微積分是什么
微積分的發(fā)展
表弟：“表哥，什么是微積分？今天老子竟栽在了他手里！”
超模君：“這簡單！微積分主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法?！?/span>
表弟：“算了，你跟我說說它的故事吧，興許還能更理解。”
超模君：“好嘞，坐穩(wěn)！帶你飛咯。”
休閑踏上征途中
其實(shí)，微積分的基本思想是局部求近似，極限求精確。
從微積分成為一門學(xué)科來說，是在17世紀(jì)，但是微積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。
例如三國時(shí)期的劉徽，他對(duì)積分學(xué)的思想主要有兩點(diǎn)：割圓術(shù)及求體積問題的設(shè)想等等。
而微積分的思想真正地迅速發(fā)展和成熟的時(shí)期是在16世紀(jì)以后。
征途慢慢加速中
16世紀(jì)，歐洲的文藝復(fù)興達(dá)到了頂峰，帶來一段科學(xué)革命時(shí)期：一方面社會(huì)生產(chǎn)力迅速提高，科學(xué)和技術(shù)得到迅速發(fā)展，而另一方面，社會(huì)需求的急劇增加，給科學(xué)研究帶來了更大的問題。
這一時(shí)期，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題。
這時(shí)，以常量為主要研究對(duì)象的古典數(shù)學(xué)顯然是不能滿足要求的了，于是，科學(xué)家們只好把主要研究對(duì)象轉(zhuǎn)移到變量上來。
到了17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)家都致力于解決速率，切線，函數(shù)最值，曲線長，曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等問題。
一系列的先驅(qū)性工作，沿著不同的方向逼近微積分的大門！
令人遺憾的是，沒有人把他們的成果聯(lián)系歸納，作出一條規(guī)律明確提出來，且作為微積分基礎(chǔ)特征的微分和積分的互逆關(guān)系也沒能引起足夠重視。
于是，在更高的高度把以往個(gè)別的貢獻(xiàn)和努力綜合在一起，得出理論，就成了17世紀(jì)下半葉數(shù)學(xué)家所要面臨的問題。
那么誰來打開這扇門呢?
征途火力全開中
17世紀(jì)下半葉，在前人的貢獻(xiàn)基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。
他們的最大功績是：
1.把兩個(gè)看起來毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題（積分學(xué)的中心問題）。
2.有明確的計(jì)算步驟。
3.微分法與積分法互為逆運(yùn)算。
1665年11月，牛頓發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”（微分），次年5月又發(fā)明反流數(shù)術(shù)。
1666年10月，牛頓將流數(shù)術(shù)總結(jié)一起，并寫出了《流數(shù)簡述》，這標(biāo)志著微積分的誕生。
1671年，牛頓寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》，指出：變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。
他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。
牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程（積分法）。
1684年，萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大極小和切線的新方法》，它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。
1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無限的分析》，這初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系。
微積分的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多令人頭痛的問題，現(xiàn)在使用微積分，都輕輕松松地解決掉了，顯示出了微積分的超常威力。
征途中遇到“妖怪”！
但任何一項(xiàng)重大理論的完成都是不會(huì)那么順利的，在起初都會(huì)引起一部分人極力質(zhì)疑的，微積分學(xué)同樣也是。
在微積分創(chuàng)立之初，微積分的基礎(chǔ)問題就一直受到一些人的質(zhì)疑和攻擊。
荷蘭數(shù)學(xué)家妞紋蒂曾在其著作《無限小分析》中指責(zé)牛頓的流數(shù)術(shù)敘述“模糊不清”，萊布尼茲的高階微分“缺乏根據(jù)”等。
其中最著名的是1734年，英國主教貝克萊的攻擊。
當(dāng)時(shí)，他寫文章去攻擊流數(shù)（導(dǎo)數(shù)），并明確指出牛頓論證的邏輯問題，為那個(gè)無窮小量的莫名消失而質(zhì)疑，進(jìn)一步展開了對(duì)微積分學(xué)的進(jìn)攻，由此第二次數(shù)學(xué)危機(jī)便拉開了序幕。
針對(duì)牛頓的求導(dǎo)過程，他說：“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會(huì)因吞食了神學(xué)論點(diǎn)就嘔吐的?！?/span>
事情是這樣的。
