“四基”數(shù)學模塊教學的構建——兼談數(shù)學思想方法的教學
張奠宙1，鄭振初2
（1．華東師范大學數(shù)學系，上海200241;2．香港教育學院，香港）
摘要：數(shù)學教育中的“四基”是指：基本數(shù)學知識、基本數(shù)學技能、基本數(shù)學思想方法、基本數(shù)學活動經(jīng)驗，“四基”模塊的類型主要有：概念型綜合模塊、定理證明型模塊、問題解決型模塊、突出“數(shù)學思想方法”的模塊、突出數(shù)學基本數(shù)學活動經(jīng)驗的模塊、突出基本技能演練的模型、定理證明中的綜合運用型模塊、實際情境創(chuàng)設中的四基模塊、積累數(shù)學經(jīng)驗的模塊、形成重大數(shù)學方法的模塊．
關鍵詞：雙基；四基：教學模塊；數(shù)學思想方法教學
中圖分類號：G420文獻標識碼：A文章編號：1004-9894( 2011) 05-0016-04
中國數(shù)學教育，一向以雙基（基本知識和基本技能）的掌握作為重要訴求．1980年代徐利治先生倡導“數(shù)學方法論”，數(shù)學思想方法教學進入課堂．晚近以來，許多有識之士建議增加為四基，即增加基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，現(xiàn)在，這一建議已經(jīng)在《9年義務制數(shù)學課程標準（修訂稿）》征求意見
時正式采納，而且在數(shù)學教育界有高度的認同感．
那么，“四基”之間的關系如何？怎樣進行”四基“教學？都是重要的研究課題．這里試圖詮釋“四基”之間的關系，構建“四基”數(shù)學教學模塊，并借助案例進行闡述．
多年來，數(shù)學思想方法本身的研究非常豐富，但是如何在課堂上進行數(shù)學思想方法的教學規(guī)律，研究的文獻非常少．研究者借助四基數(shù)學模塊的構建，著重探討基本數(shù)學思想方法的教學途徑，尋求和其它“三基”的融合，希冀能夠在課堂上落實基本數(shù)學思想方法的教學，為發(fā)揚中國數(shù)學教育特色提供一些新的思路．
“四基”并非孤立地存在著，而是互相鏈接，形成你中有我、我中有你的交錯局面．“四基”的基本形式是一個3維的模塊．學生頭腦里的數(shù)學大廈，是在一個個的基礎模塊之上建立起來的，
這里，給出四基數(shù)學教學模塊的示意圖．
2006年，在寧波舉辦的數(shù)學教師進修班上，曾經(jīng)提出過“雙基數(shù)學模塊”的建議【l】，實際上，這個模型已經(jīng)超出了“雙基”范圍，涉及到了“三基”，即：
第一維度，基本數(shù)學知識的積累過程；
第二維度，基本數(shù)學技能的演練過程；
第三維度，基本數(shù)學思想方法的形成過程．
這樣一來，“四基”中前“三基”就已經(jīng)形成了一個3維的“數(shù)學基礎模塊”．那么第四個“基本”——基本數(shù)學活動經(jīng)驗應該放在哪里呢？基本數(shù)學活動經(jīng)驗本身并不構成一個單獨的維度．而是充填在3維模塊中間的粘合劑，事實上，數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，學生通過無處不在的基本數(shù)學活動獲得的經(jīng)驗，與數(shù)學基本知識、基本能力、基本思想方法交織在一起，滲透在整體數(shù)學學習過程之中，如圖1所示．
圖l四基模塊示意圖
數(shù)學基礎模塊有大小之分．例如方程，是一個大的基礎模塊，一元一次方程則是一個較小的模塊．彼此有從屬關系，正如人有神經(jīng)系統(tǒng)、循環(huán)系統(tǒng)、消化系統(tǒng)、呼吸系統(tǒng)等許多重要部分，而人的各個系統(tǒng)又是由各種不同的臟器作為組成部分，進一步，各種臟器又以細胞作為載體，數(shù)學也是如此，
