===============第四節(jié)===============

【域、域擴(kuò)張、域的對稱性、自同構(gòu)群】

所謂『域』，就是一個對加、減、乘、除都封閉的集合。換句話說，對于域中的數(shù)字，無論你怎么用加減乘除（當(dāng)然，零不能做除數(shù)）去蹂躪它們，它們依然還是在這個域里。

比如，全體有理數(shù)構(gòu)成有理數(shù)域

如果只能使用加、減、乘、除，那么我們無法給出（有理數(shù)系數(shù)，以下省略）二次方程的求根公式。為什么呢？從『域』的角度看，我們就可以給出答案了：因為二次方程的解卻可能不在有理數(shù)域里（比如

這樣看來，『域』就如同如來佛的手掌心——如果加減乘除是你全部的招數(shù)，那你永遠(yuǎn)無法離開這個『域』。

而這個時候，『開方』就是一個格外強(qiáng)大的技能：它能讓我們離開原來的域，進(jìn)行『域擴(kuò)張』。

比如，在有理數(shù)域里對

所以，要想給出一個五次方程的解，我們希望能通過『開方』不斷地擴(kuò)張我們的域，直到我們的域中包含該方程的解。然而伽羅瓦告訴我們，這往往是做不到的。

還記得之前我們說的多項式的根的對稱性嗎？我們之前考察了

我們現(xiàn)在來單獨考察它的一個因子

如前文所說，

重點來了：如果我們把這兩個根放在它們所在的域

舉個例子：我們知道

也許這有些難以置信，但事實就是如此。你可以自己嘗試更多的例子=w=

套用之前的比方，如果我現(xiàn)在造出一個機(jī)器，它有無窮多個按鈕，對應(yīng)了域

所以，如之前一樣，這個『交換標(biāo)簽』的操作是域

其實，我們在中學(xué)數(shù)學(xué)里早已接觸過域的自同構(gòu)了。

不知大家是否還記得，我們在解二次方程時，復(fù)數(shù)解一定是成對出現(xiàn)的——如果其中的一個解是復(fù)數(shù)，那么另一個解也是復(fù)數(shù)，并且這兩個解一定共軛。

比如，

這是為什么呢？因為全體復(fù)數(shù)構(gòu)成復(fù)數(shù)域

我們把思路理一下。如果我們已經(jīng)知道『同時交換一切

所以，二次多項式的復(fù)根一定是成對出現(xiàn)的。（實際上，我們完全不用局限于二次——任何次數(shù)的多項式的復(fù)根都是成對出現(xiàn)的，理由正是『交換共軛對』是復(fù)數(shù)域的自同構(gòu)。）

接下來的一句話很重要！

『自同構(gòu)』就是一個域的『對稱操作』。

（其實我之前講了這么多，就是為了說出這句話。不妨停下來想一想，確定自己理解這句話之后再繼續(xù)往下讀。）

所以，一個域的所有自同構(gòu)構(gòu)成了一個群——我們稱之為『自同構(gòu)群』。

那么域

『同時交換一切

（其實這就相當(dāng)于是在置換

為了避免大家迷失在眾多的數(shù)學(xué)概念中，我們來簡短地回顧一下：

我們的目的是尋找五次方程的根式解。由于五次方程的解往往不在有理數(shù)域中，所以我們只能寄希望于通過『開方』不斷地擴(kuò)張數(shù)域，直到數(shù)域包含五次方程的解。同時，方程的解具有對稱性，并可以轉(zhuǎn)化為所在的域的對稱性，可以用『自同構(gòu)群』來描述。

如果我們能說明『五次方程的解所在的域』具有的對稱性與『可以通過開方擴(kuò)張的數(shù)域』具有不同的對稱性，那么就意味著『五次方程的解所在的域』不是『可以通過開方擴(kuò)張的數(shù)域』，也就意味著五次方程沒有求根公式。

所以，為了說明這一點，我們不僅需要研究『域』的對稱性，還需要研究『域擴(kuò)張』的對稱性。域的對稱性可以用『自同構(gòu)群』來描述，而域擴(kuò)張的對稱性則可以用『伽羅瓦群』來描述。

