作者：賈朝華教授
從哥德巴赫說開去（1）從哥德巴赫說開去（2）優(yōu)美的猜想
英國數(shù)學(xué)家華林(E. Waring,1736-1798),在 1770 年出版 的《代數(shù)沉思錄》一書中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想:
1. 每個大于 2 的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和;
2. 每個奇數(shù)或者是一個素數(shù),或者是三個素數(shù)之和。
一個標準的現(xiàn)代版本是這樣的:
I. 每個不小于 6 的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和;
II. 每個不小于 9 的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和。
可以將它們寫成下面的數(shù)學(xué)公式:
I. N = p1 + p2 , 當 N (≥ 6) 是偶數(shù);
II.N=p1+p2+p3,當N(≥9)是奇數(shù);
其中 pi 均為奇素數(shù)。
如果猜想 I 成立,那么對于奇數(shù) N,我們可以將 N-3 表成兩 個奇素數(shù)之和,因此猜想 II 就成立。也就是說,猜想 II 是 猜想 I 的推論。保留猜想 II 的一個原因是,可以使得猜想在 形式上關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)都有表述。
哥德巴赫猜想的表達形式簡潔明了,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的優(yōu)美感覺。 從乘法來看,素數(shù)是構(gòu)成自然數(shù)的基本元素,在哥德巴赫猜想 中,將素數(shù)放到加法的環(huán)境里,實際上是刻畫了加法和乘法的某種關(guān)系,而這兩種運算在數(shù)學(xué)中是最基本和最常見的。
我們再從加法的角度,來看自然數(shù)的構(gòu)成。如果將 1 重復(fù)地 相加,顯然可以得到任何一個自然數(shù),但這太沒技術(shù)含量了。 稍微復(fù)雜一點,人們會嘗試將一些特殊的數(shù)(比如素數(shù))相 加,看能否得到任何一個自然數(shù),這樣就很有可能得到與哥 德巴赫猜想類似的結(jié)論。據(jù)說早在哥德巴赫之前,法國哲學(xué) 家和數(shù)學(xué)家笛卡兒(R. Descartes,1596-1650)在他的手稿 里就有“每個偶數(shù)是至多三個素數(shù)之和”這樣的敘述。
在哥德巴赫猜想產(chǎn)生的過程中,偉大的歐拉實實在在地當了 一回配角。我們已經(jīng)看到,對于費爾馬數(shù)問題,歐拉表現(xiàn)出了精湛的數(shù)學(xué)功力,但對于哥德巴赫猜想,歐拉卻沒有提出任何有價值的意見。這并不意味著歐拉對此沒有興趣或沒有 深入思考,實際上他是深知這個問題的分量和難點所在的。
在歐拉那個時代,數(shù)學(xué)的主要工具是分析方法,主要研究對 象是連續(xù)的實數(shù)直線。而正整數(shù)在實數(shù)直線上是一些離散的 點,如何用處理連續(xù)對象的工具來研究離散情形,是一個非 常重要的課題。1737 年,歐拉提出了著名的乘積公式:當x > 1時,有
其中乘積中的 p 跑遍所有的素數(shù)。歐拉乘積公式開了用分析方法研究數(shù)論的先河,對于數(shù)論的發(fā)展影響非常重大。
在歐拉乘積公式中,令 x → 1 ,左邊的級數(shù)
是發(fā)散的,因此,右面的乘積
