高斯
高斯：可以與歐拉比肩，在數(shù)論上當之無愧的史上第一，幾何史上top5，在代數(shù)領域也做了阿貝爾，伽羅華之前的最強的成就，在分析領域，也僅次于魏爾斯特拉斯，柯西，黎曼，阿貝爾等幾人能稍微領先他。在1840年以前，高斯在數(shù)論，幾何，代數(shù)，分析四大數(shù)學領域里均做出了當時最頂尖的成就，擁有過屬于自己的統(tǒng)治時代，這一點上也只有牛頓和歐拉做到過。換言之，在1840年代群論和橢圓函數(shù)論逐漸嶄露頭角大放異彩之前，高斯是史上第一人毫無爭議。
從廣度與厚度以及全面性來看，高斯無疑可以說是史上第一人，可以說，高斯一個人做到了很多人一起做到的工作，堪稱智力奇跡，但論及深度，精度，開創(chuàng)性，洞察力，顛覆性，高斯顯然就遜色了，幾乎在十九世紀近現(xiàn)代所有最重要數(shù)學標志性成果，竟然沒有一項的發(fā)明權是屬于高斯的！很驚異吧？在很多人眼里史上第一的數(shù)學家，竟然沒有一項成果可以躋身19世紀最重要的頂級成果的行列！近現(xiàn)代數(shù)學的標志性成果，黎曼幾何、非歐幾何、群論、橢圓函數(shù)論、復分析、分析基礎嚴格化、復變函數(shù)論等等，沒有一項是由高斯創(chuàng)立的！雖然高斯幾乎在所有領域都作出了杰出的貢獻，但他不是決定性的人物，群論歸功于伽羅華和阿貝爾，橢圓函數(shù)論上阿貝爾，雅可比的工作超越了高斯，復分析與分析基礎嚴格化以及復變函數(shù)論成就最大的是黎曼，柯西，魏爾斯特拉斯，雖然高斯被認為是非歐幾何創(chuàng)始人之一，但他沒有公開發(fā)表論文，而且完成度不如羅巴切夫斯基，鮑耶，雖然高斯引入曲率和測地線成為現(xiàn)代微分幾何的奠基人，但將非歐幾何、微分幾何、橢圓幾何大一統(tǒng)的黎曼幾何是黎曼創(chuàng)立的，即使在高斯最強的數(shù)論領域，高斯所有數(shù)論的著作，沒有一篇比得上黎曼猜想這篇僅僅八頁紙的論文來的重要！而且高斯也只是統(tǒng)治了初等數(shù)論，對代數(shù)數(shù)論，解析數(shù)論貢獻不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！
黎曼
黎曼：代表作黎曼幾何(人類數(shù)學史，物理史，乃至思想史，史上最重要一次智慧與認知突破，對整個人類意義層面上來說，黎曼幾何產生的時空觀念，堪與牛頓力學，進化論，相對論，量子力學等相媲美，其重要意義遠超過微積分和群論。)黎曼曲面，流形(現(xiàn)當代數(shù)學，物理的最重要的數(shù)學構造和基礎工具之一)，黎曼洛赫定理(當代代數(shù)幾何乃至物理學的數(shù)學中心定理中心支柱之一)，黎曼映射定理(聽說過黎曼曲面的高維單值化定理嗎？)，黎曼猜想(最重要的數(shù)學猜想，史上最驚艷的個人秀，單核碾壓全時代數(shù)論學者包括高斯無壓力，一篇僅僅八頁的短文，160年前，迄今未被超越) 。雖然說文無第一，但是從純數(shù)學上來看黎曼的突破性和難度上是最大的，不考慮其它方面，僅僅從數(shù)學成就的角度來看，黎曼無論在重要性，影響力，顛覆性和突破性上，都遠遠超過高斯,歐拉,牛頓，換言之，黎曼在數(shù)學上的成就，大約等于高斯加歐拉再加上牛頓和龐加萊的總和，他們的差距大概這么遠。難度上來說，黎曼以下的數(shù)學家，跟他差距都比較大，基本不在一個等級上，除了龐加萊在拓撲學難度上可以稍微接近之外。
那么說黎曼比高斯成就高的理由是什么？
（1）以黎曼命名的數(shù)學成果共有81個，僅次于高斯(110個)，歐拉(102個)，數(shù)學成果多少不是黎曼的主要貢獻，黎曼對如何證明發(fā)現(xiàn)幾十幾百條各個數(shù)學分支的定理興趣似乎不大，黎曼只搞那些將幾何，數(shù)論，分析等各類分支大一統(tǒng)的數(shù)學工具，重新改變數(shù)學的觀念和定義！其他數(shù)學家停留在發(fā)現(xiàn)和研究數(shù)學，而黎曼直接是創(chuàng)造數(shù)學。這就是黎曼比高斯，龐加萊，歐拉，牛頓強的原因！黎曼所做的都是數(shù)學史上最重要的工作，而這些工作只有黎曼一個人在做。很多人說黎曼的主要成就是開創(chuàng)奠基了復變函數(shù)，非歐幾何，解析數(shù)論，代數(shù)幾何，拓撲學等等學科，這當然很偉大，也很形式化，但這個評價并不能準確評估黎曼的地位，如果黎曼只是開創(chuàng)了多少新學科，那么他的數(shù)學成就和地位不會比歐拉，高斯，龐加萊，希爾伯特，牛頓更高。