有了之前這么多的鋪墊，『伽羅瓦群』就不難理解了——它只是『自同構(gòu)群』的『子群』罷了。

===============第五節(jié)===============

【子群、域擴(kuò)張的對稱性、伽羅瓦群】

『子群』的概念與『子集』類似，很簡單。H是G的子群就意味著G包含了H中的所有對稱操作。也就是說，H是G的『一部分』——當(dāng)然，H也得是一個群。

舉個例子，回到最開始的正方形。如果不允許翻折，那么正方形具有四種對稱操作，它們構(gòu)成的群記作

現(xiàn)在我們考慮從有理數(shù)域

我們已經(jīng)知道域

我們現(xiàn)在規(guī)定，這個域擴(kuò)張的對稱操作是：

的自同構(gòu)群中保持

不變的對稱操作

域擴(kuò)張的對稱操作構(gòu)成的群被稱為『伽羅瓦群』。按照這個定義，『伽羅瓦群』自然是『自同構(gòu)群』的子群。

更一般地來說，如果我們把域F擴(kuò)張成域E，那么這個域擴(kuò)張的對稱操作就是E的自同構(gòu)群中保持F不變的對稱操作，它們構(gòu)成了這個擴(kuò)張的『伽羅瓦群』，記作

本例中，伽羅瓦群記作

那么這個伽羅瓦群到底包含了什么對稱操作呢？

首先，『恒等操作』保持了

接著我們發(fā)現(xiàn)，『同時交換一切

所以，在這個例子里，『伽羅瓦群』不僅是『自同構(gòu)群』的子群，而且它們完全一樣！所以

（為什么我們要這么定義域擴(kuò)張的對稱操作呢？因為在這個例子中，要想完成有理數(shù)域

到域

的域擴(kuò)張，我們既可以在

中加入

，也可以在

中加入

，兩者效果一樣。

那有什么『伽羅瓦群』不是『自同構(gòu)群』的例子嗎？有的。

還記得我們之前討論的多項式

當(dāng)然，這個擴(kuò)張可以分兩步進(jìn)行：先把

擴(kuò)張成

，再把

擴(kuò)張成

.

我們現(xiàn)在考慮后一個擴(kuò)張，即把

為了知道這個擴(kuò)張的伽羅瓦群是什么，我們需要先知道

在分析多項式

所以域

那么這四個對稱操作中哪些保持了域

其實這很好理解：在域

所以，盡管

===============第六節(jié)===============

【伽羅瓦對應(yīng)（群與域的聯(lián)系）】

為了對伽羅瓦群有更加形象的認(rèn)識，我們可以畫一個這樣的圖：

我們用一個圓來表示有理數(shù)域

比如，從E到K的域擴(kuò)張的對稱操作就可以看成是『保持E不變（所以F也不變），轉(zhuǎn)動圖中K的最外面一層』。

再比如，從F到K的域擴(kuò)張的對稱操作就可以看成是『保持F不變，轉(zhuǎn)動圖中K的外面兩層』。

這樣一來，我們可以很自然地看出

一個小問題：從K到K的域擴(kuò)張對應(yīng)的伽羅瓦群是什么？再往下看之前不妨先自己想一想=w=

換句話說，這是一個假擴(kuò)張，域并沒有變大。于是我們就要問自己：K的對稱操作中保持K不變的有哪些？

那就只有『恒等操作』啦——那個假對稱操作。

所以，這個假擴(kuò)張對應(yīng)的伽羅瓦群

為了接下來方便敘述，在這里提一句：如果E是F的擴(kuò)域，那么我們就說F是E的『子域』。

好的，現(xiàn)在我們可以來看一看伽羅瓦理論的核心思想了?？聪聢D：

左邊一列是域，右邊一列是群，它們有一一對應(yīng)關(guān)系。箭頭的起點是子群或子域，指向更大的群或域。

這個對應(yīng)關(guān)系我們稱之為『伽羅瓦對應(yīng)』。到底是怎樣對應(yīng)的呢？

對于一個域來說，它對應(yīng)了『使它保持不變的對稱操作』構(gòu)成的群。

對于一個群來說，它對應(yīng)了『在群中對稱操作下保持不變的』的域。

而且上述這兩個『轉(zhuǎn)換』是互逆的：一個域?qū)?yīng)的群對應(yīng)的域就是這個域本身；一個群對應(yīng)的域?qū)?yīng)的群也是這個群本身。