不會是一個有限的數(shù)。由此可知,所有素數(shù)的個數(shù)不可能是有限的。這樣,對于歐幾里得關(guān)于素數(shù)個數(shù)無限的定理,我們就有了一個分析的證明。
然而在對于素數(shù)的認識方面,當時的人們并沒有比歐幾里得 走出多遠。除了知道素數(shù)有無窮多個,再細致一點的信息就 不清楚了。比如,關(guān)于不超過 x 的素數(shù)個數(shù),即
的一些基本性質(zhì),當時是很不清楚的。后來,高斯才對π(x) 的近似1公式有了一個猜想性的結(jié)果,而證明則是 1896年的事情了。
要弄清楚單個素數(shù)的變化,就已經(jīng)如此之難,想要把兩個或 三個素數(shù)的變化通過加法合在一起考慮,其難度可想而知。 雖然歐拉無法預(yù)料素數(shù)理論的發(fā)展,但他深知解決哥德巴赫 猜想已經(jīng)遠遠超出他的能力之外。外行人不了解其中的深 淺,對于這樣一個看似不太深奧的猜想,居然能使歐拉這樣的頂級數(shù)學(xué)大師一籌莫展,他 們會感到很好奇。
優(yōu)美的哥德巴赫猜想,讓我們記住了香氣飄逸的伊麗莎白女皇時代,而美輪美奐的葉卡捷琳娜宮,更使人對那個時代印象深刻。
早在 1717 年,彼得大帝在圣彼得堡郊外,為妻子葉卡捷琳娜修建消夏別墅,稱為葉卡捷琳娜宮。1741 年,伊麗莎白女皇登基后,授權(quán)俄國最優(yōu)秀的建筑師,對葉卡捷琳娜宮進 行了擴建和改造。改造后的宮殿長達 306 米,天藍色和白色 相間的外表耀眼迷人,造型豐富的鍍金雕塑和凹凸有致的結(jié) 構(gòu),使得整個建筑華貴而美觀,宮殿上方五個圓蔥頭式的尖 頂,在碧空下金光燦燦,很遠處就能望見。宮殿內(nèi)部,金碧 輝煌的大廳一間挨一間,最具特色的算是琥珀廳,內(nèi)部全部 用光彩奪目的琥珀裝修而成,被稱為是世界的奇跡?；▓@里芳草萋萋,綠樹成蔭,到處彌漫著花草的清香。湖面上波光 粼粼,蕩漾著夢幻般的詩意。葉卡捷琳娜宮反映了俄羅斯帝 國蓬勃向上的氣象,多少年來,這里的湖光林色被一代又一 代的俄羅斯詩人詠頌。
哥德巴赫踏上仕途之后,順風(fēng)滿帆。1746 年,哥德巴赫受 賜封地,有了自己的莊園,雖不及皇家莊園富貴氣派,卻也寧靜雅致,別有洞天。在俄羅斯廣袤的土地上,各種莊園星 羅棋布,形成賞心悅目的風(fēng)景。人們會巧妙地利用莊園周圍 的自然資源,如河流、小溪、湖泊、山丘和森林,來營造一 個景色宜人、情調(diào)浪漫的環(huán)境。莊園里都辟有花圃和草坪, 湖畔河邊有三兩涼亭點綴其間,林蔭小道,曲徑通幽,漫步 莊園之中,讓人流連忘返。秋天的艷陽,冬天的靜雪,春季 的百合,夏季的紫丁香,使人品味無窮。著名的俄國小說家 屠格涅夫,在《羅亭》、《貴族之家》等長篇小說中,對于 俄羅斯貴族的生活有生動細致的描寫。
清晨,哥德巴赫常常獨自一人,信馬由韁,徜徉在大自然的懷抱間。晚上,端上一杯格瓦斯(一種俄式飲料),憑窗遠眺, 夜色朦朧中的田園風(fēng)光,更讓人心曠神怡,如同丘特切夫“靜 靜的夜晚”一詩中所寫:
靜靜的夜晚,已不是盛夏,
天空的星斗火一般紅,
田野在幽幽的星光下,
一面安睡,一面在成熟中....
啊,它的金色的麥浪,
在寂靜的夜里一片沉默,
只有銀色的月光
在那如夢般的波上閃爍....
粉色的月光
圣彼得堡科學(xué)院建立后,國外知名學(xué)者的引進確實帶動了俄 羅斯科學(xué)的發(fā)展。在伊麗莎白女皇時代,俄羅斯本土的科學(xué) 家開始出現(xiàn),羅蒙諾索夫是其中最杰出的一位。
