數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有重要的地位，是高考數(shù)學(xué)的主要考查內(nèi)容之一。2010年高考數(shù)學(xué)試題，繼續(xù)體現(xiàn)“穩(wěn)中微變，創(chuàng)新發(fā)展”命題思路，命題堅(jiān)持以穩(wěn)定為主，注意適度創(chuàng)新，做到“命題突出數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，貼近教學(xué)實(shí)際，既注意全面，又突出重點(diǎn)，注重文理差異，注重知識內(nèi)在聯(lián)系的考查，注重對中學(xué)教學(xué)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的考查?！?span style="COLOR: white">
為了在高考中取得好成績，考生首先必須復(fù)習(xí)、掌握好數(shù)列這一板塊及其相關(guān)的知識技能，同時必須了解近幾年來高考中數(shù)列試題的能力考查特點(diǎn)，掌握相關(guān)的應(yīng)對策略，以培養(yǎng)提高解決高考數(shù)列問題的能力。筆者結(jié)合自己高考備考教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)真剖析該部分重要高考考點(diǎn)，并從最近5年高考試卷中精選數(shù)列考點(diǎn)經(jīng)典試題，對每一個考點(diǎn)都提供常見實(shí)用的做題方法（即通性通法），力求對高考備考的學(xué)子有所裨益。
考點(diǎn)1: 數(shù)列的基本概念
數(shù)列的基本概念包括理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根遞推公式據(jù)寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，理解等差數(shù)列的概念，理解等比數(shù)列的概念。
數(shù)列的基本概念在近5年的高考中基本上在選擇題、填空題中考查，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念及其應(yīng)用。在近5年高考試題中，對數(shù)列的基本概念的考查形式多樣、考查方式較靈活、內(nèi)容較綜合，要求考生在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，充分觀察和想象，然后利用所學(xué)知識解決新情景下的數(shù)列試題。
1（2009湖北卷）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
解析：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)
，則由
可排除A、D，又由
知
必為奇數(shù)，故選C。
答案： C
評注：數(shù)列的基本概念類型的試題重在基本概念，重在觀察類比，考生應(yīng)該把此類實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)數(shù)列問題，然后借助所學(xué)知識解決。
考點(diǎn)2 : 數(shù)列的通項(xiàng)公式
高考數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)包括：①、等差數(shù)列通項(xiàng)公式，②、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，③、給出遞推公式，求通項(xiàng)公式。其中①、②主要是考查基本量問題 ，在等差(比)數(shù)列中，常會在首項(xiàng)a1，第n項(xiàng)an，項(xiàng)數(shù)n，公差(比)d (q) ，前n項(xiàng)和Sn之間，給出一些已知條件，從而得出這五個量之間的某些關(guān)系，可以求出其他的一些量。③一般在解答題中考查，此類考題較難，常常作為壓軸題。考慮到文理科的差異，文、理數(shù)學(xué)卷稍有區(qū)別，文科數(shù)學(xué)解答題?？嫉炔?、等比數(shù)列綜合題，而理科數(shù)學(xué)解答題常?？歼f推公式類題。
（Ⅰ）最近5年全國高考等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式經(jīng)典真題精析
從近5年全國高考試題來看，等差、等比數(shù)列部分基本量問題考查較多。數(shù)列中項(xiàng)類型題目的考查也尤為頻繁，連續(xù)幾年都不間斷考查，考生在復(fù)習(xí)備考一定要注意兩點(diǎn)：①、當(dāng)是奇數(shù)時，等差中項(xiàng)在解決問題的妙用，即，②、若m+n=p+q，則an+am=ap+aq (m，n，p，q∈N+)；等比中項(xiàng)類型題目也尤為頻繁，此類題目一定要注意正負(fù)問題，做好取舍是關(guān)鍵。值得一提的是，由國家考試中心命制的2010年全國卷I、II分別考查了等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)，足見中項(xiàng)之熱。另外等差、等比數(shù)列的小綜合題也時有出現(xiàn)，要引以足夠的重視。
2（2010全國卷II）如果等差數(shù)列中，++=12，那么++…+=（ ）
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
解析：觀察到是、中項(xiàng)，有等差中項(xiàng)性質(zhì)得，由等差中項(xiàng)在解決（要求是奇數(shù)）的妙用，，
答案： C
評注：數(shù)列的基本概念類型的試題重在基本概念，重在觀察類比，考生應(yīng)該把此類實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)數(shù)列問題，然后借助所學(xué)知識解決。
3（2010全國卷I）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=( )
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)、等比中項(xiàng)的性質(zhì)知:，
10，所以，
所以
評注:本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識，如果在 高考復(fù)習(xí)中對等比中項(xiàng)相當(dāng)熟悉，那么解決此題易如反掌。
4（2010全國卷II文）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）略。
解：（I）設(shè)公比為q，則，由已知有
化簡得
由所以
評注: 本題是等比數(shù)列通項(xiàng)公式問題，體現(xiàn)高考的“文理差異”，此題式子的呈現(xiàn)形式很美，但也給計(jì)算能力稍弱的文科考生帶來麻煩，只要認(rèn)真計(jì)算，肯定能拿滿分。
（II）最近5年全國高考給出遞推公式求通項(xiàng)公式經(jīng)典真題精析
給出遞推公式求通項(xiàng)公式是高考數(shù)列解答題的常見形式，往往是數(shù)列壓軸題的第一小 題。此類題目思維難度較大，但解決方法一般不唯一，為了降低難度，讓不同層次的考生得到應(yīng)得的分?jǐn)?shù)，往往都給了相關(guān)的提示，考生只需合理利用好提示，就能順利解答。用好提示，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，是解決最近幾年高考此類試題的基本方法和思路。
