本文內(nèi)容選自2021年廣元中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題。本題等腰直角三角形為背景,考查旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的問題,綜合中位線定理與動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的最值問題。題目典型,值得學(xué)習(xí)。
【中考真題】
(2021·廣元)如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)(含端點(diǎn)A、B),過點(diǎn)B作BE垂直于射線CD,垂足為E,點(diǎn)F在射線CD上,且EF=BE,連接AF、BF.
(1)求證:△ABF∽△CBE;
(2)如圖2,連接AE,點(diǎn)P、M、N分別為線段AC、AE、EF的中點(diǎn),連接PM、MN、PN.求∠PMN的度數(shù)及的值;
(3)在(2)的條件下,若BC,直接寫出△PMN面積的最大值.
【分析】
(1)根據(jù)兩個(gè)等腰直角三角形,得到一組相似三角形,根據(jù)兩邊成比例且夾角相等即可進(jìn)行證明。
(2)在(1)的基礎(chǔ)上面進(jìn)行求解即可。根據(jù)中位線定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
(3)有了前面兩小題的基礎(chǔ),那么久可以得到三角形PMN的面積用CE來表示當(dāng)CE最大時(shí)面積最大。由于始終有∠BEC為90°,所以點(diǎn)E的軌跡為BC為直徑的圓上,當(dāng)E與B重合時(shí)CE最大,此時(shí)求出面積即可。
【答案】(1)證明:如圖1中,
∵CA=CB,∠ACB=90°,EF=EB,∠BEF=90°,
∴∠CBA=∠EBF=45°,ABBC,BFBE,
∴∠CBE=∠ABF,,
∴△ABF∽△CBE.
(2)解:如圖2中,延長PM交AF于T.
∵BE⊥CF,
∴∠CEB=90°,
∵△ABF∽△CBE,
∴∠CEB=∠AFB=90°,,
∴AFEC,
∵∠EFB=45°,
∴∠AFC=45°,
∵AP=PC,AM=ME,
∴PT∥CF,PMEC,
∵AM=ME,EN=NF,
∴MN∥AF,MNAF,
∴四邊形MNFT是平行四邊形,MNPM,
∴∠TMN=∠AFC=45°,
∴∠PMN=135°,
∴.
(3)解:∵M(jìn)NPM,∠PMN=135°,PMEC,
∴當(dāng)EC的值最大時(shí),PM的值最大,此時(shí)△PMN的面積最大,
∵當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí),EC的值最大,EC的最大值為,
此時(shí)PM,MNPM=1,
∴△PMN的面積的最大值為1.
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