羅蒙諾索夫(M. V. Lomonosov,1711-1765)出身于一個富 裕的漁民家庭,從小就有強烈的求知欲。當時平民受教育的 機會很少,所以他就冒充貴族子弟,考入莫斯科的斯拉夫— 希臘—拉丁語學(xué)院,不久成為那里最優(yōu)秀的學(xué)生。后來,羅 蒙諾索夫被派到德國留學(xué),1741 年學(xué)成回國,到圣彼得堡 科學(xué)院工作,1745 年擔(dān)任化學(xué)教授。
羅蒙諾索夫 (M. V. Lomonosov), 俄國科學(xué)家、人文學(xué)者,莫斯科大 學(xué)的創(chuàng)建人。
羅蒙諾索夫通過試驗,總結(jié)出了“物質(zhì)不滅定律”,也就是“質(zhì) 量守恒定律”,這一發(fā)現(xiàn)比法國化學(xué)家拉瓦錫的發(fā)現(xiàn)要早得 多。羅蒙諾索夫還創(chuàng)立了物理學(xué)中熱的動力學(xué)說,指出熱是 物質(zhì)本身內(nèi)部的運動,從本質(zhì)上解釋了熱的現(xiàn)象。他在談到 物質(zhì)結(jié)構(gòu)時指出,微粒是由一些元素集合而成,這已經(jīng)具有 了“原子—分子學(xué)說”的思想。由于當時俄國的科學(xué)還很落 后,西歐對于俄國的科學(xué)成就并不重視,因此,羅蒙諾索夫 的這些重要學(xué)術(shù)思想沒有得到廣泛的傳播。
羅蒙諾索夫還是一位出色的人文學(xué)者,他著有《俄羅斯古 代史》、《俄語語法》和《修辭學(xué)》等著作。他的“攻克 霍亭頌”(歌頌俄國對土耳其戰(zhàn)爭的勝利)、“伊麗莎白 女皇登基日頌”和“彼得大帝”等詩篇,被譽為俄國文學(xué) 史上古典主義的佳作。
莫斯科大學(xué)的創(chuàng)建是羅蒙諾索夫的一大歷史功績。羅蒙諾 索夫?qū)懶沤o伊凡 ? 伊凡諾維奇 ? 舒瓦洛夫公爵,他在信中表 示要在俄羅斯建立高等教育體系,并闡述了關(guān)于莫斯科大學(xué)的構(gòu)想和具體的實施方案。舒瓦洛夫利用他在宮廷中的 影響力,積極推動莫斯科大學(xué)的創(chuàng)建。1755 年 1 月,伊麗 莎白女皇批準了羅蒙諾索夫的方案。同年 5 月,莫斯科大 學(xué)舉行了盛大的開學(xué)典禮,當時設(shè)有哲學(xué)、法律和醫(yī)學(xué)三 個系。1940 年,莫斯科大學(xué)被冠名為“國立莫斯科羅蒙諾索夫大學(xué)”。如今莫斯科大學(xué)已經(jīng)是俄國規(guī)模最大、學(xué)術(shù)水平最高的高等學(xué)府,它是世界上最著名的大學(xué)之一,也是俄國諾貝爾獎獲得者的搖籃。
俄國大詩人普希金把羅蒙諾索夫比作是“俄羅斯的第一所大學(xué)”,文學(xué)評論家別林斯基更 是用詩樣的語言,贊譽羅蒙諾索夫“仿佛北極光一樣,在 北冰洋岸發(fā)出光輝......光耀奪目,異常美麗”。
舒瓦洛夫不僅推動了莫斯科大 學(xué)的創(chuàng)建,而且還積極倡議建 立圣彼得堡美術(shù)學(xué)院。這所學(xué) 院創(chuàng)辦于 1757 年,培養(yǎng)出了列賓、蘇里科夫、希施金、瓦斯涅佐夫等一大批杰出的美術(shù) 大師,后世稱舒瓦洛夫為著名 的教育家。舒瓦洛夫年輕時是一位翩翩美少年,被伊麗莎白女皇在一次巡游中發(fā)現(xiàn),女皇頓覺喜不自勝,將舒瓦洛夫收為零距離的寵臣,后來又將他 升為公爵。舒瓦洛夫還和后來的葉卡捷琳娜二世女皇有過一 段曖昧,他是個專門吃軟飯的人,連這種人都惦著為國奉獻, 俄羅斯想不發(fā)達都難了。
[伊凡 ? 舒瓦洛夫]
雖然伊麗莎白女皇熱衷于紙醉金迷的生活,但她有與生俱來 的政治天分,處理國事舉重若輕,善于化解矛盾于無形,因 而,無論是和平年代還是戰(zhàn)爭時期,她都能牢牢掌控大局。
