圓錐曲線壓軸題專題:最值與范圍齊飛,不等式與函數(shù)破解
最值與范圍問題是解析幾何中的重要問題之一,也是高考復(fù)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn),最值與范圍問題涉及的知識面寬,解題方法靈活,學(xué)生時(shí)常感到無從下手.這類問題有較強(qiáng)的綜合性,解決它不僅要緊緊把握圓錐曲線的定義,而且要善于綜合應(yīng)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等相關(guān)知識.下面結(jié)合具體實(shí)例分析這類問題的破解策略.
典型問題歸類1 最值問題
解析幾何中的最值問題以直線和圓錐曲線作為背景,主要涉及弦長、面積、角度和比例等問題.求解策略是引入?yún)?shù),將目標(biāo)函數(shù)用參數(shù)表示出來,然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題,通常會用到換元、基本不等式及求導(dǎo)等方法和技巧.
點(diǎn)評
本題主要考查了橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力及邏輯推理能力,第(2)問的解題關(guān)鍵是將面積轉(zhuǎn)化為斜率k的函數(shù),再通過換元和基本不等式求解函數(shù)的最值.
點(diǎn)評
本題考查了橢圓與拋物線的方程和幾何性質(zhì),直線與拋物線、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定直線、最值問題等知識,是一道綜合性較強(qiáng)的考題.在第(2)問①中,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),求出切線的斜率,再利用橢圓的垂徑定理求出直線OM的斜率,進(jìn)而寫出直線OM的方程.在第(2)問②中,先利用面積公式表示出S1/S2,再通過換元和二次函數(shù)的相關(guān)知識求解最值.當(dāng)然本題也可以利用基本不等式求得最大值:
典型問題歸類2 范圍問題
解析幾何中的范圍問題以直線和圓錐曲線為背景,主要涉及坐標(biāo)、斜率、面積等問題.求解范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)或建立不等關(guān)系,通過求函數(shù)的值域或解不等式使問題得到解決.
點(diǎn)評
本題考查了軌跡方程的求解以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力,第(2)問的解題關(guān)鍵是正確利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式,將四邊形MPNQ的面積S轉(zhuǎn)代為斜率k的函數(shù),進(jìn)而求得S的取值范圍.同時(shí)要注意直線斜率不存在的情形.
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