人教A版高中數(shù)學課標教材中的解析幾何
──“中學數(shù)學中的解析幾何”之四
人民教育出版社中學數(shù)學室 章建躍
一、“課標”對解析幾何內(nèi)容的安排
為了體現(xiàn)“基礎性”“多樣性”“選擇性”的原則，《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱“課標”）螺旋上升地在必修和選修模塊中設置了解析幾何內(nèi)容。必修模塊，要求學生在平面直角坐標系中建立直線和圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系，并了解空間直角坐標系；體會數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。選修1、2模塊（必選），要求學生學習圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；結(jié)合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關(guān)系，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。作為解析幾何初步、平面向量、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應用和進一步深化，“課標”設置了《坐標系與參數(shù)方程》專題（任選），要求學生通過本專題的學習，掌握極坐標和參數(shù)方程的基本概念，了解曲線的多種表現(xiàn)形式，體會從實際問題中抽象出數(shù)學問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學問題的興趣和能力，體會數(shù)學在實際中的應用價值，提高應用意識和實踐能力。
從上述安排可見，“課標”構(gòu)建的解析幾何課程體系，是以坐標法為核心，依“直線與方程──圓與方程──圓錐曲線與方程──極坐標系與參數(shù)方程”為順序，螺旋上升、循序漸進地展開內(nèi)容。
二、人教A版解析幾何教材的特點
在編寫人教A版解析幾何教材的過程中，我們按照“課標”的要求，注意吸收以往教材的優(yōu)點，強調(diào)在繼承基礎上進行創(chuàng)新。在內(nèi)容的選擇上，加強背景和應用，減少抽象的、形式化的理論；注重按照學生學習心理組織教材內(nèi)容，循序漸進地逐步提高論理要求；注重坐標法思想內(nèi)涵的理解和應用，減少機械套用、死記硬背；注重與平面幾何、函數(shù)等的聯(lián)系與綜合，體現(xiàn)解析幾何的學科特征；注重利用數(shù)學史料，滲透數(shù)學文化；等。在編排體例和編寫方法上，貫徹“問題引導學習”思想，以恰時恰點的“問題串”引導學習；強調(diào)根據(jù)學生的數(shù)學認知規(guī)律，采用“歸納式”，引導學生歸納和概括數(shù)學結(jié)論；注意使用“先行組織者”等手段，從方法論角度，對如何觀察、分析和解決問題上加強指導；采用單元制，在坐標法的統(tǒng)領(lǐng)下，從直線與方程、圓與方程到圓錐曲線與方程，最后到綜合性的參數(shù)方程，分層遞進、螺旋上升地展開內(nèi)容；在語言敘述上力求做到條理清楚、簡潔明快；等。
1．突出坐標法的核心地位，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想
應當說，任何解析幾何的教材都會把這個問題作為首要任務加以考慮，關(guān)鍵是如何落實。為此，教材從三個方面考慮：
（1）隨時隨地強調(diào)坐標法的基本思想，明確表述坐標法的基本步驟，并將其概括為“三步曲”：
第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何要素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；
