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      利用空間向量求二面角，思路切入快，但常規(guī)方法運(yùn)算量大，過程比較復(fù)雜，容易出錯，是學(xué)生的常見失分點.在某些條件下，可以采用更簡單的運(yùn)算，快速求出結(jié)果，下面筆者介紹幾種方法.

一、運(yùn)用截距法速求平面的法向量

結(jié)論 在空間直角坐標(biāo)系中，如果一個平面與坐標(biāo)軸分別交于點A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，那么這個平面的法向量為

用常規(guī)求法向量的方法易證，證明過程略.下面舉例來說明截距法的運(yùn)用.

【例1】(2019·天津卷·理17)如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC,AD⊥AB，AB=AD=1,AE=BC=2.

(Ⅰ)求證：BF∥平面ADE；

(Ⅱ)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(Ⅲ)若二面角E-BD-F的余弦值為

求線段CF的長.

解析：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A-xyz，得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),顯然平面BDE在坐標(biāo)軸上的截距為x=1,y=1,z=2，所以平面BDE的法向量為

所以直線CE與平面BDE所成角的正弦值為

(Ⅲ)設(shè)CF=2k，由圖知，只要找到平面BDF在z軸上的截距就可求得平面BDF的法向量，連接AC交BD于點G，則AG∶GC=1∶2，延長FG交AE于點M，由相似知識可知AM=k，故平面BDF在坐標(biāo)軸上的截距為x=1,y=1,z=-k，所以平面BDF的法向量

故解得k=0(舍去)或所以

評析 (Ⅱ)中若用傳統(tǒng)求法向量的方法，則需要設(shè)法向量的坐標(biāo)，利用法向量與平面中兩個不共線向量的數(shù)量積為零列方程組，求得法向量，過程比較麻煩，運(yùn)算量大.而運(yùn)用截距法求平面的法向量，只需要知道平面在坐標(biāo)軸上的截距就可以直接得出法向量，不需要計算，大大減少了運(yùn)算量，且提高了運(yùn)算的準(zhǔn)確度.(Ⅲ)中若用列方程組的方法求法向量，不僅法向量是未知的，且點F的坐標(biāo)中也含有未知數(shù)，更增加了運(yùn)算量與難度，而運(yùn)用截距法求平面的法向量，求出了截距之后，法向量一步就到位，繞開了求含參數(shù)的方程組，快速得到法向量，順利求得結(jié)果.

二、利用二面角的定義，不求法向量

【例2】(2014·重慶卷·理19)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面

為BC上一點，且

(Ⅰ)求PO的長；

(Ⅱ)求二面角A-PM-C的正弦值.

解析：(Ⅰ)過程略，

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則點因為PA⊥PM，同時利用已知可證BC⊥PM，所以向量與向量所成的角就是二面角A-PM-C的大小，解得所以二面角A-PM-C的正弦值為

評析 在二面角的兩個半平面內(nèi)若能分別找到垂直二面角的棱的直線，由二面角的定義，則可以轉(zhuǎn)化為求這兩直線的方向向量所成的角，不需要在三角形中用余弦定理求解，也不需要求兩平面的法向量，簡化了運(yùn)算過程，大大減少了運(yùn)算量，同時可以提高運(yùn)算的效率，可以快速求出結(jié)果.

三、利用共線向量找等效向量

【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AD=λBC，AD∥BC，∠BCD=90°，M為線段PB上一點.

(Ⅰ)若

則在線段PB上是否存在點M，使得AM∥平面PCD？若存在，請確定M點的位置；若不存在，請說明理由；

(Ⅱ)已知PA=2，AD=1，若異面直線PA與CD成90°角，二面角B-PC-D的余弦值為

求CD的長.

解析：(Ⅰ)延長BA與CD交于點N，由線面平行的性質(zhì)定理易知存在點M為線段PB上靠近點P的三等分點.

(Ⅱ)∵PA⊥CD,PA⊥AD，AD∩CD=D，AD∈平面ABCD，CD∈平面ABCD∴PA⊥平面ABCD，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A-xyz，則點P(0,0,2)，D(0,1,0)，設(shè)點C(a,1,0)，則

因為DC∥x軸，向量等效向量(1,0,0)，∵AD∥BC，∴向量等效向量(0,1,0).設(shè)平面PCD的法向量n1=(x,y,z)，由截距法得設(shè)平面BPC的法向量n2=(X,Y,Z)，則得由解得a=2或a=-2(舍去)，故CD=2.

評析 本題第(Ⅱ)問中，若按常規(guī)思路求法向量，需設(shè)B，C兩點的坐標(biāo)，含有兩個參數(shù)，運(yùn)算量很大，很多同學(xué)算出的法向量形式復(fù)雜，再利用二面角的值反求參數(shù)就更難運(yùn)算了，很多同學(xué)根本算不出來，而本文利用截距法求平面PCD的法向量，簡簡單單.在求平面BPC的法向量時，利用向量共線找等效向量，得

等效向量(0,1,0)，不用設(shè)B點的坐標(biāo)，又不需要用B，C兩點坐標(biāo)相減的方法得也減少了坐標(biāo)運(yùn)算.

四、利用等效平面

【例4】如圖，在四棱錐P-ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°,PC⊥BD.

(Ⅰ)求證：BP=DP；

(Ⅱ)若

平面PBD⊥平面ABCD，直線AP與平面ABCD所成的角為45°，G為△APC的重心，設(shè)經(jīng)過直線AG且與直線BC平行的平面為α，求平面α與平面ABCD所成角的余弦值.

解析：(Ⅰ)連接AC交BD于點O，∵△ABD為正三角形，△BCD是等腰三角形，

∴AC⊥BD且O為BD的中點.由已知PC⊥BD，PC∈平面APC，可得BD⊥平面APC.

∴BD⊥PO.又∵O為BD的中點，∴△PBD為等腰三角形，即PB=PD.

(Ⅱ)由平面PBD⊥平面ABCD，PO⊥BD，得PO⊥平面ABCD，以O為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由已知得∠PAO=45°，故PO=3，又由∠BCD=120°，得CO=1，則點

設(shè)平面α的法向量n1=(x,y,z)，則即

則由已知可設(shè)平面ABCD的其中一個法向量n2=(0,0,1)，

得

由圖知平面α與平面ABCD所成角為銳二面角，故余弦值為

評析 該題按常規(guī)思維是要確定平面α與四棱錐側(cè)棱的交點，然后求出交點坐標(biāo)，再求兩平面的法向量，顯然在立體幾何中確定平面與直線的交點是難點，比較抽象.本題中平面α經(jīng)過直線AG且與直線BC平行，顯然平面α的法向量等效由

與確定的法向量，不需知道平面α與四棱錐側(cè)棱的交點，既推理簡單又可快速求出.

利用空間向量解立體幾何不是難點，但卻是高考重點考查內(nèi)容，因為計算量大而容易出錯，要重視方法的總結(jié)與積累，減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度.

(作者單位：江西省萍鄉(xiāng)中學(xué))