簡(jiǎn)論中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的“黃金分割率”
黃金分割,被譽(yù)為數(shù)學(xué)上的“黃金”與“寶石”。
古代希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以及大幾何學(xué)家歐幾里德
等都曾深入研究過黃金分割問題。中世紀(jì)時(shí),這一
數(shù)學(xué)命題又與著名的斐波那契數(shù)列聯(lián)系起來,從而
獲得許多新的性質(zhì)。在西方數(shù)學(xué)傳入中國(guó)之前,中
國(guó)人不曾直接論述黃金分割問題。但是,中國(guó)古代
數(shù)學(xué)中實(shí)際上也蘊(yùn)含著黃金分割問題,只是其表達(dá)
方式有所不同。中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的黃金分割率不像
歐幾里德幾何那樣演繹得清楚明白,需要我們?nèi)グl(fā)
現(xiàn)。我們無法確證中國(guó)古代數(shù)學(xué)家是否明確意識(shí)到
“黃金分割率”,但仍可以從許多中國(guó)古代數(shù)學(xué)問題
中推導(dǎo)和演繹出“黃金分割率”,這有助于充分認(rèn)識(shí)
中國(guó)古代數(shù)學(xué)的價(jià)值。
1 勾股術(shù)與黃金分割率
明末清初西方數(shù)學(xué)傳入中國(guó),中國(guó)數(shù)學(xué)家知道
了黃金分割率,開始有人試圖論證黃金分割率在中
國(guó)是“古已有之”。例如,清代數(shù)學(xué)家梅文鼎(公元
1633 - 1721 年) 曾在《幾何通解》自序中說:“惟理分
中末線(即黃金分割率———引者注) 似與勾股異
源,. . . . . . 而仍出于勾股。信古九章之義包舉無
方。”他是這樣推導(dǎo)的:假如一直角三角形的股長(zhǎng)是
其勾長(zhǎng)的二倍,則這個(gè)直角三角形的勾弦之和等于
勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股
分成中末比。他還說:“《幾何原本》理分中末線,但
求作之法而莫知所用。今依法求得十二等面體及二
十等面體之體積,因得其各體中棱線及軸心、對(duì)角諸
線之比例,又兩體互相容及兩體與立方、立圓諸體相
容各比例, 并以理分中末為法, 乃知此線原非徒
設(shè)?！薄?〕
按照梅文鼎的觀點(diǎn),中西數(shù)學(xué)雖然形式上有所
不同,理論上是可以會(huì)通的;西方的幾何學(xué),無非是
中國(guó)的勾股術(shù),中末線也可以從勾股術(shù)中導(dǎo)出。應(yīng)
當(dāng)說,梅文鼎在中西數(shù)學(xué)比較中看出了兩者的異中
之同,以及黃金分割率與勾股術(shù)的聯(lián)系(現(xiàn)在中學(xué)教
科書通常用代數(shù)法解作圖題,其中運(yùn)用勾股定理) ,
但中國(guó)古代數(shù)學(xué)畢竟沒有明確作出“中末線”,梅文
鼎還是夸大了中西數(shù)學(xué)的異中之同,他沒有看到歐
幾里德給黃金分割率嚴(yán)格而清晰的證明的獨(dú)特價(jià)
值。歐幾里德在其《幾何原本》卷Ⅱ第11 題中表述:
“分已知線段為兩部分,使全線段與一小線段構(gòu)成的
矩形的面積等于另一小線段上的正方形的面積。”這
里,歐氏幾何學(xué)給黃金分割的證明結(jié)果上升到定理
的高度。關(guān)于這一點(diǎn),梅文鼎本人也慨嘆,中國(guó)古代
數(shù)學(xué)家沒有從勾股術(shù)中看出黃金分割率是非?？上?br>的。
2 “河圖”、“洛書”與黃金分割率
從數(shù)學(xué)上說,河圖洛書是一種古老的數(shù)字組合
方式,也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的源頭。其中也隱含著黃
金分割率。
清代著名學(xué)者江永(江慎修) (公元1681 - 1762）
年) 在《河洛精蘊(yùn)》中已經(jīng)指出河圖中的黃金分割率
(他稱之為“神分線”) 。他將河圖中宮十?dāng)?shù)為股,五
數(shù)為勾,然后各自自乘,再開方得弦,即:
52 (勾) + 102 (股) = 11. 182 (弦)
再,5 (勾) + 11. 18 (弦) = 16. 18 (勾弦和)
11. 18 (弦) - 5 (勾) = 6. 18 (勾弦較)
10 (股) - 6. 18 (勾弦較) = 3. 819
這樣,以16. 18 (勾弦和) 為長(zhǎng),
則,6. 18 (小段) / 10 (大段) = 0. 618
其中,16. 18 (勾弦長(zhǎng)) ×6. 18 (勾弦較) = 99. 99
10 (股) ×10 (股) = 100
若,以10 (股) 為長(zhǎng),
則3. 819 (小段) / 6. 18 (大段) = 0. 6179
其中,10 (股) ×3. 819 = 38. 19
如是,江永說:“八線表半徑用全數(shù)如十,則勾弦
較六一八O 三三九,即十邊三十六度之通弦。其列
率即《洛書》三率連比例之理。其所得十邊通弦之
數(shù),實(shí)生于五與十,而五十即《河圖》之中宮,至平中
有至奇焉。西人秘惜其法,謂此線為神分線,豈知神
奇即在目前哉”〔2〕?
