人們是怎么發(fā)現(xiàn)π的呢？我們又是怎么知道π近似于3.14...的呢？
《物理學(xué)家》雜志早在2018年8月24日發(fā)文稱(chēng)：很遺憾，π的使用時(shí)間比歷史上的記載時(shí)間還要早，所以，這個(gè)問(wèn)題沒(méi)人能解答。但是據(jù)歷史記載，π在最開(kāi)始使用時(shí)還不算太復(fù)雜，因此我們可以進(jìn)行大膽猜測(cè)。
眾所周知，π是圓的周長(zhǎng)與直徑之比。一切與圓相關(guān)的內(nèi)容都能和π扯上關(guān)系。
測(cè)量任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)與直徑，然后將兩數(shù)相除，你就可以得到π了。
任意一個(gè)固定形狀的直徑都與其周長(zhǎng)成正比，但這沒(méi)什么特別的。此定論適用于任意形狀。如果將任意圖形擴(kuò)大一倍，則其直徑與周長(zhǎng)都將擴(kuò)大一倍，它們之間的比率仍保持不變。
將一個(gè)正方形的周長(zhǎng)除以其邊長(zhǎng)永遠(yuǎn)等于4。
圓的周長(zhǎng)與其直徑的比例是一個(gè)定值，而人們認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)卻早于歷史記載。但該不完全等于三的數(shù)值還需不斷精確。要計(jì)算出這個(gè)具有無(wú)限不循環(huán)特點(diǎn)（以3.14159265358979323846264...開(kāi)頭）的數(shù)值還需要一點(diǎn)數(shù)學(xué)和時(shí)間。
約4000年前，古巴比倫石碑上記載π=3。可這個(gè)數(shù)值看起來(lái)似乎不是那么準(zhǔn)確。
如果你將一根繩子一端固定住，另一端綁上鵝毛筆或木炭，那么你就可以畫(huà)出一個(gè)近乎完美的圓。如果用一根更長(zhǎng)的繩子（至少得是之前那根繩子的2π倍）和一把尺子，你就可以測(cè)量出所畫(huà)的圓的周長(zhǎng)。只要你仔細(xì)些，你就可以發(fā)現(xiàn)，很顯然π≠3。只要測(cè)量誤差低于4%，你就可以看出其中的差距。古巴比倫人編寫(xiě)了《漢謨拉比法典》，建造了許多令人驚嘆的建筑，由此可見(jiàn)，他們有可能很早就有了以厘米為測(cè)量刻度的米尺。事實(shí)證明，上述的石碑很可能就是一個(gè)記錄了圓近似值大致區(qū)間的“備忘錄”。我們知道，古巴比倫人已經(jīng)得出25/8=3.125，而這個(gè)近似值的誤差在0.5%以?xún)?nèi)。得出這個(gè)值對(duì)于青銅時(shí)代的人們來(lái)說(shuō)，已經(jīng)很了不起了。
只要你在做涉及圓的數(shù)學(xué)內(nèi)容，π就會(huì)無(wú)時(shí)無(wú)刻不出現(xiàn)在你眼前，因此古代得人們有千千萬(wàn)萬(wàn)次機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)π的存在，所以我們無(wú)法確定究竟是哪一次偶然機(jī)會(huì)使得人們真正發(fā)現(xiàn)了π（這一點(diǎn)正是比歷史記錄還早的研究發(fā)現(xiàn)的缺點(diǎn)）。例如，有一個(gè)高為h，直徑為d的桶的，容量為
所有的證據(jù)都說(shuō)明了盡管π充滿(mǎn)了數(shù)學(xué)的神秘色彩，但其卻是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的數(shù)值。這是一個(gè)你可以切實(shí)測(cè)量出來(lái)的數(shù)據(jù)。但不論怎樣，它都不等于三。雖然圓越大，計(jì)算出來(lái)π的值越精確，但其用處會(huì)越來(lái)越小且枯燥，就好像連續(xù)吃一周的壽司自助餐一樣，吃多了總會(huì)膩。
如果你將π精確到小數(shù)點(diǎn)后無(wú)窮位數(shù)，那么你就可以測(cè)算出圓的周長(zhǎng)與其直徑之比約為1：10N。例如，已知π≈3.14，我們就可以將自行車(chē)輪胎安裝到輪輞上1厘米以?xún)?nèi)得范圍。已知π≈3.1415，則可以計(jì)算出一英畝的圓形田地外所需的圍欄長(zhǎng)度。當(dāng)然，已知π≈3.1415926535，則可以不浪費(fèi)一厘米電纜線而將電纜繞地球一周。可以說(shuō)，將π精確到小數(shù)點(diǎn)后10位是毫無(wú)意義的，但這并沒(méi)有讓數(shù)學(xué)家停下其嚴(yán)苛的演算。一次也沒(méi)有過(guò)。
