首先，先給出下面這道基礎(chǔ)例題的三種方法。方法1是利用S=1/2底*高，方法2是根據(jù)海倫公式直接代入三邊長就可以得出結(jié)論，方法3是根據(jù)正弦定理來求三角形面積。那么這三種方法究竟有什么區(qū)別呢？第一種方法可以說是最基礎(chǔ)最本質(zhì)的做法，就是按照三角形面積=1/2底*高來入手。通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，通過勾股定理構(gòu)造等式方程，從而求出高，進(jìn)而求出面積。而對于海倫公式來說，其一要求是要牢記公式，其二對數(shù)字的要求其實(shí)比較高，如果給出三個(gè)邊長均為無理數(shù)的話，其實(shí)計(jì)算起來還是比較麻煩的。而正弦定理，除了要熟記公式，同樣也是有一定的計(jì)算量，因?yàn)槭紫纫ㄟ^余弦定理求出角的余弦值，再進(jìn)一步算出正弦值，一步算錯(cuò)就會(huì)導(dǎo)致最終的結(jié)果不正確。所以同學(xué)們在遇到此類的題目的時(shí)候要注意靈活應(yīng)用方法。
其實(shí)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅是刷題，數(shù)學(xué)真正的意義在于理解，當(dāng)你深入地理解了每一條公式定理的時(shí)候，其實(shí)不需要死記硬背就可以記得很牢，而且在應(yīng)用到題目的時(shí)候可以及一反三。下面給出正弦定理的兩種證明方法，供同學(xué)們參考。方法一利用的還是在直角三角形里求正余弦，所以我一直在強(qiáng)調(diào)，這個(gè)方法是最本質(zhì)的方法，所有的公式定理，都是用這種方法推出來。
方法二就相對靈活一些，它是通過構(gòu)造三角形的外接圓，同時(shí)以圓的直徑做斜邊，在構(gòu)造的直角三角形中，再利用同弧所對的圓周角相對來構(gòu)造等式，不僅僅可以證明正弦定理，同時(shí)給出了具體的數(shù)值是2r,也就是說在數(shù)值上等于三角形外接圓的直徑。
余弦定理的證明，歸根結(jié)底，還是應(yīng)用了三角形中最最基本的東西：在直角三角形中去解正余弦。因?yàn)橹挥性谥苯尤切沃校覀儾拍苤庇^地用對應(yīng)邊除以斜邊從而得到正余弦。那么，面對普通三角形的時(shí)候應(yīng)該怎么辦呢？應(yīng)該首先去思考，是不是可以構(gòu)造出一個(gè)直角三角形，進(jìn)而在直角三角形用鄰邊比斜邊來表示出角的余弦值，從而證明結(jié)論。其實(shí)從以下的證明過程來看，這恰恰就是我們最基本的求已知三邊的三角形面積的方法。大家一定要把這個(gè)方法牢牢掌握。從某些方面來說，這個(gè)方法，才是這個(gè)題目最本質(zhì)的東西。
最后，我們來給出海倫公式的證明。其實(shí)都是一環(huán)扣一環(huán)的，這就是為什么前面我要把正弦定理，余弦定理都證明出來的原因。海倫公式的證明，說到底，還是利用正余弦定理來得出結(jié)論。本質(zhì)是利用S=1/2bcsinA,首先用余弦定理求出cosA,再由同角的正余弦的平方和等于1，求出sinA，在證明的過程中涉及到三個(gè)需要注意的地方，一個(gè)是表示出面積以后要先平方去根號；第二個(gè)就是在后面處理這個(gè)看似復(fù)雜的分式的時(shí)候，運(yùn)用因式分解的平方差公式來分步分解；第三個(gè)，就是一個(gè)拆分的小技巧，在面對形如b+c-a這種式子的時(shí)候，可以想到把它轉(zhuǎn)化為a+b+c-2a。
其實(shí)，由一道基礎(chǔ)的三角形求面積的習(xí)題，引申出這么多的解法，還有對各個(gè)公式的證明，本質(zhì)上，就是希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中，要知其然，更知其所以然。因?yàn)閺奈覀€(gè)人的學(xué)習(xí)經(jīng)歷來看，在探究一個(gè)定理本質(zhì)的過程中，不光可以加深對公式定理的記憶，很多時(shí)候證明一個(gè)定理的過程，往往就是解決這一類問題的方法?；蛘哒f，當(dāng)我們遇到不能直觀地套用公式的題目時(shí)，如果對定理理解很深入的話，往往可以從證明的過程中找到思路，甚至另辟蹊徑。
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