1．解析幾何在中學數(shù)學課程中的地位和作用
從前所述可見，解析幾何把代數(shù)的知識和方法系統(tǒng)地用于研究幾何，數(shù)形結(jié)合的思想和方法不但使代數(shù)、幾何獲得了前所未有的進展，而且還使微積分的發(fā)明水到渠成。因此，解析幾何既是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，也是從初等數(shù)學過渡到高等數(shù)學的橋梁。
由于人類活動的需要，解決天體運動、拋射體運動、單擺運動等各種運動問題成為數(shù)學的重大課題。而運動可以從兩個角度看：一是作為點的軌跡；二是作為位置與時間的關系。數(shù)學史上，在函數(shù)概念還沒有充分認識之前，函數(shù)被當作曲線來研究，例如，正弦曲線是在旋輪線的研究中作為它的“伴侶曲線”而進入數(shù)學的。后來，人們使用運動的概念來引進曲線，例如，伽利略證明了斜拋體的運動軌跡是拋物線，因而把拋物線看成是動點的軌跡；牛頓說，曲線是由于點的連續(xù)運動而描畫出來的。把曲線看成是動點的軌跡這一概念逐漸地被認可和接受以后，函數(shù)（變量之間的關系）與曲線的聯(lián)系就很緊密了，從而也就使解析幾何與函數(shù)的聯(lián)系更緊密了。某種意義上看，由于借助于坐標系而描繪了函數(shù)圖象，使抽象的函數(shù)得到形象直觀的表示，從而使研究函數(shù)的方法更加多樣而有力，對函數(shù)性質(zhì)的認識也更加全面而具體。當然，“函數(shù)與圖象”、“曲線與方程”畢竟是兩個不同的問題。例如，函數(shù)y=f(x)中，x，y的地位“不平等”，函數(shù)y隨自變量x的變化而變化，兩者有依賴關系；方程f(x，y)=0中，x，y的地位“平等”，雖然也有依賴關系，但并沒有一個隨另一個變化的關系；函數(shù)中，x，y之間有特殊的對應關系（單值對應），表現(xiàn)在圖象上，就是平行于y軸的直線與圖象至多有一個交點；方程的解沒有這種限制，所以交點可以不止一個；借助函數(shù)的圖象討論性質(zhì)，這里的“性質(zhì)”是函數(shù)的變化規(guī)律，由方程討論曲線的性質(zhì)，這里的“性質(zhì)”是曲線的幾何性質(zhì)。
另一方面，眾所周知，解析幾何的研究對象與歐氏幾何相同，但是它們的研究方法不同，這里不再贅述。
綜上所述，中學數(shù)學中的解析幾何以數(shù)形結(jié)合思想為指導，以坐標法為核心，以空間形式為研究對象，用代數(shù)方法研究幾何；與函數(shù)知識緊密聯(lián)系，是初等數(shù)學通向高等數(shù)學的橋梁。因此，解析幾何是融中學代數(shù)、幾何、三角等為一體的綜合性課程。通過解析幾何學習，可以使學生對已學知識融會貫通，把數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來，提高綜合應用數(shù)學知識的能力。同時，系統(tǒng)地掌握解析幾何的基礎知識，也為今后學習高等數(shù)學奠定了堅實的基礎。
2．解析幾何的教學目標體系
解析幾何的教學目標體系可以從知識、方法、思想、觀點等幾個層次進行構建。在確定這一目標體系時，要特別注意從解析幾何的學科特點出發(fā)。
考察解析幾何的學科特點，最重要的是它的“方法論”特征；另外就是它的“綜合性”，首先是用代數(shù)方法研究幾何問題，同時，用幾何的眼光處理代數(shù)問題（幾何直觀能力的體現(xiàn)）。據(jù)此，解析幾何的首要教學目標應是理解“坐標法”，具體包括用坐標法解決問題的過程和要素（“三步曲”）以及在應用坐標法過程中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想。當然，要讓中學生通過解析幾何的學習完全掌握坐標法是不現(xiàn)實的。因為雖然從方法本身看非常樸實，但中學的解析幾何中處理的內(nèi)容相對簡單，還不足以表現(xiàn)坐標法的力量，所以只能要求學生初步掌握方法，初步學會用坐標法思想思考和處理問題，并注意在其它學科的學習中滲透。
思想方法必須有具體知識作為載體才能被領會，也只有和具體知識融為一體才能發(fā)揮作用。因此，坐標法必須在解析幾何知識的學習中逐步掌握。直線和圓錐曲線是比較簡單的平面曲線，以這兩種曲線為載體學習解析幾何，可以更好地使學生把精力集中于坐標法的領悟。具體的知識目標是：
掌握直角坐標系中曲線與方程的關系。
能根據(jù)直線、圓錐曲線的幾何特征，選擇適當?shù)闹苯亲鴺讼担⒅本€方程和圓錐曲線方程；能通過直線方程、圓錐曲線方程討論它們的性質(zhì)。
一般地，能根據(jù)問題的幾何特征，選擇適當?shù)淖鴺讼到⑶€方程，并能通過方程研究曲線的性質(zhì)。
能利用坐標變換化簡曲線方程。
了解一些重要曲線的極坐標方程和參數(shù)方程。
更高層次地看，由于解析幾何是運用辯證法思想分析和解決問題的典范，因此教學中應利用這一特點，培養(yǎng)學生用運動、變化和對立統(tǒng)一等觀點分析和解決問題，領會辯證法思想。
3．解析幾何的課程結(jié)構圖
（1）總體結(jié)構
（2）直線與方程
（3）圓錐曲線與方程
幾點說明：
第一，數(shù)形結(jié)合思想和坐標法是統(tǒng)領全局的，曲線與方程的關系（一種充要條件）是討論各種具體問題的基礎，但這些都是“默會知識”，要采取逐步滲透的方法使學生領會和掌握。在學習直線與方程、圓與方程時，采取默認的方式，先不刻意從“曲線與方程”角度討論，學生也不會特別提出疑問。有了一定的基礎后，在橢圓、雙曲線、拋物線之前討論“曲線與方程”，還是比較合適的。