“七年戰(zhàn)爭”(1756-1763)是歐洲列強為爭奪霸權(quán)而進行 的一場超級大戰(zhàn),交戰(zhàn)的一方為普魯士、英國等,另一方 為奧地利、法國和俄國等。普魯士國王腓特烈二世親率大軍, 馳騁疆場。在 1757 年的羅斯巴赫戰(zhàn)役和洛伊滕戰(zhàn)役中,腓 特烈二世運用機動靈活的戰(zhàn)術(shù),以少勝多,取得了輝煌的 勝利,在軍事史上留下了赫赫威名。然而,伊麗莎白女皇并不示弱,她運籌帷幄,調(diào)兵遣將,屢次挫敗普軍。由伊麗莎白女皇、奧地利女王瑪麗亞 ? 特蕾西婭、法國國王路易十五的情婦蓬帕杜夫人訂立的聯(lián)盟,被腓特烈二世稱作“三 條裙子的聯(lián)盟”,正是這個聯(lián)盟使得他在政治、軍事和外 交上以寡敵眾,在大局上逐漸轉(zhuǎn)向被動。柏林一度丟失, 腓特烈二世越來越招架不住,他感到很絕望,甚至攜帶毒 藥隨時準備自殺。
十九世紀的圣彼得堡
在“七年戰(zhàn)爭”期間,作為外交官的哥德巴赫,周旋于各國政府之間,顯示了出色的外交才華,還沒到戰(zhàn)爭結(jié)束,他 就得到了提升。1760年,哥德巴赫升任樞密院顧問,年薪 3000 盧布。樞密院是俄國最高咨詢機構(gòu),其職責(zé)是審議重 要的國務(wù),回應(yīng)沙皇的咨詢,大凡擔(dān)任樞密院顧問的人,都 是身份特殊的重量級人物。據(jù)記載,當時沙皇賞給某位重臣 的養(yǎng)老金是 5000 盧布,沙皇舉辦一次盛大的活動,花費約 為 1 萬多盧布,由此可見,年薪 3000 盧布是非常高的待遇。 哥德巴赫擔(dān)任樞密院顧問后,負責(zé)制定了俄國皇家兒童教育 準則,這個準則管理俄國兒童達一個世紀之久。
1761 年 12 月,伊麗莎白女皇病逝。臨終前,她指定她姐姐 的兒子卡爾 ? 彼得 ? 烏爾里希(1728-1762)為皇位繼承人, 稱彼得三世(1762 年在位)。彼得三世是彼得大帝的外孫, 他的父親是一位德國公爵。這位彼得從小在德國長大,在腓 特烈二世的宮廷里受到過培養(yǎng),對于普魯士的軍事制度和德 國文化狂熱崇拜,他不喜歡香噴噴的女皇、公主,就喜歡酷 酷的腓特烈二世。腓特烈二世確實是個很有特點的人,他騎 一匹個頭不大但很善奔跑的阿拉伯馬,戴一頂舊軍帽,鼻煙 盒不離身,打仗時常和士兵們一起風(fēng)餐露宿。平時,腓特烈 二世除了愛談?wù)撜軐W(xué)問題外,還喜歡吹長笛,并且寫過 120首長笛奏鳴曲,此外他還會用法文寫詩。
彼得三世 (1728-1762) 被妻子葉卡捷琳娜政變奪權(quán)
彼得三世剛一上臺,就與腓特烈二世結(jié)為同盟,他歸還了俄 國占領(lǐng)普魯士的全部領(lǐng)土,并且命令俄國軍隊調(diào)轉(zhuǎn)槍口,同 昔日的盟友奧地利作戰(zhàn)。1763 年 2 月,“七年戰(zhàn)爭”結(jié)束, 普魯士和英國成為這場戰(zhàn)爭的贏家,腓特烈二世能夠成就大 帝的偉業(yè),彼得三世是幫了大忙的。然而,彼得三世的行為 已經(jīng)極大地損害了俄羅斯的國家利益,但他的自我感覺卻十 分良好,他也想干出一些流芳千古的事情來。于是,彼得三 世采取了一些改善下層人民生活的措施,沒收了教會的一些 土地,強迫軍隊普魯士化等。但是他的所作所為引起了俄國 統(tǒng)治階層的強烈不滿,也加速了另一位歷史人物的登場。
彼得三世的皇后葉卡捷琳娜 ? 阿列克謝耶芙娜(1729-1796) 是彼得的姑姑的女兒,她是一個純粹的德國人,后來取了 一個俄國名字。1745 年,葉卡捷琳娜與當時還是大公的彼 得三世在圣彼得堡結(jié)婚。關(guān)于婚禮上的新娘葉卡捷琳娜, 有這樣的描寫:她的身材修長而妙曼,淡粉色的皮膚襯托 出一頭濃密金發(fā)的光彩,鵝蛋形的臉龐線條分明,鼻梁高挑, 兩片紅唇美艷而性感,碧藍色的眼睛流露出萬種風(fēng)情,...... 來參加婚禮的嘉賓,無不為之驚艷,令大家想不到的是, 在這樣美麗的容貌下面,還有一個睿智的大腦和一顆勃勃的雄心。