這里,我們看到,從河圖演算出的黃金分割率是
與數(shù)“五”與“十”密切相關(guān)的。在河圖中,“五”與
“十”兩數(shù)具有特殊的意義。河圖由一、二、三、四、
五、六、七、八、九、十共十個(gè)數(shù)字組成,其中一、二、
三、四、五稱為生數(shù),六、七、八、九、十稱為成數(shù)。十
個(gè)數(shù)相加為55 ,被古人稱為“天地之?dāng)?shù)”?！吨芤住は?br>辭傳》曰:“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、
地八、天九、地十。天數(shù)五,地?cái)?shù)五,五位相得,而各
有合,天數(shù)二十有五,地?cái)?shù)三十,凡天地之?dāng)?shù)五十有
五,此所以成變化而行鬼神也?！逼鋵?shí),“五十”之為
“天地之?dāng)?shù)”,并非它能行鬼神之變化,這當(dāng)中反映出
上古先民所創(chuàng)造的十進(jìn)制的計(jì)數(shù)方法,而十以內(nèi)的
任何數(shù)字都可以運(yùn)用四則運(yùn)算法加以計(jì)算。也就是
說,任何一個(gè)數(shù)的平方都可以用這種簡(jiǎn)單的加法求
出來,利用它的逆運(yùn)算,任何一個(gè)數(shù)的開方也可以用
簡(jiǎn)單的減法求出來。《周易·系辭傳》曰:“大衍之?dāng)?shù)
五十,其用四十有九。”《周髀算經(jīng)》解釋說:“禹治洪
水,始廣用勾股弦,故稱其為大衍數(shù)。”可見,運(yùn)用勾
股定理對(duì)“天地之?dāng)?shù)”或“大衍之?dāng)?shù)”“五”與“十”進(jìn)行
簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可求出其中蘊(yùn)含的黃金分割率。這說
明,黃金分割率并非什么神秘之物,它可以明白地表
現(xiàn)在線段和圖形之比例關(guān)系當(dāng)中,也可以表現(xiàn)在非
常簡(jiǎn)單的數(shù)字關(guān)系中。
至于洛書,它與黃金分割率也有聯(lián)系。由洛書
演化的“九宮圖”,如果將其與斐波那契數(shù)列相聯(lián)系,
亦可找到其中的內(nèi)在聯(lián)系。
有趣的是,生活在與賈憲年代相差不遠(yuǎn)的哲學(xué)
家程頤在其《易程傳》中,對(duì)64 卦按所含陽爻數(shù)目
的多少進(jìn)行分類。其結(jié)果正好是楊輝記錄的賈憲三
角形的最后一層的數(shù)據(jù)。
后人將《易程傳》原文對(duì)
64 卦按陽爻的數(shù)目進(jìn)行組合分類的排列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)
的時(shí)候,又發(fā)現(xiàn),這個(gè)分布圖與賈憲三角形十分相
像。從64 卦的分布可以直接導(dǎo)出一個(gè)賈憲三角
形〔5〕! 這恐怕不是巧合。聯(lián)系到八卦與河圖、洛
書,河圖、洛書與黃金分割和斐波那契數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)
系,我們有理由得出64 卦也與黃金分割、斐波那契
數(shù)列有內(nèi)在聯(lián)系的結(jié)論,由此還可看出,黃金分割率
決不只是單純的幾何學(xué)問題,它也廣泛地蘊(yùn)含于以
數(shù)值化為特征的中國(guó)古代數(shù)學(xué)中。
4 “五運(yùn)六氣”學(xué)說與黃金分割率
我們知道,正五角星形各線段之比為黃金分割
值,而中國(guó)傳統(tǒng)醫(yī)學(xué)的“五運(yùn)六氣”學(xué)說中實(shí)際上已
經(jīng)蘊(yùn)含了正五角星形,因此也蘊(yùn)涵了黃金分割率。
“五運(yùn)六氣”學(xué)說與五行思想有密切關(guān)系。《國(guó)
語·鄭語》曰:“先王以土與金木水火雜,以成百物?！?br>《尚書·洪范》曰:“五行:一曰水,二曰火,三曰木,四
曰金,五曰土?！焙髞怼拔逍小迸c“五方”聯(lián)系起來,即
中、東、南、西、北五方。在這種觀念中“, 土”居中,起
支配作用“, 五方”并不構(gòu)成五個(gè)角。到了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,
五行思想有了進(jìn)一步的發(fā)展,形成了以鄒衍為代表