第二，斜率概念和過兩點的直線的斜率公式是“直線與方程”部分的核心內(nèi)容，其他大部分內(nèi)容都可以看成是由此“導出”的內(nèi)容。“點到直線的距離公式”由于其聯(lián)系的廣泛性，是“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標法解決”的好素材，能很好地體現(xiàn)坐標法的綜合性。圓錐曲線中，橢圓具有典型性，其他曲線的討論可以通過類比橢圓的討論完成。
第三，直角坐標系內(nèi)，兩點間的距離公式、定比分點公式（中點坐標公式）、傾斜角、斜率、兩條直線的交角（平行、垂直）等與直線的方程沒有直接關系（不需要根據(jù)直線方程來討論），這些內(nèi)容的安排可以有一定的靈活性。從系統(tǒng)性考慮，把交角、平行、垂直等作為性質(zhì)，在求出直線方程后，用坐標法進行討論，也是作為“用代數(shù)方法研究幾何問題”的初步實踐，比較合適。另外，作為應用，在直線與方程的最后安排一定的用坐標法解決平面幾何典型問題（如與三角形的外心、重心、垂心有關的問題）的實踐，對于學生領會坐標法、提高學習興趣等都是有好處的。
第四，圓錐曲線與方程是中學解析幾何課程的核心內(nèi)容，也是平面幾何沒有涉及的，所以應當特別強調(diào)確定這些曲線的幾何要素的探索。在明確幾何要素的基礎上，再利用對稱性建立坐標系求標準方程。圓錐曲線的統(tǒng)一定義表明它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，是非常重要的。但是為了分散難點，把表現(xiàn)各類圓錐曲線的“個性定義及其方程”放在直角坐標系下討論，把“統(tǒng)一定義及其方程”放在極坐標系下討論。實際上，在極坐標系中建立統(tǒng)一定義下的圓錐曲線方程更加方便，方程也更加簡單、優(yōu)美。
第五，從解析幾何課程的性質(zhì)出發(fā)，由削枝強干的考慮，同時也是課時所限，對于那些需要較多的平面幾何知識才能較好解決的問題，在解析幾何教學中最好不要涉及。也就是說，解析幾何中的綜合，應當以“用坐標法解決幾何問題”為主，研究“代數(shù)關系的幾何意義”為輔。
第六，高中解析幾何課程，空間坐標系可以不必涉及。在用空間向量解決立體幾何問題時，再介紹空間直角坐標系就可以了。這樣既體現(xiàn)削枝強干原則，又體現(xiàn)學以致用的原則。用到時再適時引入有利于學生的學習興趣、及時鞏固等。
4．解析幾何的內(nèi)容和要求
（1）直線與方程
①理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；掌握兩點間的距離公式。
②根據(jù)直角坐標系內(nèi)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程點斜式，并能由點斜式推出兩點式及一般式；理解斜截式與一次函數(shù)的關系。
③能根據(jù)直線方程探索并掌握：兩條直線平行或垂直的條件；兩直線的交點坐標；點到直線的距離公式；兩條平行直線間的距離。
④能用直線的方程解決簡單的問題。
（2）圓與方程
①在平面直角坐標系中，根據(jù)確定圓的幾何要素，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。
②能根據(jù)直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
（3）曲線與方程
結(jié)合實例，理解曲線與方程的關系，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。
（4）圓錐曲線與方程
①從具體情境中抽象出確定橢圓、雙曲線、拋物線模型的幾何要素；掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)。
②能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系等）和實際問題。
（5）坐標變換
①在直角坐標系中，通過具體例子，探索并理解坐標平移公式。
②在直角坐標系中，通過具體例子，了解坐標伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。
（6）極坐標系
①能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，理解極坐標系和平面直角坐標系的區(qū)別與聯(lián)系，能進行極坐標和直角坐標的互化。
②能求簡單曲線（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）和圓錐曲線統(tǒng)一定義下的方程。
（7）參數(shù)方程
①利用直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程。
②能求平擺線和漸開線的參數(shù)方程。
③能用參數(shù)方程解決一些簡單問題。
說明：
到底應該讓學生討論哪些圓錐曲線的性質(zhì)，主要應該從是否能較好反映圓錐曲線的重要特點出發(fā)。從標準方程的特點，最容易得到的是范圍、頂點、對稱性等，而離心率、準線、漸近線、光學性質(zhì)等最能反映圓錐曲線特點的性質(zhì)，則很難直接從方程中得到，需要安排專項討論才能完成。所以，圓錐曲線性質(zhì)的討論可以分為如下三塊：在“個性定義”下，討論范圍、頂點、對稱性、漸近線等；在“統(tǒng)一定義”下，討論離心率、準線等；在圓錐曲線的應用中討論光學性質(zhì)。
“幾何變換的代數(shù)表示”與這里討論的問題聯(lián)系并不緊密，因此坐標變換的內(nèi)容如果不與“曲線方程的化簡”結(jié)合，不能顯示其學習的必要性。所以，是否需要這一內(nèi)容，或者把它放在函數(shù)中去，都是可以研究的。