箭頭相反（即包含關(guān)系相反）的原因也很好理解：群越大，包含的對稱操作就越多，那么能夠保持不變的域就越??；域越大，要讓其保持不變就越『難』，那么滿足要求的對稱操作的集合就越小。

其實這個圖我并沒有畫完整，因為我們還有一種擴(kuò)張方法：先把

伽羅瓦理論的核心思想就是伽羅瓦對應(yīng)——把域與群聯(lián)系起來，讓我們得以在域與群這兩種語言中自由切換。伽羅瓦理論的力量無比強(qiáng)大，能幫我們解決很多問題，包括五次方程求根公式的存在性問題——但是先不談這些『用處』，這個對應(yīng)本身已經(jīng)足夠美麗。

由于作為例子，所以這個圖還是比較簡單的。放上一張稍微復(fù)雜一些的圖：

在繼續(xù)往下看之前，先對著這張圖發(fā)一會兒呆吧=w=

===============第七節(jié)===============

【對稱性缺失的原因與應(yīng)對措施、伽羅瓦擴(kuò)張（正規(guī)擴(kuò)張、可分?jǐn)U張）、根式擴(kuò)張對應(yīng)的群的性質(zhì)——滿足交換律】

接下來我有一個壞消息和一個好消息。

先說壞消息：并不是所有時候伽羅瓦對應(yīng)的性質(zhì)都這么好。有時候域和群不是一一對應(yīng)的，或者說，『從域到群』和『從群到域』這兩個轉(zhuǎn)換不是互逆的。

比如有的時候，域擴(kuò)張的對稱操作只有『恒等操作』，哪怕這并不是一個假擴(kuò)張。也就是說，有時域擴(kuò)張并不具有我們所期待的對稱性。

套用圓形門把手的比方來說就是，這個門把手?jǐn)Q不動——外面一層無法旋轉(zhuǎn)。

在解釋壞消息之前，我先把好消息也說了吧：

門把手?jǐn)Q不動的時候，我們總可以加一點潤滑油讓它能夠正常旋轉(zhuǎn)——啊，我是說，當(dāng)域擴(kuò)張的『缺少』我們期待的對稱性時，我們總可以在域里加一些東西，讓它獲得本應(yīng)具有的對稱性。

我先給一個缺少對稱性的例子：如果我們在

與之前一樣，為了知道這個域擴(kuò)張的伽羅瓦群

，我們需要先找到

的自同構(gòu)（即對稱操作）。

別忘了，域的對稱操作會保持所有的等式不變。我們現(xiàn)在寫一個等式：

如果我們保持

不變（事實上，自同構(gòu)一定會保持

不變），那么對稱操作只可能把

換成其他的數(shù)。為了讓這個等式依然成立，換上的數(shù)必須得是方程

 的解。由于這是自同構(gòu)，所以換上的數(shù)必須在

中。

（換句話說，對于同一個多項式，自同構(gòu)的效果是根的置換——就像之前換紙杯一樣，如果一個紙杯被移走了，原有位置必須得換上某一個紙杯，而移走的紙杯必須被移到某個紙杯之前所在的位置。）

問題來了，所有

也就是說，

里所有的數(shù)都動不了！于是，

的自同構(gòu)群以及這個域擴(kuò)張的伽羅瓦群都只包含『恒等操作』，并沒有什么『真正』的對稱操作。

也就是說，門把手轉(zhuǎn)不動：

出現(xiàn)這種情況怎么辦呢？答案也很顯然：把另外兩個根也加進(jìn)這個域里！

實際上，在這個域里加入另外兩個根就等于加入了

像這樣擁有性質(zhì)非常好的伽羅瓦對應(yīng)的域擴(kuò)張我們稱之為『伽羅瓦擴(kuò)張』。

（伽羅瓦擴(kuò)張是既正規(guī)又可分的域擴(kuò)張。正規(guī)擴(kuò)張保證了多項式的每個根都被加進(jìn)了域中，于是我們就有足夠多的自同構(gòu)把每個根送到它所有可能去到的位置；可分?jǐn)U張保證了（不可約）多項式?jīng)]有重根，就不會出現(xiàn)『兩個根在同一個位置』而使得根可以去到的位置減少的情況。）

