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薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。是1926年奧地利理論物理學(xué)家薛定諤提出的。它描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律。微觀系統(tǒng)的狀態(tài)由波函數(shù)來描寫，薛定諤方程即是波函數(shù)的微分方程。若給定了初始條件和邊界的條件，就可由此方程解出波函數(shù)。

薛定諤方程（Schrodingerequation）在量子力學(xué)中，體系的狀態(tài)不能用力學(xué)量（例如x）的值來確定，而是要用力學(xué)量的函數(shù)Ψ（x,t），即波函數(shù)（又稱概率幅，態(tài)函數(shù)）來確定，因此波函數(shù)成為量子力學(xué)研究的主要對(duì)象。力學(xué)量取值的概率分布如何，這個(gè)分布隨時(shí)間如何變化，這些問題都可以通過求解波函數(shù)的薛定諤方程得到解答。這個(gè)方程是奧地利物理學(xué)家薛定諤于1926年提出的，它是量子力學(xué)最基本的方程之一，在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)，超弦理論試圖統(tǒng)一兩種理論。

薛定諤方程是量子力學(xué)最基本的方程，亦是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定，其正確性只能靠實(shí)驗(yàn)來確定。

薛定諤方程僅適用于速度不太大的非相對(duì)論粒子，其中也沒有包含關(guān)于粒子自旋的描述。當(dāng)涉及相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，薛定諤方程由相對(duì)論量子力學(xué)方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

.薛定諤提出的量子力學(xué)基本方程 。建立于 1926年。它是一個(gè)非相對(duì)論的波動(dòng)方程。它反映了描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，它在量子力學(xué)中的地位相當(dāng)于牛頓定律對(duì)于經(jīng)典力學(xué)一樣，是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。設(shè)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)為Ψ（r，t），質(zhì)量為m的微觀粒子在勢(shì)場(chǎng)V（r，t）中運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程。在給定初始條件和邊界條件以及波函數(shù)所滿足的單值、有限、連續(xù)的條件下，可解出波函數(shù)Ψ（r，t）。由此可計(jì)算粒子的分布概率和任何可能實(shí)驗(yàn)的平均值（期望值）。當(dāng)勢(shì)函數(shù)V不依賴于時(shí)間t時(shí)，粒子具有確定的能量，粒子的狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)時(shí)的波函數(shù)可寫成式中Ψ（r）稱為定態(tài)波函數(shù)，滿足定態(tài)薛定諤方程，這一方程在數(shù)學(xué)上稱為本征方程，式中E為本征值，它是定態(tài)能量，Ψ（r）又稱為屬于本征值E的本征函數(shù)。

薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它揭示了微觀物理世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，如牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中所起的作用一樣，它是原子物理學(xué)中處理一切非相對(duì)論問題的有力工具，在原子、分子、固體物理、核物理、化學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。

1900年，馬克斯·普朗克在研究黑體輻射中作出將電磁輻射能量量子化的假設(shè)，因此發(fā)現(xiàn)將能量與頻率關(guān)聯(lián)在一起的普朗克關(guān)系式。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦從對(duì)于光電效應(yīng)的研究又給予這關(guān)系式嶄新的詮釋：頻率為ν的光子擁有的能量為hν；其中，因子h是普朗克常數(shù)。這一點(diǎn)子成為后來波粒二象性概念的早期路標(biāo)之一。由于在狹義相對(duì)論里，能量與動(dòng)量的關(guān)聯(lián)方式類似頻率與波數(shù)的關(guān)聯(lián)方式，因此可以揣測(cè)，光子的動(dòng)量與波長成反比，與波數(shù)成正比，以方程來表示這關(guān)系式。

路易·德布羅意認(rèn)為，不單光子遵守這關(guān)系式，所有粒子都遵守這關(guān)系式。他于1924年進(jìn)一步提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波動(dòng)性與粒子性，這性質(zhì)稱為波粒二象性。電子也不例外的具有這種性質(zhì)。電子是一種物質(zhì)波，稱為“電子波”。電子的能量與動(dòng)量分別決定了伴隨它的物質(zhì)波所具有的頻率與波數(shù)。在原子里，束縛電子形成駐波；這意味著他的旋轉(zhuǎn)頻率只能呈某些離散數(shù)值。這些量子化軌道對(duì)應(yīng)于離散能級(jí)。從這些點(diǎn)子，德布羅意復(fù)制出玻爾模型的能級(jí)。

