N＝mgcosθ+Fsinθ。
欲使物體不上滑，應(yīng)有：Fcosθmgsinθ+μN(yùn)。
欲使物體不下滑，應(yīng)有：Fcosθ+μN(yùn)mgsinθ。
解以上幾式得F的取值范圍為：F。
五、一元二次方程模型
一元二次方程模型，就是使題中涉及的已知量和未知量構(gòu)成一個(gè)一元二次方程，利用解根的判別式或韋達(dá)定理進(jìn)行求解或分析。
例5 甲、乙兩汽車相距s，甲在前，乙在后，沿著同一條直線同時(shí)開始向前運(yùn)動(dòng)，甲以速度v0勻速運(yùn)動(dòng)，乙由靜止開始以加速度a勻加速運(yùn)動(dòng)。問什么情況下甲能追上乙？什么情況下甲追不上乙？
分析與求解：設(shè)從運(yùn)動(dòng)開始到甲追上乙的時(shí)間為t，則這段時(shí)間里甲乙輛車的位移分別為：s甲=，s乙=，這一過程中，兩車的位移間應(yīng)有：s乙+s= s甲，由這三式得：
，這是關(guān)于t的一元二次方程，解此方程得：，由此可知：(1)當(dāng)＜０即＜時(shí)方程無解，甲追不上乙。
(2)當(dāng)＝０即時(shí)方程有一解，開始后=時(shí)刻，甲追上乙，此時(shí)兩車速度相等。
(3)當(dāng)＞０即＞時(shí)方程有兩解，，開始后時(shí)刻甲追上乙，此后甲超過乙，時(shí)刻乙又趕上并超過甲。
故，若＜，甲不能追上乙.若，甲能追上乙。
例6 豎直上拋的物體，分別在t1秒末和t2秒末兩次通過空中某一點(diǎn)，求該點(diǎn)離地面的高度和拋出時(shí)的速度。（不計(jì)空氣阻力）
分析與求解：設(shè)物體先后兩次通過的這一點(diǎn)離地面的高度位H，物體被拋出時(shí)的速度為vo。由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的位移公式可知，從物體被拋出到經(jīng)過這一位置應(yīng)有：
，此時(shí)可變形為關(guān)于t的一元二次方程：，物體通過高度位H的點(diǎn)的時(shí)刻t1、t2就是該方程的兩個(gè)解。由韋達(dá)定理知：，，由此兩式可得：，。
六、圓與切線模型
對于物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用，其中兩個(gè)力是變化的這類問題，小船渡河問題等，可建立圓與切線模型，對原物理問題進(jìn)行分析求解.
例7 用絕緣細(xì)線懸掛一質(zhì)量為ｍ，帶電量為+q的小球，豎直平面內(nèi)有場強(qiáng)為E、方向不定的勻強(qiáng)電場，且qE<mg，小球在電場中處于靜止?fàn)顟B(tài)。求細(xì)線與豎直方向的最大夾角及此時(shí)電場的方向。
分析與求解：由于小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此，所受重力mg、電場力qE、細(xì)線拉力T三力矢量首尾相接構(gòu)成封閉三角形。三力中，重力mg大小、方向均不變，電場力大小不便，但方向不定，對應(yīng)不同方向的電場力，細(xì)線拉力的董小、方向均不同。如圖4所示，以表示重力的矢量末端為圓心、表示電場力的矢量qE為半徑做圓，則當(dāng)表示細(xì)線拉力的矢量T園相切時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角最大，由圖可知，這個(gè)最大夾角為： ，這也是電場方向與水平方向的夾角，即，電場沿與水平方向成角斜向上時(shí)，細(xì)線與豎直方向有最大夾角。
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