（域的特征為零時——有理數(shù)域就是這種情況——域擴(kuò)張一定是可分的，所以伽羅瓦擴(kuò)張等價于正規(guī)擴(kuò)張。）

上述例子非常具有代表性：從

有了單位根的幫忙，『根式擴(kuò)張得到的域』與『群』之間就有非常好的一一對應(yīng)關(guān)系。于是我們可以放心地用后者來研究前者的對稱性了！

接下來我不加證明地給出一個結(jié)論：

『通過開n次方根進(jìn)行的域擴(kuò)張』和『通過加入單位根進(jìn)行的域擴(kuò)張』所對應(yīng)的群都滿足交換律——別忘了，一般的群只滿足結(jié)合律，所以這兩種群相當(dāng)特殊。

（實際上它們都是有限循環(huán)群。這個結(jié)論其實很容易證明，但需要使用抽象代數(shù)的工具，故在此略去。）

于是，如果五次方程有求根公式，那么其方程的解所在的某個域（記作K）一定可以通過有理數(shù)域

的『根式擴(kuò)張』得到，那么我們一定可以把從

到K的域擴(kuò)張分為若干（有限）步，使得每一步擴(kuò)張的伽羅瓦群都是滿足交換律的。

如果K滿足上述要求，那么我們就把從

套用圓形門把手的比方來說就是，我們可以把只有一層的門把手分成若干（有限）層，每一層都可以轉(zhuǎn)動，并且對應(yīng)的伽羅瓦群都是滿足交換律的。如下圖：

所以，為了解決五次方程的問題，我們還需要知道最后一件事：如何把門把手分層——如何把域擴(kuò)張（在不破壞伽羅瓦對應(yīng)的情況下）分為若干步。

這，是最能體現(xiàn)伽羅瓦非同尋常的洞察力的地方。

===============第八節(jié)===============

【如何把域擴(kuò)張分為若干步、正規(guī)子群、商群】

為了方便說明，我仍然使用門把手的圖，但采用最開始的『換標(biāo)簽』的比方。

我們要想把域擴(kuò)張分為若干步，只能『順其自然』。什么意思呢？就是說，在哪里分割不是我們決定的，我們只是把原本就存在的分割線畫出來。如下圖所示：

只有原本就是分開的，我們才能把它分開。要不然即使畫了分割線，標(biāo)簽還是會跑出來的。如下圖所示：

那問題來了，我們?nèi)绾沃涝臼遣皇欠珠_的呢？

換句話說，我們?nèi)绾沃溃瑢τ诿恳环N換標(biāo)簽的操作，虛線圓內(nèi)的標(biāo)簽沒有跑出來，外面的標(biāo)簽也沒有跑進(jìn)去呢？

我們來思考一個更加生活化的問題：

節(jié)日到了，每位同學(xué)都準(zhǔn)備一個禮物，學(xué)校規(guī)定了A、B、C、D四種『全校范圍內(nèi)交換禮物』的方式。我們不知道也不關(guān)心這四種方式具體是什么，但我們想知道甲班的禮物是否會被這四種方式換到其他班級的同學(xué)手中。在可以對全校同學(xué)發(fā)號施令的情況下，我們可以怎么做呢？

方法如下：

我們先讓全校同學(xué)按照A方式交換禮物，接著讓『除甲班以外的所有同學(xué)』按照某種他們?nèi)我膺x擇的方式交換禮物，然后再讓全校同學(xué)把A方式反過來做。

如果甲班同學(xué)的禮物沒有被A方式換到班級外的話，那么這樣做下來，甲班同學(xué)應(yīng)該拿到的是自己原先準(zhǔn)備的禮物——因為第二步對甲班沒有影響。

如果A方式把甲班中的小明同學(xué)的禮物換到了班級外，那么小明的禮物將會在第二步中再次被轉(zhuǎn)手，所以第三步把A反過來做以后，小明拿到的一定不是自己的禮物。

（請仔細(xì)思考上面三段話，確認(rèn)自己明白再繼續(xù)往下讀。）

按照這種方法，我們可以依次判斷這四種方式是否會把甲班的禮物換到其他班級。問題解決！

回到之前『換標(biāo)簽』的比方，如下圖：

圖中虛線圍成的圓也代表一個域，記為O.