在1925年，瑞士蘇黎世每兩周會(huì)舉辦一場(chǎng)物理學(xué)術(shù)研討會(huì)。有一次，主辦者彼得·德拜邀請(qǐng)薛定諤講述關(guān)于德布羅意的波粒二象性博士論文。那段時(shí)期，薛定諤正在研究氣體理論，他從閱讀愛因斯坦關(guān)于玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)的論述中，接觸德布羅意的博士論文，在這方面有很精深的理解。在研討會(huì)里，他將波粒二象性闡述的淋漓盡致，大家都聽的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波動(dòng)性，應(yīng)該有一種能夠正確描述這種量子性質(zhì)的波動(dòng)方程。他的意見給予薛定諤極大的啟發(fā)與鼓舞，他開始尋找這波動(dòng)方程。檢試此方程最簡(jiǎn)單與基本的方法就是，用此方程來描述氫原子內(nèi)部束縛電子的物理行為，而必能復(fù)制出玻爾模型的理論結(jié)果，另外，這方程還必須能解釋索末菲模型給出的精細(xì)結(jié)構(gòu)。

很快，薛定諤就通過德布羅意論文的相對(duì)論性理論，推導(dǎo)出一個(gè)相對(duì)論性波動(dòng)方程，他將這方程應(yīng)用于氫原子，計(jì)算出束縛電子的波函數(shù)。因?yàn)檠Χㄖ@沒有將電子的自旋納入考量，所以從這方程推導(dǎo)出的精細(xì)結(jié)構(gòu)公式不符合索末菲模型。他只好將這方程加以修改，除去相對(duì)論性部分，并用剩下的非相對(duì)論性方程來計(jì)算氫原子的譜線。解析這微分方程的工作相當(dāng)困難，在其好朋友數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾鼎力相助下，他復(fù)制出了與玻爾模型完全相同的答案。因此，他決定暫且不發(fā)表相對(duì)論性部分，只把非相對(duì)論性波動(dòng)方程與氫原子光譜分析結(jié)果，寫為一篇論文。1926年，他正式發(fā)表了這論文。

這篇論文迅速在量子學(xué)術(shù)界引起震撼。普朗克表示“他已閱讀完畢整篇論文，就像被一個(gè)迷語困惑多時(shí)，渴慕知道答案的孩童，現(xiàn)在終于聽到了解答”。愛因斯坦稱贊，這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。愛因斯坦覺得，薛定諤已做出決定性貢獻(xiàn)。由于薛定諤所創(chuàng)建的波動(dòng)力學(xué)涉及到眾所熟悉的波動(dòng)概念與數(shù)學(xué)，而不是矩陣力學(xué)中既抽象又陌生的矩陣代數(shù)，量子學(xué)者都很樂意地開始學(xué)習(xí)與應(yīng)用波動(dòng)力學(xué)。自旋的發(fā)現(xiàn)者喬治·烏倫貝克驚嘆，“薛定諤方程給我們帶來極大的解救！”沃爾夫?qū)づ堇?/a>認(rèn)為，這論文應(yīng)可算是最重要的著作之一。

薛定諤給出的薛定諤方程能夠正確地描述波函數(shù)的量子行為。在那時(shí)，物理學(xué)者尚不清楚如何詮釋波函數(shù)，薛定諤試圖以電荷密度來詮釋波函數(shù)的絕對(duì)值平方，可并不成功。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地詮釋了波函數(shù)的物理意義。但是薛定諤與愛因斯坦觀點(diǎn)相同，都不贊同這種統(tǒng)計(jì)或概率方法，以及它所伴隨的非連續(xù)性波函數(shù)坍縮。愛因斯坦主張，量子力學(xué)是個(gè)決定性理論的統(tǒng)計(jì)近似。在薛定諤有生的最后一年，寫給玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根詮釋。