第二步：通過代數(shù)運算與變換，解決代數(shù)問題；
第三步：分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，并“翻譯”成幾何結(jié)論。
（2）用坐標法解決典型的平面幾何問題，引導學生理解坐標法的基本思想，體會坐標法的力量。例如，用坐標法證明三角形、平行四邊形的性質(zhì)，證明與圓相關(guān)的一些命題等。這些問題在平面幾何中有一定困難，但用坐標法解決卻“輕而易舉”。
（3）在解析幾何學習的入門階段，不安排涉及復雜代數(shù)運算的題目，減少代數(shù)變換的困難，但通過各種機會滲透和概括坐標法思想，強調(diào)經(jīng)歷用坐標法解決問題的完整過程，使學生集中精力于坐標法的學習。在后續(xù)階段，逐步加強“先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決”的思路。例如，在每一個章前引言中，不厭其煩地闡述解析幾何的基本思想；加強“如何在坐標系下確定問題的幾何要素”的引導，體現(xiàn)“從平面幾何到解析幾何”的過渡；明確提出“如何利用幾何關(guān)系和幾何量的代數(shù)表示討論幾何問題”的思考任務；強調(diào)用坐標法研究問題的規(guī)范，給出利用方程完整地討論幾何性質(zhì)的示范；等。
2．根據(jù)學生學習心理安排教學內(nèi)容
與以往教材相比較，在強調(diào)教材的科學性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性的同時，特別關(guān)注學生的學習心理，注意按照學生的思維邏輯組織教學內(nèi)容，這是人教A版的一個總體特色。在解析幾何部分，具體體現(xiàn)在如下幾個方面：
（1）強調(diào)“先行組織者”的使用。認知心理學認為，“先行組織者”有助于學生形成有意義學習的心向，能夠為學生的學習建立一個“導游圖”，避免學習的盲目性，同時也為新舊知識間搭建了一座橋梁。前已指出，解析幾何具有“方法論”的學科特征，在解決具體問題之前明確其結(jié)構(gòu)、方向和主要過程正是“先行組織者”的“強項”。所以，在教材內(nèi)容的展開過程中，特別是在每一章節(jié)的開篇，我們賦予“先行組織者”以重要地位，特別注重用坐標法討論問題基本思路的引導。實際上，這既是解析幾何思想的教學，又是一種思維策略的教學。
（2）坐標法、數(shù)形結(jié)合、運動變化思想等“默會知識”，采取“滲透──明確──應用”的過程。我們知道，坐標法、數(shù)形結(jié)合思想等都是數(shù)學中關(guān)于“怎么想”“怎么做”的知識，屬“默會知識”范疇。這種知識的掌握，更多地要靠實踐過程中的領(lǐng)悟和理解。因此，從總體看，教材按如下思路展開這些內(nèi)容：在“直線與方程”“圓與方程”部分，從滲透到逐步明確，同時提供用坐標法解決幾何問題的示范和練習，引導學生體會解析幾何思想；在“圓錐曲線與方程”“參數(shù)方程”中，在進一步明確坐標法和數(shù)形結(jié)合思想的基礎上，加強用坐標法解決綜合性問題的訓練，使學生在實踐中深刻理解，學會用坐標法思考和解決問題。