這一模塊的構建，可說是中國數(shù)學課堂教學的一個典型模式，其中既有扎扎實實打基礎的內(nèi)容，也有提煉數(shù)學思想方法的發(fā)展部分，在整個活動中，借助變式練習，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，顯示了中國數(shù)學教育的特色．
在一堂數(shù)學教學課中，知識的獲得、技能的訓練，數(shù)學方法的提煉，互相交叉滲透，沒有單純的知識，也沒有脫離知識的技能．至于數(shù)學方法，建筑在知識和技能之上，但也會具有獨立的價值，而學生在學習過程中獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗，則以上述“三基”為載體．
那么，以上的“四基”數(shù)學模塊，是如何形成的呢？
數(shù)學內(nèi)容是各不相同的，弗賴登塔爾指出，數(shù)學知識有兩類：程序性的算法知識和思辨性知識[2]，程序性又可以分為語言表示（如符號表示，書寫格式）程序、操作性的變換程序（如解方程的同解變換）和運算規(guī)則（如負負得正）等部分，思辨性的知識也有概念形成和定理的建立和演繹證明、反思等不同的類別，但是，無論哪一種數(shù)學基礎，都是“四基”相互作用的結(jié)果，只是形成的過程彼此不同、機制互相有異．因此，四基模塊形式也是多種多樣的，以下將就各種類型的四基模塊進行探討，并結(jié)合一些案例進行分析．
案例1概念型綜合模塊：一元一次方程，
本案例的四基呈現(xiàn)順序是：基本知識的掌握一練習獲得基本技能一通過反思獲得基本思想方法，在整個學習過程中，收獲基本數(shù)學經(jīng)驗．具體過程如下．
一元一次方程是形如ax+b=cx+d的代數(shù)式，其中x是未知數(shù)，a、b、c、d都是已知常數(shù)，這是基本知識，目標是求出滿足此等式的未知數(shù)的“值”．于是有移項、合并同次項等操作，使之變換成ax=b的形式，最后得出x=b/a(a≠0)．這些操作則是一種技能．于是，在這兩個維度的基礎上，大量的變式練習（數(shù)學活動）獲得了基本經(jīng)驗．
數(shù)學教學并沒有停留在這一水平上，而是不斷地提升各種數(shù)學思想方法．其中包括：
●化歸方法．化到ax=b的標準型，
●未知到已知的轉(zhuǎn)換：方程知識的方法論分析．
●變化的過程是“同解”的，即x的值是不變的，變化中的“不變”思想方法，
●方程解法和算術解法的區(qū)別．如果將未知數(shù)比喻成“河對岸的寶物”，那么算術方法是正面探究，摸著石頭過河，一步步接近寶物，方程方法，則是用帶鉤的繩子和寶物拉上關系，然后一步步地將寶物“拉過來”．二者的思想路線是相反的．
最后，提升到方程是一種關系：方程是為了求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等式關系，解方程就是通過關系找出未知數(shù)．這樣一來，如何尋求未知數(shù)（解方程）的數(shù)學活動經(jīng)驗，就自然地獲得了．
總之，“一元一次方程”基礎模塊的構成過程是：從基本知識和基本技能的結(jié)合開始，通過大量解題的活動獲得經(jīng)驗，并不斷地將之提升為數(shù)學思想方法．前后呼應，形成一個四基數(shù)學模塊．進一步，這一模塊將來可以和一元二次方程、二元一次方程組、函數(shù)與曲線方程等模塊綜合在一起，構成更大的“方程”四基模塊，
案例2定理證明型模塊：勾股定理，
此課的展現(xiàn)順序如下．掌握勾股定理的內(nèi)容與證明一從文化的角度進行欣賞獲得數(shù)學思想方法的價值一進行變式練習，掌握基本技能，具體過程如下：
首先，用邊長為3、4、5的直角三角形引入新課內(nèi)容，猜想勾股定理內(nèi)容并加以證明．這是基本知識． 然后，利用多媒體展現(xiàn)勾股定理的文化價值：