為了判斷虛分割線是否原本就存在，我們先對外邊兩層同時做『換標(biāo)簽』的操作（這個操作在從F到K的域擴(kuò)張的伽羅瓦群

如果這三個操作的復(fù)合操作保持了圓O內(nèi)的標(biāo)簽不變（也就意味著這個復(fù)合操作在

注意，第一個操作和第二個操作

里『任選』的操作——這意味著我們實際上要確保

和

里的每一個操作都能夠通過上述檢測！

如果確實如此，那么我們就說

而按照虛分割線分開之后，我們就得到了一個新的伽羅瓦群

所有準(zhǔn)備工作都已完畢，現(xiàn)在是時候給出最后一擊了！

===============第九節(jié)===============

【正規(guī)子群鏈、可解群】

回顧一下之前所說的：

如果五次方程有求根公式，那么其方程的解所在的某個域（記作K）一定可以通過有理數(shù)域

現(xiàn)在，我們可以把這段話改為：

如果五次方程有求根公式，那么我們一定可以找到一條『正規(guī)子群鏈』：

其中

滿足上述條件的

那么從

根據(jù)代數(shù)基本定理，我們知道五次方程有五個根。一般說來，我們可以任意交換它們——還記得『五個紙杯』的例子嗎——所以從

而

（每一個置換都可以拆成若干個『兩兩交換』的復(fù)合，其中能被拆成偶數(shù)個『兩兩交換』的復(fù)合的置換就被稱為『偶置換』。奇置換同理。顯然偶置換與偶置換的復(fù)合仍是偶置換——因為偶數(shù)與偶數(shù)的和仍然是偶數(shù)——恒等操作是偶置換，并且偶置換的逆置換也是偶置換，所以一個置換群中的所有偶置換構(gòu)成群。

所以五次方程沒有『加減乘除』和『開方』的求根公式。

Q. E. D.

===============關(guān)于伽羅瓦===============

不算構(gòu)思的時間（更不談學(xué)習(xí)這些知識的時間），這篇寫作時間大概是五十個小時。我知道，可能這篇看完之后很可能也收獲甚微，但我還是想把自己的一些思考與理解寫出來，萬一對誰有一點點幫助呢？

愿意花這么多時間寫這篇文章，也是出于我對伽羅瓦的尊敬、崇拜和感激。在我曾經(jīng)無比痛苦和絕望的時候，伽羅瓦和他的理論給了我繼續(xù)前行的動力。

伽羅瓦命途多舛：父親被人害死、考巴黎理工大學(xué)兩度失敗、提交的論文兩度石沉大海、被巴黎高師開除、兩度入獄、自殺未遂，最終在二十歲時離開了人世，死于決斗——為了自己的心上人。

他在遺書中對革命黨人與友人說：『我最終未能為自己的國家死去，希望愛國人士與我的朋友們不要為此責(zé)怪我……我將成為一樁風(fēng)流韻事的受害者。??！我為什么要死于這種瑣碎而可憐的事呢……』

在決斗的前一晚，伽羅瓦匆匆寫下了自己腦海中的數(shù)學(xué)思想，并且不斷寫著『我沒有時間了』。

他把這些手稿夾在交給朋友Chevalier的信中，并在信的末尾囑咐Chevalier：『請把我的手稿交給高斯和雅各比，聽一聽他們對這些理論的重要性（而非正確性）作何評價。我希望，未來的某一天，我這些雜亂的手稿會對世人有所幫助。』

后人為了紀(jì)念伽羅瓦，將他開創(chuàng)的數(shù)學(xué)理論以他的名字命名。如今，伽羅瓦理論早已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)不可分割的一部分。伽羅瓦短暫的一生，猶如漆黑夜空中一顆耀眼的流星，照亮了數(shù)學(xué)家們前進(jìn)的道路，也為世界帶來了一份無與倫比的美麗。

===============其他===============

擴(kuò)展閱讀及參考資料：

Ian Stewart. Galois Theory

Nathan Carter. Visual Group Theory

Edward Frenkel. Love and Math

Thomas Hungerford. Algebra

Tom Leinster. Basic Category Theory

Galois Talk: https://www.youtube.com/playlist?list=PLch_Jbr0Xa3PPwpq62EknkzPBkKW_Y4PB

Introduction to Galois Theory: https://www.youtube.com/playlist?list=PLoESu5yQTk1htS_Cyhy3sFWrmY22CfTrT

以及Friedman教授的抽代課筆記