定義π不僅為我們提供了實(shí)際的測(cè)量方法，還提供了數(shù)以百計(jì)的數(shù)學(xué)方法，而這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)的精巧所在。像阿基米德和劉徽這樣的數(shù)學(xué)家，以及與他們相距幾千年的一些不知名的古埃及人，都曾使用切割法來(lái)得出π的近似值。劉徽將π精確到小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)，這比他早約一千年的阿基米德得出的近似值還要精確些。還真是奇怪了。
在羅馬對(duì)錫拉丘茲的圍攻中，馬塞勒斯將軍以為知識(shí)無(wú)國(guó)界遂下令活捉阿基米德。遺憾的是，直到最后阿基米德也沒(méi)將幾何學(xué)原理傳授給羅馬人。
要么是阿基米德和歷史學(xué)家失誤了，要么是古希臘人比我們獲知了更精確的π的近似值。對(duì)于給定的圓，“內(nèi)接正多邊形”是指其各頂點(diǎn)接觸圓（位于圓的內(nèi)部），“外切正多邊形”是指其各邊相切于圓（位于圓的外部）。阿基米德通過(guò)在圓內(nèi)相接和圓外相切正九十六邊形計(jì)算出圓的周長(zhǎng)，以此獲得π的近似值。想要確定π的值，可以由內(nèi)接正多邊形得出一個(gè)下限，而由外切正多邊形得出一個(gè)上限。但問(wèn)題就在于：阿基米德不僅找到了正九十六邊形的周長(zhǎng)，還發(fā)明了一種迭代算法可通過(guò)已給定n個(gè)角的圖形周長(zhǎng)來(lái)計(jì)算2n個(gè)邊的圖形的周長(zhǎng)。也就是說(shuō)，他從正六邊形（六個(gè)角）開(kāi)始，然后引導(dǎo)至12角，24角，48角，令人費(fèi)解的事，最后他推導(dǎo)出96角后就不再繼續(xù)了。很顯然，他還有比計(jì)算出更多位數(shù)的π更重要的事要做。講道理，這并不是一個(gè)非常精確的數(shù)值。但到此，他可能就宣稱(chēng)問(wèn)題已得到解決了，因?yàn)槿魏稳税凑账某绦蜻M(jìn)行操作，都可以得到他們想要π的位數(shù)，然后繼續(xù)投入熱射線或類(lèi)似的事物研究中去（說(shuō)真的，當(dāng)時(shí)的有錢(qián)人們甚至想制造太陽(yáng)熱射線來(lái)保衛(wèi)錫拉庫(kù)扎）。
每當(dāng)人們運(yùn)用阿基米德的迭代算法時(shí)，得出的π得近似值精確度都會(huì)提高約4倍（其收斂速率為1/4）。可事實(shí)上這并沒(méi)有聽(tīng)起來(lái)那樣令人振奮。因?yàn)槊?次迭代就會(huì)得出小數(shù)點(diǎn)后約3數(shù)字。從六邊形到96邊形阿基米整整算了4次，最后將π精確到小數(shù)點(diǎn)后3位。如果他再辛苦一點(diǎn)，重新計(jì)算該過(guò)程（例如再重復(fù)10次），那么他將會(huì)將π精確到小數(shù)點(diǎn)后9位數(shù)。雖然這毫無(wú)用處，但覺(jué)得值得到處吹牛。
與現(xiàn)代計(jì)算方法得出的精確值相比，這些先輩們得出的近似值，不再讓人感到驕傲。阿基米德運(yùn)用技術(shù)線性收斂可得出π的精確值（每次使用該算法，得出的π的位數(shù)大致相同）。直到我們發(fā)明了二次收斂算法后，事情的發(fā)展才真正進(jìn)入正題，二次迭代算法使已知π位數(shù)的數(shù)量翻倍。也就是說(shuō)：如果你將π精確到十位數(shù)，那么在下一次迭代之后，你將得出π的二十位數(shù)。當(dāng)今最快的算法莫過(guò)于非常規(guī)地收斂。（每一次計(jì)算將比前一步計(jì)算結(jié)果的精確九倍）。
π的定義為圓周長(zhǎng)與圓直徑之比，這使我們可以直接但不準(zhǔn)確地對(duì)圓進(jìn)行測(cè)量，抑或?qū)ζ溥M(jìn)行精確而但卻毫無(wú)意義的計(jì)算。π還有更抽象的屬性（例如，它能無(wú)限不循環(huán)下去（事實(shí)確實(shí)如此）或其他任何具有可能性（也只是可能）的形式），但這些抽象屬性需要的不只是直接粗暴的數(shù)字計(jì)算。想得出這些更為抽象的屬性，就要立足于π的定義而不是其數(shù)值多少，忽略哪怕一個(gè)數(shù)字，我們可能得出結(jié)果但也可能被輕易推翻。在物質(zhì)世界中數(shù)學(xué)的確很有用，但數(shù)學(xué)并不是“原本就生活在這里”。雖然π具有物理意義，但是我們主要依據(jù)其數(shù)學(xué)特性來(lái)了解它。