葉卡捷琳娜深知,她的未來將與俄羅斯緊密地聯(lián)系在一起, 于是,她努力學(xué)習(xí)俄語和俄國宮廷禮儀,虔誠地信仰東正教, 詳細研究俄國的歷史、文化和風(fēng)俗,并表現(xiàn)出發(fā)自內(nèi)心的尊 重。她的這些做法,贏得了俄國統(tǒng)治階層的交口稱贊,與彼 得的做法形成了鮮明的對比。由于葉卡捷琳娜同彼得的志趣 與秉性不合,導(dǎo)致了他們婚姻的不幸。
鮮艷的花朵容易招蜂惹蝶,而葉卡捷琳娜又不是一個甘于寂 寞的角色,因此她很快就有了一些心儀的情人,多為近衛(wèi)軍 中英俊健美的軍官,其中與格里戈利 ? 奧爾洛夫最為親密, 他在后來的政變中是出了大力的。此外,葉卡捷琳娜還廣交 政治盟友,積極發(fā)展自己的勢力,她做足了功課,只等待一 個好機會。
彼得三世上臺后所推行的一系 列政策,遭到了俄國統(tǒng)治集團 的強烈反對,這給了葉卡捷琳娜一個絕好的機會。1762 年 7 月的一天,趁著彼得三世去外 地的時機,葉卡捷琳娜帶領(lǐng)一支部隊政變,其他部隊紛紛倒戈,在一片“我們的小母親葉 卡捷琳娜”、“女皇萬歲”的歡呼聲中,她被推上沙皇的寶座, 稱葉卡捷琳娜二世(1762-1796 在位)。宮廷顯貴、教會人 士和各國公使,爭先恐后地迎接新女皇。下臺后的彼得三世, 很快就神秘地死去了。
葉卡捷琳娜二世
葉卡捷琳娜二世上臺之后,一方面加強中央集權(quán),維護和發(fā) 展農(nóng)奴制度;另一方面,她奉行開明專制,理順各種關(guān)系, 充分調(diào)動各方面的積極性,大力促進生產(chǎn)力的發(fā)展。在她當 政的 34 年間,俄國手工工場大規(guī)模增加,生鐵產(chǎn)量居世界 首位,進出口貿(mào)易大幅度增長,并有巨額貿(mào)易順差。俄國的 經(jīng)濟實力和軍事實力空前強大,帝國進入鼎盛時期。
大多數(shù)帝王都想治理好國家,即使是彼得三世,他也是想有 所作為的,但能否治理好國家,要取決于政治智慧和能力。 與伊麗莎白女皇不同,葉卡捷琳娜二世出身于德國的一個小 公爵家庭,她的政治才能很難從血統(tǒng)和家傳上找到原因。早 年的葉卡捷琳娜,熱衷于閱讀法國啟蒙運動思想家伏爾泰等 人的著作,登基以后,她與伏爾泰有頻繁的書信往來,并將啟蒙運動的思想運用到政治實踐中去。葉卡捷琳娜后來的一 些情人中,也有像格里戈利 ? 波將金元帥這樣的政治家、軍 事家和外交家,無論臥榻之上,還是云雨之間,無時不在探 討治國安邦的大計。有道是熱愛是最好的老師,無論對于科 學(xué)還是政治,都是同樣的道理。
在葉卡捷琳娜時代,俄羅斯的版圖大大擴張。俄國通過兩次 對土耳其的戰(zhàn)爭,將曾經(jīng)不可一世的奧斯曼帝國打得沒了元 氣,實現(xiàn)了彼得大帝打通黑海出口的夢想。俄國還伙同普魯 士、奧地利三次瓜分波蘭,并侵占了立陶宛、白俄羅斯和西 烏克蘭的大部分領(lǐng)土。在亞洲方面,俄國蠶食高加索,侵入 哈薩克草原,并完全占領(lǐng)了西伯利亞北部,獲得了豐富的森 林和礦產(chǎn)資源。此外,俄國還占領(lǐng)了北美的阿拉斯加地區(qū), 并在加利福尼亞建立了一塊殖民地。葉卡捷琳娜二世曾有這 樣的豪言:“假如我能夠活到二百歲,全歐洲都將匍匐在我 的腳下!”
葉卡捷琳娜二世對于俄國做出了巨大的貢獻,得到了俄國人 的一致稱贊,后世尊稱她為葉卡捷琳娜大帝。在俄國歷史上,只有她和彼得一世有此殊 榮。即使是反對沙皇專制的普 希金,對于葉卡捷琳娜大帝還 是滿懷敬仰之情的。他在長詩 “皇村記憶”中,稱葉卡捷琳 娜時代是“我們的黃金時代”, 他說“想當時,在偉大女皇的 權(quán)杖下,快樂的俄羅斯曾戴著榮譽的冠冕,像在寂靜中盛開的花!”
