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有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.

例：已知，如圖，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，且BE = ED，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G

求證：PF＋PG = AB

證明：過(guò)P作PH⊥AB于H，則四邊形AHPG為矩形

∴AH = GP PH∥AD

∴∠ADB =∠HPB

∵BE = DE

∴∠EBD = ∠ADB

∴∠HPB =∠EBD

又∵∠PFB =∠BHP = 90o

∴△PFB≌△BHP

∴HB = FP

∴AH＋HB = PG＋PF

即AB = PG＋PF

這道題的第二種證明方法，可以延長(zhǎng)GP交BC于N，則四邊形ABNG為矩形，不再證明！

直角三角形常用輔助線方法

• 作斜邊上的高

例：已知，如圖,若從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對(duì)角線BD的垂線與∠BAD的平分線交于點(diǎn)E

求證：AC = CE

證明：過(guò)A作AF⊥BD，垂足為F，則AF∥EG

∴∠FAE = ∠AEG

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠BAD = 90° OA = OD

∴∠BDA =∠CAD

∵AF⊥BD

∴∠ABD＋∠ADB = ∠ABD＋∠BAF = 90°

∴∠BAF =∠ADB =∠CAD

∵AE為∠BAD的平分線

∴∠BAE =∠DAE

∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC

即∠FAE =∠CAE

∴∠CAE =∠AEG

∴AC = EC

• 作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線

①有斜邊中點(diǎn)時(shí)

例：已知，如圖，AD、BE是△ABC的高， F是DE的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)

求證：GF⊥DE

證明：連結(jié)GE、GD

∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中點(diǎn)

∴GE =1/2AB，GD =1/2AB

∴GE = GD

∵F是DE的中點(diǎn)

∴GF⊥DE

②有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)

例：已知，如圖，在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DA⊥BA于A，AC =1/2BD

求證：∠ACB = 2∠B

證明：取BD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則AE = BE =1/2BD

∴∠1 =∠B

∵AC =1/2BD

∴AC = AE

∴∠ACB =∠2

∵∠2 =∠1＋∠B

∴∠2 = 2∠B

∴∠ACB = 2∠B

有線段中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題

例:已知：△ABC中，D為AB中點(diǎn)，E為BC的三等分點(diǎn)，（BE＞CE）AE、CD交于點(diǎn)F

求證：F為CD的中點(diǎn)

證明：過(guò)D作DN∥AE交BC于N

∵D為AB中點(diǎn)

∴BN = EN

又∵E為BC的三等分點(diǎn)

∴BN = EN = CE

∵DN∥AE

∴F為CD的中點(diǎn)

正方形一條對(duì)角線上一點(diǎn)到另一條對(duì)角線上的兩端距離相等

例：已知，如圖，過(guò)正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F， 求證：AP = EF

證明:連結(jié)AC 、PC

∵四邊形ABCD為正方形

∴BD垂直平分AC，∠BCD = 90°

∴AP = CP

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD = 90°

∴四邊形PECF為矩形

∴PC = EF

∴AP = EF

有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn)

例：已知,如圖，正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N

求證：MD = MN

證明：取AD的中點(diǎn)P，連結(jié)PM，則DP = PA =1/2AD

∵四邊形ABCD為正方形

∴AD = AB, ∠A =∠ABC = 90°

∴∠1＋∠AMD = 90°，又DM⊥MN

∴∠2＋∠AMD = 90°

∴∠1 =∠2

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)

∴AM = MB =1/2AB

∴DP = MB AP = AM

∴∠APM =∠AMP = 45°

∴∠DPM =135°

∵BN平分∠CBE

∴∠CBN = 45°

∴∠MBN =∠MBC＋∠CBN = 90°＋45°= 135°

即∠DPM =∠MBN

∴△DPM≌△MBN

∴DM = MN

注意：把M改為AB上任一點(diǎn)，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。

下面給大家留一道練習(xí)題，歡迎大家踴躍留言，說(shuō)出自己的方法：

練習(xí)：已知，Q為正方形ABCD的CD邊的中點(diǎn)，P為CQ上一點(diǎn)，且AP = PC＋BC

求證：∠BAP = 2∠QAD