整理 行者 思丹
很多家長不知道如何正確啟蒙孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思考, 這是一個很頭疼的問題。
沒有一個人會否認數(shù)學(xué)的重要性，但是對如何正確啟蒙數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性認識不足。
我們今天使用三視角方法論來探討數(shù)學(xué)啟蒙的問題，主要聚焦于如何和孩子一起學(xué)習(xí)數(shù)字，0，1，2，3，4，......這是個看起來容易，實則非常困難的問題。然而，如果我們按照三視角理論去思考，問題就顯得不是那么困難了。
作者 簡介：
三視角方法概論
首先我們介紹三視角方法論。
三視角方法不僅是一個認識方法論或認識工具, 也是世界萬物萬事萬理的本體論, 即事物自身的結(jié)構(gòu)由三個視角：對比，變化，分布組成! 這是視角結(jié)構(gòu)，不同于我們通常討論的三維物體結(jié)構(gòu)！
對比視角包括事物的對比特征，這些特征把該事物和其他事物進行對比區(qū)分; 變化視角包括事物的對比特征的種種不同的具體表現(xiàn); 分布視角包括事物和其他事物的關(guān)系。認識任何一個事物，無論可見還是不可見，只要是我們能敘說或定義的一個存在體。
不管是三維物體還是一個抽象的數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)過程或數(shù)學(xué)概念，我們都需要從事物的對比視角、變化視角，和分布視角來認識它。而且如果我們?nèi)鄙偃魏我粋€視角的認識，我們的整個認識或理解就是空的；或者說，我們只是將一些符號記錄在大腦儲存區(qū)域內(nèi)，它們并沒有進入我們的知識結(jié)構(gòu)體系里。
任何信息都必須經(jīng)過學(xué)習(xí)者的解釋才能成為知識, 而解釋就是用已有的知識結(jié)構(gòu)里的特定的圖式來與新的信息建立結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。
當(dāng)我們從對比視角研究和學(xué)習(xí)或認識一個事物時，我們必須以變化和分布視角為條件；當(dāng)我們使用變化視角時，我們必須使用對比和分布視角；照樣，對分布視角的認識也必須以對比和變化視角為預(yù)設(shè)?？偠灾J識任何事物，必須使用三個視角。三個視角彼此互相需要，沒有重要和次要之分，地位平等，而且三個視角必須同時出現(xiàn)在任何一個認知活動里，但是有所側(cè)重。
那么，對一個事物的完整的認識和它在人的知識結(jié)構(gòu)體系里存在的知識圖式就是一個三視角的知識結(jié)構(gòu)體。這個結(jié)構(gòu)體是整體協(xié)調(diào)，各個視角互不矛盾，互相依靠，互相補充。自然地，學(xué)習(xí)的本質(zhì)是如何形成這樣的三視角知識結(jié)構(gòu)體并不斷地豐富這個結(jié)構(gòu)體。
下面我們來討論如何學(xué)習(xí)一個數(shù)字，比如7。
數(shù)字7是一個符號，但是這個符號到底代表什么意思呢？這是我們今天要詳細討論的。學(xué)習(xí)一個數(shù)字，其實就是我們教育小孩數(shù)數(shù)的過程。這么簡單的事情，還值得討論嗎？
畢達哥拉斯認為數(shù)字是很美的， 你能體驗到7的美嗎？數(shù)學(xué)家Sfard 說一個數(shù)字既是一個過程也是一個獨立的對象，還是一種關(guān)系！您明白嗎？
到底如何認識7呢？我們先分析它的三視角結(jié)構(gòu)。
三視角分析數(shù)字7
1.對比視角告訴我們7的本質(zhì)是什么：就是7成為他自身的“身份證”。
數(shù)學(xué)上說7代表著一些相同的存在體的集合，可以是看見的和看不見的；可以是物質(zhì)的，也可以是觀念性的。比如7個西紅柿，7個中國人，7個中文字， 7個圓的特性，7個數(shù)學(xué)定義，等等。這里的相等是角度性的，或說從某個性質(zhì)來看他們相同；不是說兩個東西完全相等，因為任何兩個事物都具有不同性的。即使是兩個電子，或兩個光子，事實上他們都不是完全相同的。所以當(dāng)我們說7個西紅柿?xí)r，我們是從西紅柿的固有屬性，就是西紅柿的本質(zhì)視角來說他們是相同的。