哥德巴赫一直活到了輝煌的葉卡捷琳娜時代,可惜年事已高,無法有更大的作為。1764 年 11 月 20 日,哥德巴赫逝世于莫斯科,享年 74 歲,在那個時代算是高壽了。哥德巴 赫安息在俄羅斯的青山綠水之間,與白樺林為伴,沐浴著女 皇粉色的月光。
在葉卡捷琳娜一世之前,俄國沒有女皇,而在葉卡捷琳娜二世之后,俄國再沒出現(xiàn)過女皇,哥德巴赫恰好經(jīng)歷了俄國歷史上全部四位女皇的朝代。也許哥德巴赫猜想折射了女皇們的光彩, 所以才顯得如此美艷動人,引得一代代數(shù)學(xué)家心馳神迷。
皇冠上的明珠
關(guān)于哥德巴赫的生平,文獻中記載很少,即使是數(shù)學(xué)史專家, 也未必十分了解。莫里斯 ? 克萊因(Morris Kline)在他的名著《古今數(shù)學(xué)思想》第二冊第367頁上,稱哥德巴赫是“普魯士派往俄羅斯的一位公使”,這顯然是不對的。哥德巴赫 與歐拉的通信,有不少被保留下來,但信中的文字多是德文與拉丁文的混合體,讀起來相當困難。其中關(guān)于哥德巴赫猜 想的通信,早就被翻譯整理出來,但后來的數(shù)學(xué)家談到哥德巴赫猜想時,一般都采用標準的現(xiàn)代版本,很少引用原信。
然而,正如我們已經(jīng)看到的那樣,哥德巴赫在當時的社會中, 是和各方面都有廣泛聯(lián)系的人物,關(guān)于他的研究會是一件有趣和有意義的事情。哥德巴赫的人生歷程,對于后來者也有 一定的借鑒意義。
我們已經(jīng)講了哥德巴赫和他那個時代的一些事情,關(guān)于哥德巴赫猜想后來的發(fā)展,我們再來做一點簡單的介紹。
這是 I. M. Vinogradov 早年創(chuàng)作的兩張漫畫,講述自己對 Goldbach 問題研究過程的體會。漫畫在所有當事人(Hardy, Littlewood, I. M. Vinogradov) 都去世之后,才由 I. M. Vinogradov 的學(xué)生 A. A. Karatsuba 在紀念 I. M. Vinogradov 的文集里發(fā)表。文集刊于俄文期刊 Proc. Steklov Inst. Math., 有英譯。 該漫畫原作,現(xiàn)存 I. M. Vinogradov 的另一個學(xué)生 V. N. Chubarikov 處。V. N. Chubarikov 曾把該漫畫復(fù)制贈送劉建亞,復(fù)制件現(xiàn)存山東大學(xué)數(shù) 學(xué)學(xué)院圖書館。
雖然數(shù)論的歷史非常悠久,但它成為數(shù)學(xué)的一個獨立分支卻是比較晚的事情。高斯于 1801 年發(fā)表的著作《算術(shù)研究》, 被認為是數(shù)論作為一門獨立學(xué)科誕生的標志,這里的“算術(shù)”是指“高等算術(shù)”或“數(shù)論”。高斯對于數(shù)論特別鐘愛,徐 遲在報告文學(xué)“哥德巴赫猜想”中,有過“自然科學(xué)的皇后 是數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)的皇冠是數(shù)論。哥德巴赫猜想,則是皇冠上的 明珠?！边@樣的描述,其中采用了高斯的一些說法。關(guān)于不超過x的素數(shù)個數(shù)π(x),高斯做過這樣的猜測:當 x → ∞ 時,有
這里 ln x 為自然對數(shù)。如果這個猜測成立,則它就叫做素數(shù) 定理。
1850 年,圣彼得堡科學(xué)院的切比雪夫(P. L. Chebyshev)證 明了,
其中 c1 , c2 是正的常數(shù)。這是在歐幾里得證明了素數(shù)個數(shù)無限之后 , 人們關(guān)于 π ( x ) 第一個重要的理論結(jié)果 。 切比雪夫在證明中用到的工具是微積分。
歷史名城莫斯科;1764 年哥德巴赫在此去世。
革命性的變化發(fā)生在 1859 年。當時,德國數(shù)學(xué)家黎曼(G. F.B. Riemann)發(fā)表了題為“論不超過一個給定值的素數(shù)個數(shù)”的論文,其中他用復(fù)變函數(shù)的理論來研究π(x)。黎曼的出發(fā)點,仍是歐拉乘積公式