的陰陽五行學(xué)說。其相生相克的原理突破了殷人以
土居中的“五方”觀念,用正五邊形和五角星形來形
象地表示這一學(xué)說是再恰當(dāng)不過的了。
5 黃赤交角與黃金分割率
我國(guó)是世界上天文學(xué)發(fā)達(dá)最早的國(guó)家之一。在
天文觀測(cè)實(shí)踐中,古代數(shù)學(xué)獲得了長(zhǎng)足進(jìn)步。特別
是投影幾何學(xué)、三角函數(shù)學(xué)等測(cè)量數(shù)學(xué)在當(dāng)時(shí)世界
上取得領(lǐng)先成績(jī)。這其中,黃道面與赤道面交角數(shù)
值的確定以及與之相關(guān)的36°角、72°角的形成皆與
黃金分割率有明顯的聯(lián)系。
關(guān)于黃赤交角。據(jù)史料記載,世界上最古老的
星表之一———我國(guó)的《石氏星經(jīng)》已經(jīng)確定了赤道座
標(biāo)體系,而且已經(jīng)知道了黃道傾角。成書于公元前
一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》有用圭表測(cè)影并用勾股定理進(jìn)
行天文計(jì)算的記錄。當(dāng)時(shí)用垂直于地面的高八尺
表,在中午測(cè)日影長(zhǎng),用日影長(zhǎng)度來定義每年二十四
節(jié)氣,這是治歷各家的重要參數(shù)。關(guān)于兩至影長(zhǎng)的
具體數(shù)字,東漢的賈逵在注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)說:“冬
至日距極為百一十五度,夏至日距極六十七度。”
(《后漢書》卷十二) 以二除兩者之差,得整數(shù)二十四
度(折合現(xiàn)在的23°39’18 〃) 。東漢另一位天文學(xué)家
張衡(公元78 - 139 年) 在《渾儀》一書的殘篇中有如
下記載:“赤道橫帶渾天之腹,去極九十一度十九分
之五。黃道斜帶其腹,出赤道表里各二十四度。故
夏至去極六十七度而強(qiáng),冬至去極百一十五度亦強(qiáng)
也?！睆埡庠俅谓o出了黃赤交角的具體數(shù)值。隋唐以
降,黃赤交角的數(shù)值計(jì)算得越來越精確。徐昂的宣
明歷(公元822 年) 所用的黃赤交角值為23°34′55″,
僅比理論值小37″。元代數(shù)學(xué)家郭守敬等人于《授
時(shí)歷》中多次應(yīng)用了沈括的“會(huì)圓術(shù)”,并配合使用相
似三角形各線段間的比例關(guān)系,從而在推算“赤道積
度”、“赤道內(nèi)外度”方面創(chuàng)立了新的方法。從數(shù)學(xué)意
義上來講,新的方法相當(dāng)于開辟了通往球面三角法
的途徑。由于采用了新的方法“, 中國(guó)的一整套觀測(cè)
值(以郭守敬極精確的數(shù)值為最高峰) ,曾為18 世紀(jì)
天文學(xué)家關(guān)于所謂黃道傾角易變性的討論提供了證
據(jù)”
6 結(jié) 語
以上通過對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的“黃金分割
率”的分析和論證,我們至少可以得到兩點(diǎn)啟發(fā):
第一,黃金分割率普遍地蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)的許多分
支學(xué)科中,中國(guó)古代數(shù)學(xué)作為世界數(shù)學(xué)發(fā)展的一種
類型,同樣與黃金分割率有著內(nèi)在的聯(lián)系。
如前所述,有關(guān)黃金分割的數(shù)學(xué)問題非常廣泛,
而尤以斐波那契數(shù)列所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)問題最為豐富。
例如,在歐幾里德算法的計(jì)算過程中,為了求出兩個(gè)
給定正整數(shù)的最大公因數(shù),數(shù)學(xué)家G. 拉梅(Lame ,
1795 - 1870 年) 提出了下述巧妙的定理:為了求出
兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù),所需進(jìn)行的除法的次數(shù)
決不大于較少整數(shù)的位數(shù)的五倍。而這個(gè)定理的證
明首先要用到斐波那契數(shù)列的某些性質(zhì)〔9〕。我們
