摘 要:縱觀近年高考數(shù)學試題，可以看出，立體幾何解答題是歷年高考的必考題型。分值一般12分，難度屬容易或中檔題。學生得分率較高，但失分率也高。本文就2011年高考數(shù)學真題為例，對立體幾何解答題作一些歸類。關(guān)于立體幾何解答題可以歸類為一題多解與多題一解，即一類題有多種解法，多種題型可以用一種解法完成。
關(guān)鍵詞：一題多解；多題一解；立體幾何
一、一題多解
例1?。ò不绽?span>17）如圖，為多面體，平面
與平面
垂直，點
在線段
上，
△OAB，,△
，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）證明直線∥；
（II）求棱錐F—OBED的體積。
分析：本題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間直線平行的證明，多面體體積的計算等基本知識，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力.通常解法是傳統(tǒng)法和向量法。
（I）解法一（傳統(tǒng)法）： 證明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點. 由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以
∥，OG=OD=2，
同理，設(shè)是線段DA與線段FC延長線的交點，有
又由于G和都在線段DA的延長線上，所以G與重合.
在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和C分別是GE和GF的中點，所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF.
解法二（向量法）：過點F作，交AD于點Q，連QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q為坐標原點，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標系.
由條件知
則有
所以即得BC∥EF.
（II）略
評注：向量法和傳統(tǒng)法有時可以轉(zhuǎn)換著使用，主要工具是利用三線垂定理及逆定理和面面垂直、線面垂直、線線垂直找出兩輛相互垂直的三條直線，進而建立直角坐標系。
例2?。ê崩?span>18）如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4，是的中點，動點在側(cè)棱上，且不與點重合．
（Ⅰ）當=1時，求證：⊥；
（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，求的最小值．
本小題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。（滿分12分）
解法1：過E作于N，連結(jié)EF。
（I）如圖1，連結(jié)NF、AC1，由直棱柱的性質(zhì)知，
底面ABC側(cè)面A1C。
又度面側(cè)面A，C=AC，且底面ABC，
所以側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，
在中，=1，
則由，得NF//AC1，
又故。
由三垂線定理知
（II）如圖2，連結(jié)AF，過N作于M，連結(jié)ME。
由（I）知側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得
所以是二面角C—AF—E的平面角，即，
設(shè)
在中，
在
故
又
故當時，達到最小值；
，此時F與C1重合。
解法2：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標系，則由已知可得
于是
則
故
（II）設(shè)，
平面AEF的一個法向量為，
則由（I）得F（0，4，）
，于是由可得
取
又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個法向量為，
于是由為銳角可得，
所以，
由，得，即
故當，即點F與點C1重合時，取得最小值
從上述兩個例子可以看出，立體幾何某一類解答題解法有多種，通常需要平時多總結(jié)，并比較何種方法更簡捷才能在考試時得心應手。一般而言，向量法解決問題時，容易著手，但寫坐標時必須細心謹慎。而傳統(tǒng)解法要求我們要學會作輔助線以及對線面垂直、面面垂直、線線垂直、三垂線定理等要非常有研究。不論如何，高考立體幾何一般都可以傳統(tǒng)法和向量法兩種方式來解決。
二、多題一解
高考很大一部分題都可以用向量法或轉(zhuǎn)化后用向量法來解決。
１.直接用向量法
對于三條直線已經(jīng)兩兩相互垂直的立體幾何大題，我們可以直接用向量法進行解決。
例3 （湖南理19）
如圖5，在圓錐中，已知=，⊙O的直徑,是的中點，為的中點．
（Ⅰ）證明：平面平面;
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
分析; OB、OC、OP所在直線相互垂直，可以直接建系
解：（向量法）（I）如圖所示，以O為坐標原點，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標系，則
，
設(shè)是平面POD的一個法向量，
則由，得
所以
設(shè)是平面PAC的一個法向量，
則由，
得
所以
得。
因為
所以從而平面平面PAC。
（II）略
２.需要轉(zhuǎn)化后才能建系
如果沒有兩兩相互垂直的三直線，我們可以想辦法找出后再解決相關(guān)題目。主要是利用三線垂定理及逆定理和面面垂直、線面垂直、線線垂直找出兩兩相互垂直的三條直線，然后才建立直角坐標系。
例4?。◤V東理18）如圖5．在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，
且∠DAB=60，,PB=2,
E,F分別是BC,PC的中點．
（1） 證明：AD 平面DEF;
（2） 求二面角P-AD-B的余弦值．
分析：本題需要利用線面垂直進行轉(zhuǎn)換，才好建系。
解：（1）取AD中點為G，因為
又為等邊三角形，因此，，
從而平面PBG。
延長BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，
所以PO 平面ABCD。
以O為坐標原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系。
設(shè)
由于
得
平面DEF。
（2）
取平面ABD的法向量
設(shè)平面PAD的法向量
由
取
例5 全國大綱理19）
如圖，四棱錐中， ,，側(cè)面為等邊三角形，．
（Ⅰ）證明：;
（Ⅱ）求與平面所成角的大小
分析：本題直接建系不能把S的坐標寫出，故需一定的轉(zhuǎn)換。
解：以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系C—xyz。
設(shè)D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。
又設(shè)
（I），，
由得
故x=1。
由
又由
即
于是，
故
所以平面SAB。
（II）設(shè)平面SBC的法向量，
則
又
故
取p=2得。
故AB與平面SBC所成的角為
從上面可以看出，立體幾何多數(shù)題型都可轉(zhuǎn)化為用一種方法求解。
綜上所述，在學習立體幾何時，我們應該學會一題多解，把思維發(fā)散。同時要學會多題一解把無數(shù)的題歸類，走出題海的怪圈。只有這樣，我們的學習才會輕松快樂。
參考文獻：
①2011年高考數(shù)學試題立體幾何分類匯編
③張繼海.《高考立體幾何試題傳統(tǒng)證法的轉(zhuǎn)化思路》試題與研究·高考數(shù)學 2009年第1期
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