●中國古代的陳子定理；
●古希臘《幾何原本》中的證明；
●趙爽的代數(shù)方法證明；
●2002年國際數(shù)學家大會的會標；
●和外星人通訊使用的圖案；
●華羅庚等建議采用勾股定理的名稱．
數(shù)學的文化欣賞，是數(shù)學思想方法的重要組成部分，它能揭示數(shù)學思想的本源，數(shù)學長生的社會背景，提高數(shù)學文化素養(yǎng)，數(shù)學欣賞，也是一種反思，整理學過的知識，使之立體化、具象化、歷史化，在課堂上欣賞勾股定理之后，還要進行大量的變式練習，運用勾股定理解決一系列的問題，作為一種基本技能和經(jīng)驗留存在腦海里，形成四基模塊．
案例3 問題解決型模塊：中位線定理的一題多解，
本課題的四基呈現(xiàn)順序是：簡單地提出中位線定理一進行一題多解的訓練一在解題活動中獲得證明方法的多樣性體驗．
中位線定理，是初中幾何教學的精品內(nèi)容之一，為我國數(shù)學教師所鐘愛（但在許多國家的數(shù)學課程中已經(jīng)沒有了）．此定理貌似簡單，證明卻必須增添補助線或變換圖形，繞個彎子才能得出證明．
一般認為，此定理有4種證明方法：(1)延長中線法，(2) 180度移動上部三角形法，(3)平行四邊形法，(4)面積法，
這一內(nèi)容的主題是學習一題多解的證明方法，它既是基本知識，又是基本技能，也是數(shù)學方法，更是數(shù)學思維活動的體驗．
以下幾個案例往往“一基”為主，比較單純， 案例4突出“數(shù)學思想方法”的模塊：對頂角相等．
這是初中平面幾何入門教學模塊中的一個小模塊，定理 “對頂角相等，”如圖2，兩條直線相交，那么角A等于角B．
這個定理當然也屬于基本數(shù)學知識，可是這太簡單了！一眼就看出來了！這還要證明嗎？那不是自找麻煩嗎？
請注意，在世界名著、歐幾里得編寫的《幾何原本》中，“對頂角相等”是命題15.證明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根據(jù)公理3(“等量減等量，其差相等”)，所以A=B.
這一證明方法當然也屬于基本數(shù)學技能．但是重要的價值不在“對頂角相等”的命題本身，而在于泰勒斯提供了不憑直觀和實驗的邏輯證明，
因此，這一模塊的主題是基本數(shù)學方法的教學：理解從公理（基本事實）出發(fā)，進行邏輯推理的演繹證明，在教學中，要從“不必證明”提升到需要證明，會使學生感到理性的震撼，進一步，要分析產(chǎn)生這種思維方式的社會文化背景，古希臘是奴隸制國家，當時希臘的雅典城邦實行奴隸主民主政治．由男性公民組成的民眾大會有權制定法律，處理財產(chǎn)、祭祀、軍事等問題（注意：廣大的奴隸、婦女、外來人不能享受民主權利）．既然是平等的民主政治，彼此間的不同意見需要說服對方．為了說明自己堅持的是真理，就需要理性證明，對頂角相等，就是在這樣的背景下產(chǎn)生的．
古希臘奴隸主的民主政治，和中國奉行的皇帝君的王權政治，是有根本區(qū)別的．對頂角相等在古希臘需要證明，在中國卻認為無需證明．在春秋戰(zhàn)國時期，只有對君王管理國家有用的數(shù)學（如丈量田畝、計算賦稅等），才會得到數(shù)學家的重視，對頂角相等，對王權沒有用處，所以中國古代數(shù)學沒有“對頂角相等”這樣的內(nèi)容．
由此可見，在對頂角相等這一小模塊中，數(shù)學思想方法的價值和文化背景處于核心地位，基本數(shù)學知識和基本數(shù)學技能則相對次要．學生在這個模塊里得到的“理性震撼”，則是基本數(shù)學活動經(jīng)驗的重要組成部分．