此時的 s 可以是任意實部大于 1 的復(fù)數(shù)。黎曼將等式左邊的級數(shù)看成是變量 s 的函數(shù),稱為 zeta 函數(shù)。他將 zeta 函數(shù)解析開拓到整個復(fù)數(shù)平面( s = 1 是唯一的極點 ) , 在 π ( x )和 zeta 函數(shù)的零點之間建立起了一個關(guān)系式。黎曼的研究 表明,素數(shù)定理與 zeta 函數(shù)的零點分布有著密切的關(guān)系。 想想關(guān)于正整數(shù)的問題,要用虛數(shù)來研究,這是多么令人驚 奇的事情。在數(shù)學(xué)中,有時將局部性的問題提升到更廣闊的 空間里考慮,常常會收到意想不到的效果,正所謂“欲窮千 里目,更上一層樓”。
雖然黎曼沒有給出關(guān)于π (x) 的具體 結(jié)果,但他為素數(shù)定理的研究指明了方向。正是沿著這個方向,1896 年,法國數(shù)學(xué)家阿達馬(J. S. Hadamard)和比利時數(shù)學(xué)家普桑(Charles Jean de la Vallée Poussin)獨立地證明了素數(shù)定理。至此, 人們對于單個素數(shù)的變化,已經(jīng)有了比較深刻的認識。
1900 年,第二屆國際數(shù)學(xué)家大會在巴黎舉行,大數(shù)學(xué)家希 爾伯特(David Hilbert)作了題為“數(shù)學(xué)問題”的講演。在 這篇著名講演中,他為新世紀的數(shù)學(xué)家提出了 23 個問題, 這些問題對于后來的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。希爾伯特 以有機統(tǒng)一的觀點,來看待數(shù)學(xué)的整體發(fā)展,他將哥德巴赫 猜想作為第 8 問題(即“素數(shù)問題”)的一部分,從此哥德巴赫猜想不再是孤立的數(shù)學(xué)難題,而成了近代數(shù)學(xué)重要的一環(huán)。后來的發(fā)展證明 ,希爾伯特的眼光是非常正確的。
從 1920 年開始,英國數(shù)學(xué)家哈代(G. H. Hardy)和李特爾 伍德(J. E. Littlewood)發(fā)表系列文章(共 7 篇),開創(chuàng)與 發(fā)展了一種嶄新的數(shù)論方法,這種方法稱為圓法。對于奇數(shù) N,我們用圓法可將方程 N=p1+p2+p3, pi≥3 的解的個數(shù)表示成積分
如果能夠證明這個積分大于零,那么我們就證明了關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想。在這個積分里,和式
稱為素變量的線性指數(shù)和,關(guān)于它的研究是一件困難的事情。
對素數(shù)理論和哥德巴赫猜想作出重要貢獻的數(shù)學(xué)家 ,依次為高斯 , 黎曼 , 阿達馬 , 普桑
哈代和李特爾伍德在一個很強的假設(shè)下證明了:對于每個 充分大的奇數(shù) N,上述積分大于零,因而哥德巴赫猜想成立。 因為其中的假設(shè)至今仍無法證明,所以他們得到的只是一 個條件性結(jié)果。雖然如此,他們?yōu)槠鏀?shù)哥德巴赫猜想的研 究開辟了一條正確的道路,而圓法也成了數(shù)論中最基本的 方法之一。
1937 年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫(I. M. Vinogradov)提出了一套處理素變量線性指數(shù)和的獨創(chuàng)性方法,從而無條件地證明了:對于每個充分大的奇數(shù),哥德巴赫猜想成立。維 諾格拉朵夫的結(jié)果稱為三素數(shù)定理,它是數(shù)學(xué)上最重要的成就之一。
由三素數(shù)定理可知,對于大于某個界限的所有奇數(shù),哥德巴 赫猜想成立,而在這個界限之內(nèi)只有有限個奇數(shù),我們逐個來驗證就可以了。然而這個界限大得驚人,以目前計算機的 能力還無法完成驗證工作,但在數(shù)學(xué)家們看來,奇數(shù)哥德巴赫猜想算是基本上解決了。
對素數(shù)理論和哥德巴赫猜想作出重要貢獻的數(shù)學(xué)家 ,依次為哈代 , 李特爾伍德 , 維諾格 拉朵夫 , 布朗。