5（2009全國卷II理）設(shè)數(shù)列的前 n項(xiàng)和為，已知
（Ⅰ）設(shè)
（Ⅱ）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式
解：（Ⅰ）由= ，有，兩式相減得
變形為，即，（n2） 由=，得，于是所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列。
（Ⅱ）由（1）得，即，所以，且于是是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以
考點(diǎn)3: 數(shù)列的求和
數(shù)列的求和考點(diǎn)包括：①、等差數(shù)列求和，②、等比數(shù)列求和，②、給出遞推公式，先求通項(xiàng)公式，再求和。通項(xiàng)公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ)和前提，其中①、②主要是考查基本量問題，注意數(shù)列求和思想方法，特別是公式的使用條件，③一般在解答題中考查，此類考題較難，常常作為壓軸題。高考中求和?？疾?/span>裂項(xiàng)求和、等比乘等差類型求和、對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。
從最近5年高考試題來看，倒序相加法、錯位相減法等基本的求和方法也時?？疾?，
等差乘等比類型數(shù)列的求和考查十分頻繁，而此類型試題來源于課本單元總復(fù)習(xí)B組題，足見在高考備考中課本的復(fù)習(xí)的重要性。
（Ⅰ）最近5年全國高考等差數(shù)列、等比數(shù)列求和經(jīng)典真題精析
6（2009寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=( )
A.7 B.8 C.15 D.16
解析：本題是等差、等比數(shù)列的小綜合題，要求考生具備熟練運(yùn)用基本公式求答的能力。
4，2，成等差數(shù)列，
。答案： C
（II）最近5年全國高考給出遞推公式求和經(jīng)典真題精析
7（2009全國卷Ⅰ理）在數(shù)列中，
（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式
（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和
解 ：（I）略。（II）由（I）知，=
而，又是一個等差乘模等比型，方法是錯位相減法，
易得=.
考點(diǎn)4: 數(shù)列函數(shù)不等式綜合
最近五年來，數(shù)列在很多高考試卷中常常作為壓軸題，題目形式多是在遞推公式基礎(chǔ)上，要求考生先求出通項(xiàng)公式或先猜想、再用數(shù)學(xué)歸納法證明，然后在考查數(shù)列函數(shù)不等式的綜合。解決數(shù)列函數(shù)不等式的綜合，常常的方法有：數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)、不等式放縮法等。此類試題難度較大，為基本不得分題目，考生要在平時的復(fù)習(xí)備考中留心，并在練習(xí)中認(rèn)真體會，爭取突破此難點(diǎn)。數(shù)列、函數(shù)和不等式綜合題，主要考查考生推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。數(shù)學(xué)歸納法是研究數(shù)列的有力工具，應(yīng)該在平時的復(fù)習(xí)備考中留心，并在練習(xí)中認(rèn)真體會。
8（2010全國卷II理）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：．
解：（I）
所以
（II）當(dāng)n=1時，
當(dāng)時，
=所以，當(dāng)
評注：本題是數(shù)列、極限、不等式綜合題，數(shù)列大題中出現(xiàn)數(shù)列極限在近年全國卷中出現(xiàn)尚屬首次，考生要高度重視；本題（Ⅰ）要運(yùn)用，本題（II）除了用答案所給方法外，還可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，留給考生自己練習(xí)。
9（2008全國卷I）設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：．
（Ⅰ）（Ⅲ）證明:（略)
（Ⅱ）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時，，，
，由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，成立，即，
那么當(dāng)時，由在區(qū)間是增函數(shù)，得，
.而，則，
，也就是說當(dāng)時，也成立；
根據(jù)（?。?、（ⅱ）可得對任意的正整數(shù)，恒成立.
評注：數(shù)學(xué)歸納法是解決數(shù)列函數(shù)不等式綜合題的常用方法，理科數(shù)學(xué)考試大綱中要求理考生能數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，考生在平時考試中要注意運(yùn)用體會，認(rèn)真總結(jié)方法，力爭高考出現(xiàn)此類試題能夠拿到理想的分?jǐn)?shù)。
高考遵循一定的命題規(guī)律，高考試題具有一定的連續(xù)性、穩(wěn)定性，同時也在適度地創(chuàng)新發(fā)展，最近5年的高考體現(xiàn)的特點(diǎn)是穩(wěn)中微變，創(chuàng)新發(fā)展。作為一名高考生，應(yīng)該必須適度研究高考，特別重視歷年的高考真題，大做特做高考題。在做高考真題中體會高考，領(lǐng)會高考的命題思想，鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識；這樣，在平時復(fù)習(xí)中，扎扎實(shí)實(shí)搞基礎(chǔ)，老老實(shí)實(shí)做真題，避免陷入模考、大考的題海中，努力做到把平時當(dāng)高考，那么就會在高考時，你就會把高考當(dāng)平時，以一個平常心答完人生的大考卷。
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容。在最后100多天的高考備考復(fù)習(xí)中，一方面、我們要更進(jìn)一步牢牢抓住“兩綱一本”，研讀高考考試大綱和高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，明確高考考試的內(nèi)容和方向；另一方面、熟讀高中的數(shù)學(xué)課本，掌握好基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法。根據(jù)考綱的要求，找到自己的不足和缺陷，在平時的復(fù)習(xí)和考試中，逐一解決，這樣就能避免不必要的重復(fù)性的復(fù)習(xí)，提高了復(fù)習(xí)備考效率。只要我們對自己充滿信心，把握住數(shù)列部分的基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能，再適當(dāng)?shù)淖鲆恍┯嗅槍π缘挠?xùn)練題，認(rèn)真做好反思總結(jié)，那么我們一定會在高考數(shù)列部分大獲全勝。
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