（3）改變“從定義出發(fā)”的教材呈現(xiàn)方式，盡量用“歸納式”呈現(xiàn)教材，注意從簡單到復雜、從單一到綜合地組織內(nèi)容，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學生提供歸納、概括的機會。這是與以往教材有很大區(qū)別的地方。例如，在講“傾斜角與斜率”概念時，先引導學生思考在直角坐標系中（給定了參照系），“幾個條件確定一條直線”“如何刻畫‘傾斜程度’”“如何用一個量來表示‘傾斜程度’”等具體問題，并把它與日常生活中的“坡度”概念聯(lián)系起來。在學生獲得充分感知后，再概括出概念。又如，“曲線的方程”“方程的曲線”概念，這是一個充要條件，是數(shù)學嚴謹性的體現(xiàn)，在培養(yǎng)學生思維的邏輯性和嚴謹性方面都是很好的載體，但這也是一個不容易把握的概念，過早地出現(xiàn)，沒有足夠的知識準備，不僅會導致學生理解的困難，還會使他們產(chǎn)生“為什么要這樣來要求”的疑問。因此，教材在直線與方程、圓與方程部分先有意識滲透相關(guān)概念，在圓錐曲線與方程之前，再安排這一概念的學習，并且也采用了從具體到抽象的思路。
3．問題引導學習，改進教與學的方式
這也是本套教材的一個特點。在解析幾何部分，具體體現(xiàn)在如下幾個方面：
（1）充分發(fā)揮“史料”的作用，從整體上展示解析幾何所研究的問題。正如上文所述，解析幾何的發(fā)明既是為了解決人類實踐活動中提出的問題，又是為了探尋科研的普適性方法。教科書以這些歷史資料為素材，從宏觀上提出問題，引導學生感受坐標法。我們認為，這樣的處理對學生把握解析幾何的基本思想和學習方向很有好處，這也是區(qū)別于以往教科書的一個突出特點。
（2）利用“觀察”“思考”“探究”欄目提出問題，引導學生主動學習。這些問題是學生在學習具體內(nèi)容時普遍都會遇到的，教科書通過它們來引導學生的思考方向，為學生獨立思考、自主探究構(gòu)建平臺。例如，在引入橢圓概念時，通過“你能說出移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件嗎？”引導學生探究確定橢圓的幾何要素，從而為選擇坐標系、建立標準方程、討論橢圓的性質(zhì)等做好必要準備。在推導橢圓標準方程的過程中，通過“觀察圖形，你能從中找出表示a，c，
4．加強背景和應用，完善學習過程
我國數(shù)學教學有以練習促理解、以技能訓練代替思維訓練的習慣，解析幾何教學也以解答大量題目為主，這是一種“掐頭去尾燒中段”的做法，對學生形成全面的數(shù)學理解沒有好處。解析幾何是一門“方法論”色彩濃厚的學科，應當以“用坐標法研究問題”為主線，以讓學生領(lǐng)會坐標法和數(shù)形結(jié)合思想為主要任務，僅靠做練習題是無法完成這一任務的。為此，加強背景和應用，使學生經(jīng)歷完整的用坐標法解決問題的過程，變“掐頭去尾燒中段”為“接頭續(xù)尾燒全魚”，是解析幾何教學中必須予以充分重視的問題。教科書在這方面作出了努力，例如：
（1）加強確定各類圖形的幾何要素的分析，在此基礎上建立適當?shù)淖鴺讼?。實際上這是“幾何眼光觀察在先”的體現(xiàn)，是以往教材不夠重視的地方。
（2）加大用坐標法思想分析問題的力度。從簡潔性考慮，以往教材往往直接呈現(xiàn)邏輯過程，這是一種思考的“結(jié)果”，而對“為什么這樣思考”則需要學生自己去體會，但這對學生而言是比較困難的。人教A版通過加強用坐標法分析問題，既展示了過程，又體現(xiàn)了對學生思維的引導。例如，通過“對于直角坐標系內(nèi)的直線，它的位置由哪些條件確定？”引導學生思考：平面幾何中是“兩點確定一條直線”，有了坐標系作為參照系，這種條件可以有哪些變化。在學生認識到可以用直線與坐標軸的位置關(guān)系來確定后，再引入傾斜角概念。在此基礎上再討論如何用代數(shù)方法表示直線的“傾斜程度”，由此引入斜率概念。然后，通過引導語：“在直角坐標系中，給定一點P0(x0，y0)和斜率k，就能唯一確定一條直線，即平面直角坐標系中的點在不在這條直線上，完全由點P0(x0，y0)和斜率k確定。也就是說，直線上任意一點P(x，y)的坐標完全由P0的坐標x0，y0和k確定。那么這種關(guān)系的代數(shù)表達式是什么呢？”啟發(fā)學生思考，并推導出點斜式方程。這個引導語完整地表述了“平面幾何語言——解析幾何語言”的轉(zhuǎn)化，“幾何關(guān)系——坐標關(guān)系”的轉(zhuǎn)化。實踐表明，這樣的措施對于發(fā)揮解析幾何的綜合作用，促進學生對坐標法的深刻理解，提高綜合應用數(shù)學知識解決問題的能力，都起了很好的作用。
