近幾年很多城市將直角距離作為一種新定義來考察，所謂直角距離看上去是幾何，本質(zhì)是代數(shù)的表達(dá)，具體表現(xiàn)在代數(shù)的去絕對值、代數(shù)的求最值以及基本不等式的運用。
（2012無錫）對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離，記作d（P1，P2）．
（1）已知O為坐標(biāo)原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；
（2）設(shè)P0（x0，y0）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離．試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．
分析
滿足d（O，P）=1，也就是說滿足|x|+|y|=1。
解答（1）
圖像如下圖所示，為一個正方形（注意只能畫線段，不能畫成直線）
分析：
依據(jù)題目的定義，點到直線的直角距離取決于直線上的所有點到定點的直角距離的最小值，所以我們寫出直線上的點到定點M直角距離的計算方式，再想辦法求出最小值就行了。
解答（2）
總結(jié)：
這是筆者找到的最早的一道和直角距離相關(guān)的中考題，本質(zhì)其實是去絕對值，類似的去絕對值做法北京市中考和泰州市中考都涉及過，只不過沒有使用直角距離這個新概念。
（2020鹽城）以下虛線框中為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實驗中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題1-4．（1）在Rt△ABC中，，在探究三邊關(guān)系時，通過畫圖，度量和計算，收集到，組數(shù)據(jù)如下表：（單位：厘米）
（2）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，選取上表中BC和AC+BC的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；
設(shè)BC=x,AC+BC=y，以（x，y）為坐標(biāo)，在圖所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點；
連線；
觀察思考
（3）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所面的圖像，猜想．當(dāng)x= 時，最大；
（4）進(jìn)一步猜想：若Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB=2a（a為常數(shù)，a＞0），則BC= 時，AC+BC最大．
推理證明：
（5）對（4）中的猜想進(jìn)行證明．
問題1．在圖中完善描點過程，并依次連線；
問題2．補全觀察思考中的兩個猜想：
問題3．證明上述中的猜想：
問題4．圖中折線是一個感光元件的截面設(shè)計草圖，其中點間的距離是厘米，厘米，平行光線從區(qū)域射入，線段為感光區(qū)域，當(dāng)的長度為多少時，感光區(qū)域長度之和最大，并求出最大值．
解答問題1：
（略）
解答問題2：
補全觀察思考中的兩個猜想：
問題3分析：
求兩個直角邊的和的最值，我們考慮到可以使用基本不等式或者用根的判別式來求解。
問題3解答一：
問題3解答二：
問題4分析：
考慮到剛才給出的模型是斜邊為定值的直角三角形，當(dāng)兩直角邊相等的時候，兩直角邊的和最大。此時只有AB是一個定值的不定線段，所以補全△PAB（如圖所示），這樣就把FM+FN的最大值轉(zhuǎn)化為AP+BP的最大值來求解。
問題4解答：
（2019南京）【概念認(rèn)識】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定義兩點間距離：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【數(shù)學(xué)理解】
（1）①已知點A（﹣2，1），則d（O，A）＝ ．
②函數(shù)y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，d（O，B）＝3，則點B的坐標(biāo)是 ．
（2）函數(shù)y＝（x＞0）的圖象如圖②所示．求證：該函數(shù)的圖象上不存在點C，使d（O，C）＝3．
（3）函數(shù)y＝x2﹣5x+7（x≥0）的圖象如圖③所示，D是圖象上一點，求d（O，D）的最小值及對應(yīng)的點D的坐標(biāo)．
【問題解決】
（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡要說明理由）
分析：
第一問我們只需要讀懂概念，利用概念直接求解。
解答：
分析：
根據(jù)題意可以表示出第二問的d，此時我們可以有好幾種想法，比如利用一元二次方程沒有實數(shù)解來解釋不存在（方法一），利用Δ求解最值（方法二），或者利用基本不等式求解（方法三）。
解答方法一：
解答方法二：
解答方法三：
分析：
第三問可以認(rèn)為是考察的二次函數(shù)求最值。
解答：
分析：
最后一問很有挑戰(zhàn)性，根據(jù)剛才幾問的做法，我們發(fā)現(xiàn)只要放在第一象限就可以忽略距離的問題（在第一象限距離就是坐標(biāo)），所以令d=x+y,可以發(fā)現(xiàn)所謂d的最小值就是一次函數(shù)y=-x+d與y軸的截距的最小值，所以畫出與景觀湖相切的一次函數(shù)圖像，此時的道路即為最短。
解答：
（4）
如圖所示，路線MDE即為所求。
反思：
做完最后一問，反思第三問其實也可以利用直線y=-x+d和二次函數(shù)
y＝x2﹣5x+7在第一象限內(nèi)相切，然后利用代數(shù)方法求解。
下面給出一道題目，大家可以試試用類似的方法來求解。
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（6，0）B（0，2），以AB為斜邊在第一象限內(nèi)做直角三角形ABC，設(shè)點C坐標(biāo)為（ｘ，ｙ），求ｘ＋ｙ的最大值。
反思：
給出新定義是現(xiàn)在考試的流行考法，對于新定義我們要弄清楚的是新的定義是我們所學(xué)的什么老知識，然后運用舊有的知識去解決問題。歸根結(jié)底新定義就是新瓶裝舊酒，新衣服的外表下包裹的任然是你學(xué)過的知識，需要找到題目涉及的就知識，然后用學(xué)過的知識解決問題。
最后留一道直角距離的問題給大家練練手。
城市許多街道相互垂直或平行，有時不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy．對兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），用以下方式定義兩點間距離：d（M，N）＝|x1-x2|+|y1-y2|．已知點A的坐標(biāo)是（-2，1），l是過點（0，3）且平行于x軸的一條直線，P為直線l上一點．
（1）d（O，A）＝ ；
（2）若d（A，P）＝3，求點P的坐標(biāo)；
END
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