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（2021·濟(jì)南）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，BDBC，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形CEF，連接AF．
（1）如圖1，當(dāng)α＝180°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，
①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②如圖3，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接AE，判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由．

【分析】

（1）先猜測(cè)再證明，觀察易得存在√2倍數(shù)的關(guān)系。BC與EC分別為AC與FC的√2倍，所以結(jié)論易得。

（2）①通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論并沒有發(fā)生變化。但是此時(shí)形狀發(fā)生了變化，應(yīng)該怎么證明呢？通過觀察BE與AF所在的三角形，可以發(fā)現(xiàn)△BEC∽△AFC，進(jìn)而得到結(jié)論即可。本質(zhì)就是相似三角形的判定與性質(zhì)。

②先猜測(cè)再證明。觀察先猜測(cè)四邊形的形狀，可能是平行四邊形。由于相似的關(guān)系存在，因此容易得到∠CAF=∠ACE，進(jìn)而得到AF與CE平行。如果可以證明AF與CE相等即可。也就是需要證明AF=√2EF。這也是本題的難點(diǎn)。

過點(diǎn)D作BF的垂線，可以得到一組A字型的相似，再在△BDE中利用三線合一進(jìn)行處理，最終得到結(jié)論。

【答案】解：（1）如圖1，當(dāng)α＝180°時(shí)，點(diǎn)E在線段BC上，

∵BDBC，
∴DE＝BDBC，
∴BD＝DE＝EC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE＝∠BAC＝90°，
∵∠ECF＝∠BCA＝45°，
∴△ABC∽△FEC，
∴，
∴，
∵BCAC，
∴，
∴，即，
∴·；
（2）①仍然成立.
理由如下：
如圖2，∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝45°，，
∴∠ECF＝∠BCA，，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵，
∴△CAF∽△CBE，
∴，
∴仍然成立．

②四邊形AECF是平行四邊形．
理由如下：
如圖3，過點(diǎn)D作DG⊥BF于點(diǎn)G，
由旋轉(zhuǎn)得：DE＝BDBC，
∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴，
∵BD＝DE，DG⊥BE，
∴BG＝EG，
∴BG＝EG＝EF，
∵EF＝CF，
∴CF＝BGBF，
由①知，AFBEBGCF＝CE，
∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠CBE＝∠ACE，
∴∠CAF＝∠ACE，
∴AF∥CE，
∵AF＝CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形．