案例5突出數(shù)學基本數(shù)學活動經(jīng)驗的模塊：負負得正．19世紀德國數(shù)學家漢克爾早就告訴人們：在形式化的算術中，“負負得正”是不能證明的．雖然可以從整數(shù)公理出發(fā)導出負負得正，但那也不過是用人為的公理設置保證其成立而已從數(shù)學本源上看，負負得正，是前人提出的一項人為的α規(guī)定．這里沒有什么情景可以創(chuàng)設，作為基本知識接受下來就是．這是一種基本技能，但操作起來也非常方便．至于負負得正的數(shù)學思想方法，則要提升到“有理數(shù)系”的公理化的高度來認識，在基礎教育中難以實現(xiàn)．剩下的問題是如何調(diào)動學生已有的知識經(jīng)驗來幫助他們確認和理解．既然這種確認的手段不能用邏輯證明法，也不能從現(xiàn)實情景中得到證實（用火車向東的路程為正、向西為負；12時以后為正、以前為負的例子，往往越說越糊涂）．以下借助一些生活常理，即日常生活經(jīng)驗作比擬，以求學習者能相信、接受這一規(guī)則，例如：
●反面的反面是正面；
●不得不做就是要做；
●左的反面是右，右的反面又是左；
●敵人的敵人是朋友；
●折紙活動，折過去再折回來回到原地．
根據(jù)這些道理，可以使學生確認負負得正。事實上，將日常經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為基本數(shù)學活動經(jīng)驗。體驗了，合理解釋了，接受了就好，無需證明．
案例6突出基本技能演練的模型：因式分解【4】．
因式分解是將代數(shù)式進行“和差化積”的基本技能．這項技能絕難引入“實際情景”加以詮釋，也沒有方法在一開始就闡明因式分解的意義和價值（往往到一元二次方程求解時才顯出其作用），完全是為以后的代數(shù)方程的求解做準備的．但是，如何進行因式分解，則和數(shù)學思想方法緊密相關，李庾南老師設計了3個嘗試題： (1)a2b+ ab2，(2) x2-4，(3)m2－m－．
讓學生嘗試將這些具體的代數(shù)式設法進行“和差化積”．學生可以成功也可能失敗，于是李庾南教師進行啟發(fā)誘導：我們能不能“逆向”使用乘法分配律？“逆向”運用 平方差公式”？“逆向”使用平方和公式？經(jīng)過點撥，學生恍然大悟，將這3個嘗試題中的多項式 化成了兩個單項式的相乘．有了“公式和規(guī)律”逆向使用的基本數(shù)學方法作為指導，因式分解的本質(zhì)就顯得十分簡單了，以后的任務便是大量的變式練習，學習技巧，形成熟練的因式分解運算能力．因式分解模塊，技能訓練為主，點睛之筆是“逆向思維方法，在課堂上只有幾分鐘，意義非凡，
案例7定理證明中的綜合運用型模塊：正弦定理．正弦定理是高中三角學中的—個基本定理：在△ABC中，有
近來的一些公開課上，讓學生量一量3邊之長，3個角的正弦值，作比，誘導出要求的結(jié)果．這是敗筆，要讓學生掌握真正的數(shù)學思想方法，就應當讓學生觀察高h進入模塊構造階段：
(1) 同一個h，可以有兩種不同的表示(如圖3)
(2) sinB=
同一對象的兩種不同表示， 相當于在兩個不同的事物之間架起了彼此聯(lián)系的橋梁，這時，往往是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的契機，這一數(shù)學方法是學習正弦定理的有機組成部分．
(2)借助面積重復“同一對象兩種表示”的數(shù)學方法．
由三角形的面積公式得出：
(3)聯(lián)系平面幾何的定理：三角形大角對大邊，小角對小邊．這是定性的結(jié)果，正弦定理則是定量的結(jié)論．在銳角情形，大角的正弦值大，小角的正弦值小，但是3個邊長與其對角的正弦之比是定值，這又是一種數(shù)學思想方法的解說．
(4)如果將角B、C的正弦sinB、sinC看做是AB、AC在h上投影所打的折扣率（投影之后都變短了）．那么正弦定理的內(nèi)涵看得更加深刻．
以上的說明，就是用數(shù)學思想方法不斷地加深對數(shù)學知識的理解．
(5)分類討論，對于鈍角三角形的討論，若△ABC的B為鈍角(如圖4).