5．加強聯(lián)系與綜合，體現(xiàn)“思想性”
本套教材為了改變以往教材存在的“講邏輯而不講思想”的不足，在提高思想性方面作出了較大努力，加強聯(lián)系與綜合正是落實“思想性”的載體。在編寫過程中，發(fā)揮解析幾何課程特點和優(yōu)勢，把它作為提高思想性的強大平臺，溝通代數(shù)、幾何、三角等的相互聯(lián)系，引導學生認識數(shù)學的內(nèi)在一致性，成為主要指導思想之一。例如，數(shù)學史上，函數(shù)曾被當作曲線來研究，由于把曲線看成是動點的軌跡，函數(shù)（變量之間的關(guān)系）與曲線建立了非常緊密的聯(lián)系，由此也使運動進入了數(shù)學。這樣，從曲線作為坐標平面內(nèi)點的運動軌跡，用運動變化的思想，用函數(shù)的觀點研究問題，是解析幾何學習中的應有之意。當然，這種聯(lián)系與綜合，既有點斜式方程與一次函數(shù)、拋物線方程與二次函數(shù)這樣的“顯性”內(nèi)容，更加重要的，還有用函數(shù)和運動變化的觀點看待和處理點的軌跡方程等問題的“隱性”聯(lián)系。例如，函數(shù)的性質(zhì)就是在變化過程中表現(xiàn)的規(guī)律性，像單調(diào)性、周期性、奇偶性、最大（?。┲档?，都是在變化過程中表現(xiàn)的某種“不變性”，這是學生熟悉的。在解析幾何中，也要通過方程研究這種“規(guī)律性”，或利用這種“不變性”建立曲線的方程。例如，點斜式方程的建立，依賴于直線的斜率保持不變；橢圓方程的建立依賴于動點到兩個定點的距離關(guān)系保持不變；圓錐曲線的方程、性質(zhì)源于“兩個距離”的不變關(guān)系；等?？傊诮馕鰩缀蔚难芯恐?，怎樣把動點表現(xiàn)的“變”與定點、定直線、定長、定角等表現(xiàn)的“不變”聯(lián)系起來，或“以靜馭動”，或“假動觀靜”，確是一個關(guān)鍵性的問題。教材正是利用了解析幾何與函數(shù)間的深刻淵源關(guān)系，從函數(shù)及其性質(zhì)的研究中得到啟發(fā)，水到渠成地展開相應的問題和方法。
6．體現(xiàn)教學設計思想
本次課改中，變革教學方式和學習方式是一個共識，教材對此負有責任。人教A版通過滲透以引導學生主動學習為核心的教學設計理念，達到引導教、學方式變革的目的。其中，特別注意了針對數(shù)學核心概念、思想方法的教學設計的引領(lǐng)作用。應該說，解析幾何中只有坐標系、曲線與方程、斜率、直線的方程、圓錐曲線的方程等不多的核心概念，但坐標法、數(shù)形結(jié)合思想等極其重要。因此，如何以這些核心概念為載體，更好地體現(xiàn)坐標法和數(shù)形結(jié)合的基本思想，設計恰當?shù)?#8220;問題串”以引導學生獨立地、有序地、積極地思考，從而把積極主動的學習方式落在實處，就成為解析幾何教材中體現(xiàn)教學設計思想的關(guān)鍵。例如，在“直線與方程”一章中，教材以斜率概念為核心，通過“思考”“探究”等欄目，用前后連貫、循序漸進的近30個問題組成“問題串”，將整章內(nèi)容連成一體。這些問題既有針對具體內(nèi)容的，也有針對思想方法的，還有針對特例、細節(jié)的，它們構(gòu)成本章內(nèi)容的學習主線，形成思想內(nèi)涵豐富的“直線與方程”的概念網(wǎng)絡。在“問題串”的引導下，學生可以自然地、水到渠成地學習與思考，建立清楚的概念體系，形成清晰、穩(wěn)定和可利用的“直線與方程”認知結(jié)構(gòu)。又如，在“圓錐曲線與方程”中，以“曲線與方程”和“橢圓與方程”為核心構(gòu)建內(nèi)容、方法和思想體系，設計了以“曲線與方程”為指導思想，以橢圓的概念、幾何要素、方程和性質(zhì)的學習為重點，類比“橢圓與方程”學習“雙曲線與方程”“拋物線與方程”的教學思路。實踐表明，這樣的編寫思路對教師的教學設計和學生的自主學習，確能起到積極的引導作用。