知道,歐幾里德關(guān)于求取兩個(gè)正整數(shù)的最大公因子
的算法同我國(guó)古代《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”是
相同的。這也就是說,“更相減損術(shù)”與斐波那契數(shù)
列的某些性質(zhì)也是有聯(lián)系的。相關(guān)的問題,我們甚
至還可以在數(shù)論的重要分支丟番圖逼近(Diophan2
tine Approximation) 中找到。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅
庚在其數(shù)論研究中涉及到的丟番圖逼近方程與斐波
那契數(shù)列有關(guān)〔10〕。上個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)界的領(lǐng)軍人物大
衛(wèi)·希爾伯特在1900 年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上
的演講中曾提到的第十個(gè)問題是丟番圖方程可解性
的判別。1970 年,前蘇聯(lián)科學(xué)家馬蒂雅舍維奇在前
人研究的基礎(chǔ)上,引入了斐波那契數(shù)列,從而解決了
希爾伯特第十個(gè)問題〔11〕。這表明,黃金分割率不只
是在初等數(shù)學(xué)有,而且在高等數(shù)學(xué)甚至數(shù)學(xué)的前沿
學(xué)科中也廣泛蘊(yùn)涵著;不只在西方數(shù)學(xué)體系中廣為
存在,而且在東方諸國(guó)的數(shù)學(xué)體系中也時(shí)隱時(shí)現(xiàn)。
因此,在西方以外的數(shù)學(xué)體系中“發(fā)掘”出黃金分割
率并不是值得大驚小怪的事情。
第二,黃金分割問題的解決有賴于東西方數(shù)學(xué)
思想和方法的互補(bǔ)。古代希臘數(shù)學(xué)家們熱衷于對(duì)純
粹幾何圖形的演繹證明,這使他們作出了包括黃金
分割線段在內(nèi)的許多幾何證明,但他們往往與無理
數(shù)概念及離散、無窮、極限等思想失之交臂〔12〕。與
此相反,古代東方的印度、中國(guó)、阿拉伯諸國(guó),其算術(shù)
和代數(shù)學(xué)發(fā)展較快。例如中國(guó)很早就有了負(fù)數(shù)《, 九
章算術(shù)》中明確規(guī)定了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算;在無理數(shù)方
面,中國(guó)將有理數(shù)和無理數(shù)同樣看待,在開方不盡時(shí)
利用十進(jìn)小數(shù)近似地表示之。而從數(shù)論角度來看,
最無理的數(shù)就是黃金分割數(shù);無理數(shù)用有理數(shù)是很
難逼近的。這是否昭示人們,那些最早認(rèn)識(shí)到無理
數(shù)的國(guó)家有可能最早接觸到黃金分割數(shù)值。這一
點(diǎn),中國(guó)的河圖、洛書提供了有力的證明。還有一個(gè)
事實(shí),即斐波那契數(shù)列是與東方數(shù)學(xué)密切相關(guān)的。
我們已經(jīng)知道,文藝復(fù)興前哨的意大利,由于其特殊
的地理位置和貿(mào)易聯(lián)系而成為東西方文化的“熔
爐”。意大利學(xué)者早在12 - 13 世紀(jì)就開始翻譯、介
紹希臘與阿拉伯的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。斐波那契早年隨父在
北非師從阿拉伯人習(xí)算,后又游歷地中海沿岸諸國(guó),
其代表作《算盤書》、《幾何實(shí)踐》等也是根據(jù)阿拉伯
文與希臘文材料編譯而成的。《算盤書》最大的功績(jī)
是系統(tǒng)地介紹印度記數(shù)法,并影響和改變了歐洲數(shù)
學(xué)的面貌。有資料表明《, 算經(jīng)》中的“契丹算法”,即
我國(guó)的“盈不足術(shù)”、“物不知其數(shù)”和“百雞問題”等,
它們是經(jīng)由印度、阿拉伯國(guó)家傳到歐洲的。對(duì)此,我
們似乎可以作出一個(gè)大膽的推測(cè):斐波那契數(shù)列很
可能是從東方諸國(guó)傳到西方的,或至少是在受到了
東方特別是中國(guó)的算術(shù)和代數(shù)學(xué)的啟發(fā)而形成的!
