正弦定理和余弦定理是我們在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的一組非常重要的定理，它們揭示了三角形的邊角關(guān)系，將兩者搭配使用能解決很多（斜）三角形問題。
你或許曾疑惑為什么要學(xué)習(xí)這兩個(gè)定理，難道僅僅是為了解題嗎？不！實(shí)際上，這兩個(gè)定理有著非常美妙的應(yīng)用，非?？上У氖?，我們刷了很多題，卻忽視了其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美。
今天，小編就和大家來聊一聊為什么我們要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理。
1、正弦定理和余弦定理
首先，我們來回顧一下什么是正弦定理和余弦定理：
正弦定理在中，若角ABC所對邊的邊長分別為abc，則有
余弦定理在中，若角所對邊的邊長分別為，則有
利用正、余弦定理，我們可以解決大量的實(shí)際問題.
2、正、余弦定理與神秘的流星
流星是一種天文現(xiàn)象，這幾乎是每個(gè)現(xiàn)代人都熟知的事實(shí)，但是當(dāng)我們穿越歷史的迷霧，就會發(fā)現(xiàn)人類對于流星的認(rèn)知并非是從一開始就清晰明了的。
人們曾一度猜測，天空中劃過的流星是一種地球的蒸發(fā)物，亦或是地球上的磷火升空后的燃燒現(xiàn)象.直到18~19世紀(jì)之交，德國天文學(xué)家本森伯格和布蘭德斯采用三角學(xué)方法精彩地論證了流星實(shí)際上是“天外來客”。
如圖，設(shè)有兩個(gè)觀測者在地球上的兩個(gè)觀測點(diǎn)，他們對同一顆流星進(jìn)行觀測，其中AB=500km，由地球半徑可得
因此
已知兩個(gè)觀測者的仰角分別為
則
由正弦定理得
可算出
再由余弦定理可得
也就是說，流星距離地表的高度約為
然而，科學(xué)發(fā)現(xiàn)云層的高度不超過，因此我們可以斷定，流星不可能是地球上的某種蒸發(fā)物，它一定是天外來客！可見，正是正弦定理和余弦定理幫助人類邁出了正確認(rèn)知這種神秘天文現(xiàn)象的第一步。
3、正余弦定理與測量問題
正、余弦定理在數(shù)學(xué)史中與測高、測距等實(shí)際問題緊密相關(guān).17世紀(jì)以后，隨著三角學(xué)的發(fā)展，人們更多地運(yùn)用三角學(xué)來解決諸多測量問題.特別是到18世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家馬雷（1630—1706）在其著作《實(shí)用幾何學(xué)》中討論了幾類經(jīng)典的三角學(xué)應(yīng)用問題。
問題Ⅰ：如圖，如何測量海島上某建筑物的高度？
一方面，這個(gè)問題的困難之處在于無法測量出觀測點(diǎn)到建筑物底部的距離，但是另一方面，借助當(dāng)時(shí)已經(jīng)發(fā)明出來的測角儀，我們可以測量出兩個(gè)觀測點(diǎn)與建筑物底部、建筑物頂部之間產(chǎn)生的各種角度，并且兩個(gè)陸地觀測點(diǎn)之間的距離也是可以知道的。
對此我們可以抽象出如下數(shù)學(xué)模型：
已知以及角1234以及 CD，求AB.
解答：在中，由正弦定理：
所以
同理，在中，由正弦定理可得：
計(jì)算出和后，在中利用余弦定理可得：
這樣測高問題就迎刃而解了。
相對應(yīng)的，有測高問題就有測距問題。
問題Ⅱ：如圖，如何測量某兩個(gè)海島建筑物之間的距離？
實(shí)際上，有了問題Ⅰ的鋪墊，我們就可以比較輕松地理解并解決問題Ⅱ了，將其抽象為如下模型：
仿照上述測高問題的解決方法，我們只要分別在和中使用兩次正弦定理算出和，然后在中運(yùn)用余弦定理算出即可。
可見，測高問題和測距問題貫穿了整個(gè)三角學(xué)的發(fā)展歷程.實(shí)際上，三角學(xué)在測量領(lǐng)域的重要影響從其英文名“Trigonometry”就可見一斑：這個(gè)單詞最早是由德國數(shù)學(xué)家畢蒂克斯（B.Pitiscus,1561~1613）于1595年首創(chuàng)，由希臘文“trigono”（三角）和“metrein”（測量）組合而成，其原意便是三角學(xué)的測量.各種測量問題是三角學(xué)要研究的基本問題，而后來三角學(xué)的涵義越來越豐富，逐漸成為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。
4、正余弦定理與平面幾何
有些初等幾何問題用純幾何的方法求解往往比較困難，但是當(dāng)我們借助正、余弦定理，則問題就可以得到簡化.例如，古希臘數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測量學(xué)》一書中提出了著名的“海倫公式”：
“已知三邊，記稱為半周長，則三角形面積為
這個(gè)優(yōu)美的公式有一個(gè)漂亮的幾何論證方法，這里不再贅述.實(shí)際上，我們也可以通過正、余弦定理來對其進(jìn)行推導(dǎo)：
已知兩邊及其夾角,我們有
則
由于余弦定理，可得
所以
值得一提的是，這個(gè)公式被稱為“三斜求積術(shù)”，由我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)，將其進(jìn)一步變形就可得到海倫公式，兩者是等價(jià)的。
對上述公式進(jìn)一步處理，得到
令，則有
[1]汪曉勤.HPM:數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].科學(xué)出版社,2017.[2]汪曉勤,沈中宇.數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)——理論、實(shí)踐與案例[M].華東師范大學(xué)出版社,2020。
作者：中科院物理所
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