由于技術(shù)上的原因,圓法不適用于偶數(shù)哥德巴赫猜想,人們 只能另覓途徑。1920 年,挪威數(shù)學(xué)家布朗(V. Brun)對篩 法作了重大改進,用它來研究偶數(shù)哥德巴赫猜想。篩法是一 種用來尋找素數(shù)的十分古老的方法,它是由公元前 200 多年 古希臘學(xué)者埃拉托塞尼斯(Eratosthenes)所創(chuàng),我們今天 在制作素數(shù)表時還會用到這種方法。
由于篩法的一些局限性,用它很難一步達到偶數(shù)哥德巴赫猜 想,因此只能采取逐步逼近的方式。布朗用改進后的新篩法 證明了,每個充分大的偶數(shù)都可以表為兩個正整數(shù)之和,其 中每個正整數(shù)的素因子個數(shù)均不超過 9,這個結(jié)果稱為命題 (9+9)。類似地,命題(a+b)是指,每個充分大的偶數(shù) 都可以表為兩個正整數(shù)之和,其中一個的素因子個數(shù)不超過 a,而另一個的素因子個數(shù)不超過 b。通過不斷地減小 a 和 b,最終達到(1+1),就基本上解決偶數(shù)哥德巴赫猜想了。布 朗之后的不少學(xué)者,正是沿著這樣的路子,不斷發(fā)展篩法技 術(shù),逐步減小命題中的素因子個數(shù)。而篩法的進步,也為深 入研究其它重要數(shù)論問題提供了有力的工具。
1956 年,中國數(shù)學(xué)家王元證明了命題(3+4),由此開啟了 我國在偶數(shù)哥德巴赫猜想命題(a+b)研究上的先河。之后, 王元和另一位中國數(shù)學(xué)家潘承洞又得到了若干重要的結(jié)果, 使得我國在哥德巴赫猜想方面的研究達到了國際先進水平。
1965 年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫(A. I. Vinogradov,不是 前面提到過的 I. M. Vinogradov)和意大利數(shù)學(xué)家邦別里(E. Bombieri)各自獨立地證明了命題(1+3)。1974 年,邦別 里被授予菲爾茲(Fields)獎,表彰他在數(shù)論方面 [包括證 明命題(1+3)] 以及在極小曲面和有限群論方面的工作。
1966 年,陳景潤宣布證明了命題(1+2)。1973 年,他發(fā)表了命題(1+2)的全部證明。陳景潤的工作得到了國際數(shù) 學(xué)界廣泛的贊譽,被公認為是篩法理論最出色的應(yīng)用,是 關(guān)于偶數(shù)哥德巴赫猜想研究最杰出的成果。陳景潤的事跡 由徐遲寫成報告文學(xué)后,廣泛傳播,家喻戶曉,這是大家 所熟知的了。
陳景潤先生 1996 年 3 月在北京逝世,潘承洞先生 1997 年 12 月在山東濟南逝世。
王元先生剛剛度過 80 壽辰,仍然參加一些學(xué)術(shù)活動,并常 作講演。他擅長書法,為《數(shù)學(xué)文化》創(chuàng)刊號題寫了賀詞。
關(guān)于哥德巴赫猜想的通俗介紹和中國數(shù)學(xué)家數(shù)論工作的簡 明回顧,大家可以看文章 [4] 和 [5]。
參考資料
[1] E. T. Bell, 數(shù)學(xué)精英, 商務(wù)印書館, 1994.
[2] 蔡天新, 難以企及的人物, 廣西師范大學(xué)出版社,2009.
[3] 陳一心, 哥德巴赫, 世界著名科學(xué)家傳記 ( 數(shù)學(xué)家,V), 40-44, 科學(xué)出版社, 1994.
[4] 賈朝華, 哥德巴赫猜想, 10000 個科學(xué)難題 ( 數(shù)學(xué)卷 ), 101-103, 科學(xué)出版社, 2009.
[5] 宗傳明, Analytic number theory in China, TheMathematical Intelligencer, 32(2010), no.1, 18-25.
作者介紹:
賈朝華,北京大學(xué)數(shù)學(xué)博士,中國科學(xué)院 數(shù)學(xué)研究所研究員。 研究領(lǐng)域為解析數(shù)論, 主要研究素數(shù)理論中 的一些課題。