三、幾個教學建議
前面介紹教材特點時，已經(jīng)涉及了如何教學的問題。下面我們再概括地談幾點建議。
1．以坐標法為核心和紐帶，構(gòu)建解析幾何教學體系。
教學過程中，只有體現(xiàn)解析幾何課程特點，抓住它的核心，才能真正發(fā)揮這一課程的作用，達成它的教學目標。解析幾何所討論的內(nèi)容是非常豐富的，中學數(shù)學的解析幾何課程只是最基礎的、最簡單的部分，但是其中的思想?yún)s是有一般意義的。因此，教學中應當注意以直線與方程、圓錐曲線與方程為載體，把讓學生掌握坐標法這一工具去解決一些幾何、代數(shù)的問題作為核心和重點。
2．解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，但教學中要注意代數(shù)與幾何的相互為用。實際上，首先應該明確面臨的幾何問題是什么，然后才能用代數(shù)方法研究之。所以，教學中一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環(huán)。實際上就是要處理好“代數(shù)求解”與“幾何直觀”之間的關(guān)系。如果過多地把注意力集中在代數(shù)角度研究，雖然能達到細致入微的境界，但沒有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握幾何性質(zhì)。所以，教學中適當?shù)剡M行“代數(shù)關(guān)系的幾何意義”的訓練也是很有必要的。
3．學習解析幾何的另一個攔路虎是代數(shù)變換的繁瑣、冗長，需要較強的運算能力。解題過程中，許多學生都是因為不能順利進行代數(shù)變換而導致失敗。鑒于當前學生數(shù)學水平的實際狀況，為了使學生把握解析幾何的基本思想，在教學中一定要注意控制代數(shù)變換的難度和技巧。
4．注意循序漸進地提高綜合和聯(lián)系的要求。解析幾何課程的特點就在于它的綜合性，但對學生而言，這樣的綜合能力需要逐步培養(yǎng)。有些問題，雖然其需要的基礎知識學生都具備，但由于綜合與聯(lián)系所帶來的思想方法的要求會極大地提高，伴隨著的是對學生思維能力的高要求，因此這樣的問題也不能過早出現(xiàn)。例如：圓的方程為x2+y2=r2，直線的方程為y=kx，這是最簡單、常見的；三角函數(shù)中，正弦函數(shù)的性質(zhì)、和（差）角公式是學生熟悉的；平面幾何中，關(guān)于直線、圓的一些簡單性質(zhì)也是學生了解的。在這樣的知識背景下，可以變化出非常復雜的問題來：
（1）圓x2+y2=r2上任意一點的坐標表示為P(rcosθ,rsinθ)，直線的方程為y=kx，由于直線過圓心（原點），因此將“圓上的點到直徑的距離不大于半徑”翻譯為代數(shù)語言就有如下命題：
設k，θ∈R，那么
（2）由k=tanα，可以將直線方程化為xcosα+ysinα=0，由cos2α+sin2α=1，又可以將方程化為
如果|a|≤1，|b|≤1，那么
（3）更一般地，以圓的方程x2+y2=d2，直線方程ax+by=0和“圓上的點到直徑的距離不大于半徑”為基礎，可以構(gòu)造如下命題：
已知a，b，c，d是實數(shù)，|c|≤|d |，求證
顯然，如果在學習了直線與方程、圓與方程后，就讓學生解答上述幾個題目，那么大部分學生都會感到太難了。其原因并不是知識不具備，而是自覺應用數(shù)形結(jié)合的思想、綜合運用知識的能力還達不到這樣的水平。
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