人們在研究這些包含有“相同的事物”的集合，比如集合A里X個蘋果，B里有Y個梨。人們發(fā)現(xiàn)這些集合有一個共性，就是這些集合之間可以建立彼此一一 對應(yīng)的關(guān)系。然后我們把這種對應(yīng)關(guān)系或共性，定義為同一個數(shù)目， 比如，這個數(shù)叫7?；蛘哒f，在很多的這樣的集合里，有些集合有共性，就是能一一對應(yīng)；而且每一個集合都可以找到和它一一對應(yīng)的其他的集合。這樣，這些彼此對應(yīng)的集合就有一個共性。把這個共性定義為一個概念，就叫做一個數(shù)字，比如7。這里我們使用十進制。它描述的就是集合的元素的多少。
如果，我們使用二進制(0,1兩個符號)，那么這個共性，比如是7，就會被記寫成111；如果我們使用三進制（0，1，2三個符號），它就是21；如果我們使用A,B,C,D,E來代表五進制， 那么這個共性就可以定義為BC。所以7這個符號不是本質(zhì)的，本質(zhì)是這些集合們，他們有一個共性，這個共性就是集合里的元素之間可以彼此一一對應(yīng)。比如，袋子A 里有一些蘋果，袋子B里有一些書。如果我們能把書和蘋果一一對應(yīng)起來，那么我們說兩個袋子里具有相同多的物體。這兩個一些它們具有共性，就是可以一一對應(yīng)。這個就是我們衡量兩個集合里的元素的個數(shù)是否相同的定義。對于無窮大，比如自然數(shù)的個數(shù)和有理數(shù)的個數(shù)是否一樣多呢？我們也是用這個一一對應(yīng)來研究的。這就是7的對比/本質(zhì)視角。這個共性，就是集合的元素的一一對應(yīng)性。我們應(yīng)該引導(dǎo)孩子自己去探索發(fā)現(xiàn)這個一一對應(yīng)性。這個一一對應(yīng)告訴孩子什么叫做數(shù)目相等和不相等。
要認識本質(zhì)視角，我們還要采用對比的方法。就是我們要比較7和6， 7和 5， 7和1等等。要讓孩子去發(fā)現(xiàn)：我們不能把7個蘋果和5個梨去一一對應(yīng)。只有在對比中，孩子才能真正明白7的內(nèi)在含義和7與其他數(shù)字的不同是什么意思。當(dāng)然這個認識過程是漫長的，很多孩子要好幾年的時間。很多人可能一生都不明白上面的意思。這個一一對應(yīng)過程也就是孩子數(shù)數(shù)的過程。但是大部分孩子學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)的過程都是有認識不完整的問題。這會造成很多孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難。對數(shù)的正確認識是整個數(shù)學(xué)的最核心的根基。
2.變化的視角說的是：這樣的具有7個相同性質(zhì)的元素的集合體有很多，就是7的本質(zhì)的具體表現(xiàn)有很多，且有不同性。
基本上，在大自然和歷史中，我們能敘說和定義的任何事物都可以用7來描述。但是，我們不能說7個東西， 因為我們無法來定義東西。同樣，對于人本哲學(xué)上的存在，我們也無法定義。我們不可能定義一個普遍概念，它能包括任何事物；我們也不能定義一個無所不包的范疇。
變化的視角指7的本質(zhì)概念的具體應(yīng)用。孩子們需要不斷地去發(fā)現(xiàn)事物之間的共性，才能更好地明白數(shù)字的含義。發(fā)現(xiàn)共性和差異性幾乎等同于認知世界的全部任務(wù)。所以中文的智力是指知道和看見的能力，什么叫做看見一個事物呢，就是將它從其他事物中分別出來，但是也要發(fā)現(xiàn)它和其他事物的共性。中文是從認知的結(jié)果視角來說的。那么英文呢？Intellect=choose between， 就是在兩者中進行選擇，就是區(qū)分，其中包括發(fā)現(xiàn)起共性和差異性。所有科學(xué)，包括人文和自然科學(xué)都是干一個區(qū)分的事情。顯然，英文是從過程的角度來定義的。