牛頓在《求積術(shù)》一文中使用論證得出了y=x^n的導(dǎo)數(shù)是nx^(n-1),這個(gè)方法和結(jié)果在實(shí)際應(yīng)用中非常成功，大大推進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。
通過對(duì)
增加一個(gè)微小的非零增量的方式求它的導(dǎo)數(shù)：
到這一步為止，
依然被假設(shè)為一個(gè)非零的量。
但是，隨后，
忽然變成了0，所以才能得到
。
然而，牛頓的論證其實(shí)是有嚴(yán)重紕漏的：在增量無窮小的情況下，牛頓直接令其等于零從而解決問題。
但是，一個(gè)無窮小的量真的等于零嗎？
在貝克萊看來，這一過程中的前后兩個(gè)假設(shè)完全沖突。
若
不為0，那么則不能推出任何結(jié)果；
若
為0，那么它就不能作為分母且根本沒有增加。
牛頓對(duì)它曾作過三種不同解釋，但他始終無法解決上述矛盾。
1669年說它是一種常量。
1671年又說它是一個(gè)趨于零的變量。
1676年，它被“兩個(gè)正在消逝的量的最終比”所代替。
顯然，牛頓時(shí)代對(duì)于極限這一問題研究尚不夠深入，使得增量時(shí)有時(shí)無的邏輯問題顯得尤為嚴(yán)重。
與“妖怪”斗爭中
1742年，馬克勞林完成了《流數(shù)論》，目的就是反駁貝克萊對(duì)牛頓的流數(shù)術(shù)的攻擊，它從若干“無例外的原則”去推演流數(shù)理論，為分析形式化的前驅(qū)。
1754年，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾則提出把極限理論作為分析的基礎(chǔ)，并為極限做出了很好的定義。
可惜的是，當(dāng)時(shí)他沒有把這種理論公式化。
波義爾做出這樣的評(píng)價(jià)：達(dá)朗貝爾沒有擺脫傳統(tǒng)的幾何方法的影響，不可能把極限用嚴(yán)格形式闡述。
但他是當(dāng)時(shí)幾乎唯一一位把微分看成是函數(shù)極限的數(shù)學(xué)家。
1797年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日對(duì)嚴(yán)格化問題也開始注意了，他肯定了在極限基礎(chǔ)上建立微積分。
但當(dāng)時(shí)極限的概念還不明確，他回避了極限，試圖把微積分建立在泰勒展式的基礎(chǔ)上，并從函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式中的系數(shù)定義出了各階導(dǎo)數(shù)。
整個(gè)18世紀(jì)，幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)家都在為微積分找出合乎邏輯的理論基礎(chǔ)而努力著，但所有的努力并沒有得到一個(gè)圓滿的結(jié)局。
努力扳回一局中！
直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。
首先是波爾查諾，他開始將嚴(yán)格的論證引入到微積分中。
1816年，波爾查在證明二項(xiàng)展開公式時(shí)，明確提出了級(jí)數(shù)收斂的概念，并對(duì)極限、連續(xù)和變量有了更深的理解，合適地定義了導(dǎo)數(shù)等概念。
但是當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂概念并沒有得到公認(rèn)，從而引出了許多所謂的“悖論”。
為了改變這種局面，阿貝爾指出了嚴(yán)格限制濫用級(jí)數(shù)展開及求和；
在1821～1823年間，柯西出版了《分析教程》和《無窮小計(jì)算講義》，這些書中都精確地定義了數(shù)學(xué)分析一系列基本概念。
例如，他給出了精確的極限定義，然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級(jí)數(shù)的收斂性。
這使微積分中的這些基本概念建立在較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。
征途進(jìn)攻中
在嚴(yán)格化證明微積分的潮流中，魏爾斯特拉斯總結(jié)前人的經(jīng)驗(yàn)，引出了如今通用的極限的ε-δ定義。
1842年，魏爾斯特拉斯引進(jìn)了一致收斂概念，并嚴(yán)格證明了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分定理。
1872年，魏爾斯特拉斯構(gòu)造了一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的函數(shù)，讓人們意識(shí)到了連續(xù)性與可微性的差異。
1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金通過他的“戴德金分割”從有理數(shù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)，建立起了無理數(shù)理論。
在同一年，魏爾斯特拉斯和康托爾都從有理數(shù)的角度去定義了無理數(shù)，建立了實(shí)數(shù)理論。
在實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)上，他們建立起極限論的基本定理，從而使微積分終于建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)上了。
魏爾斯特拉斯是通過有界單調(diào)序列理論。
而康托爾是通過有理數(shù)序列理論
表弟：“真刺激！表哥，我得好好去學(xué)微積分了。”
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