此外“, 巴斯卡三角形”也不是巴斯卡最早發(fā)現(xiàn)的。
大量研究資料表明,在全世界范圍內(nèi),東方各國(guó)比歐
洲更早知道數(shù)字三角形。而關(guān)于這一三角形的發(fā)明
者賈憲的記載是最早的。至于巴斯卡本人,他在算
術(shù)三角形的研究中將經(jīng)典的幾何命題同三角形中數(shù)
值關(guān)系結(jié)合起來進(jìn)行考慮,并得出一系列新的性質(zhì)。
這進(jìn)一步說明,西方數(shù)學(xué)的發(fā)展是在與東方數(shù)學(xué)的
交流和互動(dòng)中前進(jìn)的,不能認(rèn)為,只有嚴(yán)格的演繹推
理才能發(fā)現(xiàn)和證明黃金分割率的存在,算術(shù)的直覺
常常能直接洞悉數(shù)學(xué)命題的真諦。
另一方面,東方的算術(shù)和代數(shù)學(xué)必須依賴于嚴(yán)
密的邏輯體系才能獲得大的發(fā)展。在黃金分割問題
方面,中國(guó)古代數(shù)學(xué)家也不是沒有遇到與之相關(guān)的
幾何學(xué)問題。中國(guó)先秦時(shí)期的五行觀念是與畢達(dá)哥
拉斯的五邊形數(shù)的觀念有相似之處的(李約瑟曾指
出兩者的共同點(diǎn))〔13〕。但是,中國(guó)古代數(shù)學(xué)終究難
以在幾何學(xué)上形成正五邊形或五角星形?！吨荀滤?br>經(jīng)》中已給出了“勾股定理”和“弦圖”,只要將勾為股
的一半,即可推演出黃金分割率。但《周髀算經(jīng)》的
作者沒有這樣做。其中的一個(gè)原因,可能是這樣做
對(duì)于當(dāng)時(shí)的天文觀測(cè)或其他實(shí)際問題的解決并無多
大用處。中國(guó)古代數(shù)學(xué)多是為解決實(shí)際問題而提出
的,它往往給出了解決具體問題的算法,卻沒有上升
到一般公理和定義的高度,沒有形成嚴(yán)密的邏輯演
繹體系,因而不可能從幾何學(xué)上證明黃金分割率。
至于中國(guó)古代數(shù)學(xué)中與黃金分割率相近的“今有
術(shù)”,雖然包含著比例問題,并且得出了“二內(nèi)項(xiàng)之積
等于二外項(xiàng)之積”這一結(jié)論,但是它仍然同印度的
“三率法”一樣,沒有明確地表示出二比率相等的意
義,因此它不是真正意義上的黃金分割率。總之,
“與希臘人的幾何學(xué)天才相比,中國(guó)人的數(shù)學(xué)是代數(shù)
和算法的”〔14〕。中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒有建立嚴(yán)密的公理
體系和公理化方法,這是它的特點(diǎn),也是它的局限
性。因此,盡管中國(guó)古代數(shù)學(xué)在數(shù)值計(jì)算方面觸及
到黃金分割率,但終因邏輯思維和幾何學(xué)的不發(fā)達(dá)
而未能摘取幾何學(xué)上的“寶石”。