答案很簡(jiǎn)單：古代人非常聰明，如果能他們能長(zhǎng)生不老的化，他們很可能會(huì)一直算下去，知道算出來(lái)為止。而這就是阿基米德算法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。老實(shí)說(shuō)，這其實(shí)不是阿基米德的計(jì)算方式。所以很顯然，古希臘數(shù)學(xué)家受到了錯(cuò)誤理念的影響，即小詞匯蘊(yùn)含大玄機(jī)。因此，即使再翻譯過(guò)后，他們的譯文仍然像希臘文那樣難以理解。
梅德斯先生的方法如下所示。如果In是內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)，而Cn是外部n邊的周長(zhǎng)，則：
你可以花費(fèi)九牛二虎之力，再運(yùn)用大量方程式計(jì)算來(lái)證明，隨著圖形邊的數(shù)量增加，該圖形周長(zhǎng)將無(wú)線接近π（圓的周長(zhǎng)），或者你可以直接畫(huà)一幅畫(huà)說(shuō)“看……這是真的”。
先用虛線畫(huà)一個(gè)圓，其有內(nèi)接和外切n角（藍(lán)色）和2n角（紅色）的正多邊形。正多邊形每段的長(zhǎng)度是總周長(zhǎng)除以段數(shù)（因此，所有段均除以n）。
如果將六個(gè)等邊三角形粘在一起，則會(huì)得到一個(gè)正六邊形，并帶有一點(diǎn)三角，您會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果您的圓的直徑為1，則內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為I6 = 3，而外切正六邊形的周長(zhǎng)為C6 =2√3≈3.46 。
要算出正十二邊形的周長(zhǎng)，就將C6和I6插入迭代方程式：
而這個(gè)周長(zhǎng)都比迭代前的任何一個(gè)結(jié)果都更加接近于π，并且由于所有n的I_n <\ pi <C_n，因此我們可以找到π的范圍越來(lái)越小。以下是其運(yùn)算原理：
在圓上畫(huà)內(nèi)接或外切的正多邊形會(huì)形成某種對(duì)稱(chēng)性。因此我們可以通過(guò)繪制一些三角形來(lái)快速地找出它們的各個(gè)角度。
也就是算出內(nèi)接正多邊形的一條邊或者外切正多邊形的一角。內(nèi)接正多邊形里面的邊長(zhǎng)可以由2n角地正多邊形推導(dǎo)出。紅色陰影三角形都相似（因?yàn)樗鼈兌加邢嗤慕嵌龋?，藍(lán)色三角形也都相似。
一個(gè)完整的圓為360°，因此正多變邊形的每一邊都跨度為360° / n度。那么∠a就是這些角度的一半，因此∠a = 180 °/ n。
因?yàn)槿切沃袃?nèi)角之和為180°，所以?xún)伞蟗之和與∠a互補(bǔ)（二∠b之和為90°），第三個(gè)角度為90°（以直徑為斜邊的圓內(nèi)切三角形對(duì)角為90°）。因此，∠b = 90°-180 °/ n。
∠c和∠b互補(bǔ)，因此∠c =∠ a = 180° / n。
∠c + ∠d = 180°，因此∠d = 180°-∠c = 180°-180° / n。
三角形中的角度之和為180°，因此∠d + ∠e +∠ e = 180°，∠e = 90°-∠d / 2 = 90 °/ n。
最后，∠b + ∠e +∠ f = 90°，所以∠f = 90°-∠b-∠e = 90° / n。
由于∠f = ∠e，所以?xún)蓚€(gè)紅色三角形角度相等：它們是“相似的三角形”。類(lèi)似地，由于∠c = ∠a，所以?xún)蓚€(gè)藍(lán)色三角形角度相等并且也相似。當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，其邊的比例相同。
關(guān)于邊長(zhǎng)計(jì)算如下。
利用藍(lán)色三角形的相似點(diǎn)，我們可以推導(dǎo)出：
當(dāng)然，紅色三角形計(jì)算過(guò)程如下：
因此，我們從一個(gè)已知的幾何形狀和π的定義入手，找出一個(gè)計(jì)算方法，投入大量時(shí)間進(jìn)行演算就可以求得一個(gè)無(wú)限趨近于π的數(shù)。
乘法和長(zhǎng)除法比較簡(jiǎn)單，可以手動(dòng)計(jì)算。對(duì)于古人來(lái)說(shuō)，迭代算法中最難的部分是平方根以及制作計(jì)算所需的草稿紙。幸運(yùn)的是，古人也有一些技巧。例如，如果要取S的平方根，只需假設(shè)一個(gè)x，然后計(jì)算
所以重點(diǎn)就是，你可以通過(guò)運(yùn)用理性思維，投入大量時(shí)間不斷進(jìn)行演算，最后找到你所需要的π位數(shù)。
作者: The Physicist
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