柯西不等式是非常重要的不等式，它的應(yīng)用很廣泛、且應(yīng)用過(guò)程也相當(dāng)靈活，真正可以體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是思維的體操”，本文介紹柯西不等式另兩種形式的應(yīng)用，供參考：
1.柯西不等式的向量形式
設(shè)是兩個(gè)向量，則
，當(dāng)且僅當(dāng)
是零向量或存在實(shí)數(shù)
，使
時(shí)，等號(hào)成立；這是柯西不等式的向量形式，下面談?wù)勥@一形式在解題中的應(yīng)用。 
例1 已知，若
恒成立，求的最大值。
解析：設(shè)，由得：，即。
例2 設(shè)，求的最小值。
解析：設(shè)。
由得：，
即，故的最小值為。
例3 求函數(shù)的最大值及最小值。
解析：由原函數(shù)式得，設(shè)
，由得，
故最大值及最小值分別為與。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于上述三道例題都是通過(guò)構(gòu)造向量，利用柯西不等式的向量形式完成求解的。恰當(dāng)、合理的構(gòu)造向量是求解的關(guān)鍵，有一定的靈活性，當(dāng)然也有一定的難度，突破它要靠平時(shí)多留心、多積累。
2.柯西不等式的三角形式
設(shè)都是實(shí)數(shù)，則。此為柯西不等式的三角形式，可以借助三角形任意兩邊和大于第三邊加以理解。下面談?wù)勥@一形式在解題中的應(yīng)用。
例4 求函數(shù)的最小值。
解析：由，
得，
。
點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用三角形式求最小值時(shí)，我們要注意兩點(diǎn)：①在使用公式過(guò)程中，要能夠抵消變量；②要盡可能的使定值最大。比如本題若變成雖產(chǎn)生結(jié)論，但“2”并不是最小值。
例5 求函數(shù)的最大值；
解析：由三角形式稍作變化，即得，
由于
。
點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用三角形式求最大值時(shí)，我們也要注意兩點(diǎn)：①在使用公式過(guò)程中，要能夠抵消變量；②要盡可能的使定值最小。比如本題若變成雖產(chǎn)生結(jié)論，但并不最大值。
至此，我們看出了柯西不等式另兩種形式的應(yīng)用，也許對(duì)你以后的解題會(huì)有所啟發(fā)，使你的解題思路就得格外活躍。
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