CD上AB，交AB于D，則
這樣，就以數(shù)學思想方法與數(shù)學基本知識的交叉中（輔之以一定量的練習，這里不贅）構建起來一個四基數(shù)學模塊．
案例8實際情境創(chuàng)設中的四基模塊：巨人的手．
H．弗賴登塔爾有一個關于相似形的著名情景[5].“昨晚一位外星人訪問我校，在黑板上留下了一個巨大的手印，今晚他還要來，請問他看的書有多大？坐的椅子有多高？”
這一情景誘發(fā)出一系列的基本數(shù)學活動，同時有交替地運用數(shù)學思想方法，結(jié)合基本知識和基本技能的培養(yǎng)，構成四基數(shù)學模塊．以下是一個具體的步驟設計：巨人的手好大哎！他用的書一定也很大．（素樸的相似數(shù)學方法，與生活常識發(fā)生聯(lián)想）到底大多少，看巨人的手比我的手大多少就行了．（相似數(shù)學思想的量化）
那就量一量吧，量出巨人和我的中指的長度作為標準．（測量的技能，也是數(shù)學活動）
現(xiàn)在量得了巨人的中指長a，我的中指長b，還有我的數(shù)學書的寬度c．那就可以推出巨人所看書的寬度d了．（這是相似比的知識和相似變換數(shù)學方法，比的計算技能．） 同樣可以推出書的長度e．（類比數(shù)學方法，計算技能）最后，把巨人要用的書的長度和寬度畫在黑板上．（數(shù)學基本活動）
這些數(shù)學活動中滲透著豐富的數(shù)學思想方法．教學中適當?shù)靥釤?、總結(jié)、使得生動活潑的數(shù)學活動，充滿著數(shù)學方法的氛圍．四基數(shù)學模塊就建立起來了．
案例9積累數(shù)學經(jīng)驗的模塊：立體幾何與獎杯制作．
基本數(shù)學經(jīng)除了在日常數(shù)學探究、演練、反思中積累之外，還應該主動設計一些課堂活動，幫助學生體察數(shù)學之美，數(shù)學思維之妙，
一個很好的例子是在學習球體、柱體、椎體之后，用這些幾何圖形制作本班運動會的獎杯，既要美觀，還要注明各個部分的尺寸．這是數(shù)學和人文相結(jié)合的教學案例．（上海華東師大二附中鄭耀星提供）
案例10形成重大數(shù)學方法的模塊：坐標系與數(shù)形結(jié)合．
笛卡兒坐標系的建立，是重要的基本數(shù)學知識和基本數(shù)學技能，也為數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法提供了舞臺．建立直角坐標系是一個重要的四基模塊．這是一個螺旋上升的過程，其中充滿了許多數(shù)學思想方法的運用，不過常常被忽略．
第一循環(huán)：坐標表示位置．第幾排第幾座可以確定一個位置，來源于生活常識，不教也會．許多課程設計花費大量時間操練實屬多余，不過，這畢竟是數(shù)學結(jié)合思想的起點，
第二循環(huán)：原點的建立．生活中是沒有0排，也沒有0座的．但是，刻度尺是從零開始的，如果教室中學生的課桌是從1排1座開始，那么教師應當問，老師的講臺是第幾排：0排．學過分數(shù)就知道坐標可以是小于1的分數(shù)，所以要從零開始畫坐標．（這里有數(shù)系構造的思想．）
第三循環(huán)：初中引入負數(shù)以后，涉及數(shù)直線．這時，實數(shù)和數(shù)直線之間建立一一對應成為基礎，其證明涉及線段的不可公度理論，非常紛繁．不求證明，當作教學平臺接受下來就是了，但是數(shù)學思想方法的要點不可忽略，完整的數(shù)直線概念是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物，
第四循環(huán)：表示數(shù)學對象．坐標方法的價值不能限于確定位置這樣的淺近理解，必須提升到“表示數(shù)學對象”的高度來認識．上海長寧區(qū)的老師，初中坐標系的課程設計，是把課桌椅并攏，將兩根帶箭頭的長繩直角交錯，以某同學為原點，于是學生都有一對數(shù)作為坐標了．然后令兩個坐標都是負數(shù)的同學站起來（第三象限），兩個坐標相等的同學站起來（一條直線）等，這是數(shù)形結(jié)合思想的精髓，
第五循環(huán)：表示函數(shù)圖像，數(shù)學結(jié)合思想的主要運用，
第六循環(huán)：曲線與方程．解析幾何，數(shù)學結(jié)合思想的高峰．
第七循環(huán)：數(shù)學結(jié)合思想的熟練運用．一個教師編擬了這樣的一道題“已知：a、b、c∈ R+，求證：
用代數(shù)方法讓學生碰得頭破血流，最后迫使學生使用三角形兩邊大于第三邊的幾何思考方法來解決此題，數(shù)形結(jié)合方法在這一時刻作點撥，效益大增，坐標系和數(shù)形結(jié)合思想構成的模塊，始于生活常識和小學，一直延伸到高中的解析幾何，是多次循環(huán)的結(jié)果．
以上初步探討了“四基”互相模塊的形成，特別是注意數(shù)學思想方法這一維度的介入和展開，只有把數(shù)學思想方法嵌入日常的教學之中，成為教師備課的有機組成部分，四基數(shù)學教學才能真正落到實處．
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摘自《數(shù)學教育學報》2011第5期
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