開創(chuàng)許多數(shù)學分支并不是黎曼的核心成就，黎曼的輝煌是來自他在開創(chuàng)這些分支時所發(fā)明的方法和數(shù)學構造，而這些數(shù)學構造卻是聯(lián)接幾何，分析，拓撲，數(shù)論，乃至物理的工具，比如黎曼曲面，流形，黎曼羅赫定理，黎曼映射定理，無不是直接聯(lián)接數(shù)學與物理的最重要的數(shù)學工具，很難想象當代一流的數(shù)學家或理論物理學家能夠不用到這些基礎而作出一流的工作。黎曼的創(chuàng)造性的工作，使他成為史上迄今唯一統(tǒng)治了數(shù)論，幾何，分析各大數(shù)學分支并為現(xiàn)代物理提供最強力數(shù)學構造的超神級數(shù)學家。唯一能夠與黎曼接近的是龐加萊。雖然牛頓聯(lián)接了分析與物理，但牛頓在數(shù)論，代數(shù)，幾何上的成就太次，根本達不到水準之上；高斯和歐拉，柯西等人成果覆蓋數(shù)論代數(shù)幾何分析，號稱全才，但和黎曼直接聯(lián)結分支的工作比起來，就顯得完全不是一個檔次的工作了。黎曼一篇八頁的論文，就能干掉高斯除算數(shù)探索和曲面幾何之外所有成果的總和了。阿貝爾，伽羅華的群論抽代思想，既可以對數(shù)學全局具有統(tǒng)治力，也完美聯(lián)結物理，本可以與黎曼抗衡，但他們的完成度太低，短命留下了數(shù)學史上最大遺憾。黎曼唯一的缺憾是沒有對代數(shù)群論作出成果，影響了他真正大一統(tǒng)數(shù)學領域，但也留下了大手筆，請不要忘記，黎曼-羅赫定理是現(xiàn)代抽象結構代數(shù)幾何的中心！
（2）黎曼從來不以證明定理、爆算能力著稱，甚至不在乎證明的嚴格性。黎曼只搞自由自在的創(chuàng)造！黎曼面，流形，度量，曲率張量，虧格，參模數(shù)，?？臻g，力即幾何，空間彎曲，等等在當時看來稀奇古怪的數(shù)學新概念新觀念，后來都被證明黎曼提出的新觀念，新概念。這些才是數(shù)學物理的正確打開方式，才是數(shù)學物理走進現(xiàn)代的基石，如果沒有黎曼憑空搞出來的這些奇怪的東西，現(xiàn)代數(shù)學和現(xiàn)代理論物理估計就完蛋了，相對論和量子場論恐怕就是民科了，現(xiàn)在最熱門的物理理論分支弦理論絕對不復存在了。而這些稀奇古怪的東西，在黎曼屈指可數(shù)的十幾篇論文里俯拾皆是，這類新概念新觀念，隨便你發(fā)明了其中一個，都會成為中國第一乃至世界前幾位的數(shù)學家！即使是他次一級的成就，比如柯西黎曼條件，黎曼積分，黎曼許瓦茲定理，黎曼澤塔函數(shù)等等等等之類，拿出來放在今天，也足以讓任何一個數(shù)學家成為相關領域的頂尖學者！高斯是古典數(shù)學的集大成者，并啟發(fā)了現(xiàn)代數(shù)學，但帶領數(shù)學走進現(xiàn)代化的，是黎曼，伽羅華，阿貝爾，其中黎曼，才是現(xiàn)代數(shù)學和物理大爆發(fā)的原點！
（3）黎曼對當代物理學影響深遠，華人數(shù)學家丘成桐，陳省身，物理學家楊振寧都是黎曼的腦殘粉。丘成桐說中國學生中只要有人能完成黎曼一篇論文中的部分，這個人就能成為中國最偉大的數(shù)學家，雖然有點夸張，但也說明了黎曼的重大影響力。楊-米爾斯理論實質就是黎曼-羅赫定理至今的終極應用，每一次對這個黎曼-羅赫定理的推廣成功都是數(shù)學和物理的巨大進步，英國當代最偉大數(shù)學家阿蒂亞(Atiyah)認為，楊-米爾斯理論實際上是數(shù)學科學大統(tǒng)一的核心。它是黎曼-羅赫-格羅騰迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推廣從而與代數(shù)幾何相關，同時又將分析直接同拓撲及微分幾何不變量聯(lián)系起來。數(shù)學金字塔Top3，深度黎曼，廣度高斯，難度龐加萊，黎曼站在高斯肩膀上并全面超越，但黎曼之后的數(shù)學巨匠龐加萊，格羅滕迪克都無法徹底走出黎曼的陰影，奠定上面兩人核心地位的拓撲和代數(shù)幾何雛形都是黎曼開創(chuàng)的，這僅僅黎曼部分成就，而黎曼對發(fā)現(xiàn)數(shù)學新理論，新分支，解決難題沒有興趣，僅僅是提供新的數(shù)學概念，觀念，想法，卻奠定了黎曼祖師爺?shù)匚弧?/p>
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