3.分布的視角言說7和其他數(shù)字和其他數(shù)學(xué)對象的關(guān)系，或者說7代表的這些集合，和不能與7代表的集合進行一一對應(yīng)的集合的關(guān)系。
比如，7比6多一個，就是7=6+1；從對應(yīng)關(guān)系來說， 就是一一對應(yīng)之后，7的集合里面會比6的集合多一個。分布的視角說的是7和其他數(shù)字的普遍聯(lián)系，或者說7的重要性的體現(xiàn)。7本身是無價值的，如果他不和其他數(shù)字發(fā)生關(guān)系。所以，我們有7和8 的關(guān)系：大小關(guān)系，加法關(guān)系，乘法關(guān)系，很多很多。
分布的視角其實是把7已經(jīng)看成一個獨立的個體，把它的過程性，就是一一對應(yīng)性封裝起來了。然后，研究這個個體和其他個體的關(guān)系，就是普遍聯(lián)系性。這個封裝的過程是需要很長時間的。比如很多孩子，你要他做7+3， 他會這樣在心里數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，然后是8，9，10。結(jié)果是10。你會發(fā)現(xiàn)，他此時把7還是理解成前面的對比本質(zhì)視角里的一一對應(yīng)，就是從1數(shù)到7的過程。他還沒有將這個過程對象化。如何從過程盡快過渡到對象階段呢。這是一個很有意思的難題。從三視角理論來說，就是要在分布的視角上進行多次訓(xùn)練和反思。
完成了以上的三個視角的分析了，我們就可以簡單地介紹如何學(xué)習(xí)數(shù)字比如7了。
三視角學(xué)習(xí)數(shù)字的基本目標(biāo)
學(xué)習(xí)數(shù)字, 其實就是通常我們說的如何學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)。很多家長一定認為: 孩子只要會從0，1，......一直數(shù)到10就是學(xué)會了10以內(nèi)的數(shù)數(shù)了。從我們的三視角分析來看，這是一個錯誤的認識。因為很多孩子基本上不明白數(shù)字的意義. 在他們的大腦里，0到10只是一連串的符號，彼此相連。比如, 2這個符號在3之前，8在7之后而已。這樣造成對7+8=15的認識也是符號7,根著符號+, 再是符號8, 然后是= 和符號15。這樣的學(xué)習(xí), 實質(zhì)是單獨的記憶, 小學(xué)一二年級還可以, 到了初中就很受苦了, 高中就基本上要放棄了。
沒有理解的學(xué)習(xí), 儲藏在大腦中的信息是孤立的, 沒有和現(xiàn)有的知識系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相連, 記憶是痛苦的,需要不斷地重復(fù)。所以大部分孩子對數(shù)學(xué)是沒有興趣的，更無法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美和善。這種痛苦，是從學(xué)數(shù)字的時候就埋下了種子。一個數(shù)字，比如7，它是很美的。不是說這個符號很美，而是它的內(nèi)容和本質(zhì)是很美的，它刻畫了世界的組織結(jié)構(gòu)的美。
最基本的數(shù)數(shù)學(xué)習(xí)要求有下列幾點最基本的認識目標(biāo)：
1． 當(dāng)你問到孩子一個數(shù)字,比如7, 是什么意思的時候，孩子要能告訴你，它是表示7個蘋果，7本書，7天，等等。當(dāng)他看到7個相同的東西的時候，他要能告訴你，那兒有7個什么。還有，他要明白當(dāng)袋子里有3個梨和4個桃的時候，他應(yīng)該知道那不是7個梨也不是7個桃。當(dāng)然你不能要求他說7個水果，因為他可能還不明白水果和梨的關(guān)系。還有他要有應(yīng)用’7’的能力：孩子要能使用數(shù)字， 比如你要孩子拿7個椅子過來, 要他拿7張紙和7瓶水, 他都能很好完成。
2． 此時你要問孩子，這個7個到底是多少呢？他要知道，7個，是在1個的上面再加一個，再加一個，......就是他要明白分布的視角?；蛘哒f， 孩子要能明白7是從1，不斷遞增上來的。他更要明白，7和其他數(shù)的關(guān)系：大小，相差多少，比如， 7比6多1，7比8少1, 就是數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系要清楚。當(dāng)然他們不必明白7和4的多少比較關(guān)系，但是要知道7比4大。這是我們以后學(xué)減法和加法要知道的。反過來也是，6比7少1。孩子要明白，每一個數(shù)字的前面是誰，后面是誰。最好能明白7的前面的兩個數(shù)和后面的兩個數(shù)是誰？就是要知道, 7的前面有8和9, 后面有6和5。
其實上面的最基本的要求就是三視角的知識圖式的最基本部分。大家一定要切記：僅僅告訴孩子7表示7個蘋果，或說7個相同的東西，孩子是不能明白的。他只是記住你的話，應(yīng)用的時候，就是重復(fù)你的話而已。
我們來分析一般家長教育孩子學(xué)習(xí)數(shù)字的方法和毛病，再來介紹三視角學(xué)習(xí)數(shù)字方法。（請看丹德公眾號分享的文章：如何正確啟蒙孩子的數(shù)學(xué)(核心部分)以及如何正確啟蒙孩子的數(shù)學(xué)（第二部分））
傳統(tǒng)的家長如何教孩子學(xué)數(shù)數(shù)及其毛病和害處分析
一般的孩子學(xué)習(xí)數(shù)字分三步：
a. 先是孩子學(xué)習(xí)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 幾個數(shù)字，形成一個序列。有的用兒歌，這樣孩子就會不那么痛苦。有的是和孩子在生活里慢慢地學(xué)會，比如一起上樓梯，一邊爬，一邊數(shù)，不知不覺，孩子會唱1，2，3，4，5， 6，7，8，9，10這個歌了?？梢哉f這是一個有順序的序列在孩子的心中。這就是一個10個符號的序列。孩子使用記憶將這些對他們看起來毫無意義的符號記在心中。有的孩子喜歡，有的就痛苦?？傊@是完全的記憶。比較好一點的還會注意將背誦和具體的有序活動對應(yīng)起來。大部分家長是和孩子在家里不斷地機械地重復(fù)。
b. 然后，就是將這個序列和實物的集合的元素一一對應(yīng)活動。一般的方法是：和孩子一起數(shù)比如蘋果的個數(shù)，爸爸拿一個蘋果，就說1， 再拿一個說2， 繼續(xù)是3， 4， 5， ......孩子就學(xué)著爸爸的'一一對應(yīng)’活動， 也慢慢地學(xué)會'一一對應(yīng)’，比如數(shù)家里的人：爸爸1， 媽媽2， 哥哥3， 姐姐4， 爺爺5， 我自己6。然后也是照著爸爸說，總共6個人。大部分孩子的學(xué)數(shù)字的過程幾乎全部是記憶和模仿。這種形式要重復(fù)3到4年才能很熟練。然后到了學(xué)10，11， 以上就又不會了。因為毫無數(shù)字的本質(zhì)理解，當(dāng)然不會自然地從19 過渡到20， 也不會從99 過渡到100。記得我兒子學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)的時候，我是告訴他要自己找到規(guī)律， 然后他會從19到20， 然后29到30，一直到99。一樣地， 他也只是記憶而已。這種學(xué)習(xí)方法造成很多孩子很難理解為何最后那個數(shù)字就是表示物體的總數(shù)。往往很多孩子以為最后那個物體就是最后那個數(shù)字。他們會把數(shù)字和一個一個物體一一對應(yīng)起來的。
c. 孩子們會使用一一對應(yīng)的方法將某一集合里的元素比如盒子里的珍珠和心里的1，2，3，4，5，......的數(shù)的集合進行有序的一一對應(yīng)。然后把最后一個叫定義為總數(shù)。在這個一一對應(yīng)過程里，幾乎沒有理解。完全就是一天一天的反復(fù)記憶和訓(xùn)練。很多孩子就是在這種訓(xùn)練里失去了對數(shù)學(xué)的興趣。很多孩子，從小是因為被迫去不斷地重復(fù)練習(xí)。因為沒有理解，實際上孩子對數(shù)字和數(shù)字之間的關(guān)系也是不懂的。當(dāng)然這些數(shù)字是如何來的也是不懂的。
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