高中物理
第五章：萬有引力定律 人造地球衛(wèi)星
1．開普勒行星運(yùn)動三定律簡介（軌道、面積、比值）
丹麥開文學(xué)家開普勒信奉日心說，對天文學(xué)家有極大的興趣，并有出眾的數(shù)學(xué)才華，開普勒在其導(dǎo)師弟谷連續(xù)20年對行星的位置進(jìn)行觀測所記錄的數(shù)據(jù)研究的基楚上，通過四年多的刻苦計(jì)算，最終發(fā)現(xiàn)了三個(gè)定律。
第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運(yùn)動，太陽則處在這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上；
第二定律：行星沿橢圓軌道運(yùn)動的過程中，與太陽的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等；
第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等．即
開普勒行星運(yùn)動的定律是在丹麥天文學(xué)家弟谷的大量觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上概括出的，給出了行星運(yùn)動的規(guī)律。
2．萬有引力定律及其應(yīng)用
(1)內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小跟它們的質(zhì)量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個(gè)物體的連線方向。
（1687年）
叫做引力常量，它在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的物體相距1m時(shí)的相互作用力，1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出。
萬有引力常量的測定——卡文迪許扭秤
實(shí)驗(yàn)原理是力矩平衡。
實(shí)驗(yàn)中的方法有力學(xué)放大（借助于力矩將萬有引力的作用效果放大）和光學(xué)放大（借助于平面境將微小的運(yùn)動效果放大）。
萬有引力常量的測定使卡文迪許成為“能稱出地球質(zhì)量的人”：對于地面附近的物體m，有
（式中RE為地球半徑或物體到地球球心間的距離），可得到
。
定律的適用條件：嚴(yán)格地說公式只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也可近似使用，但此時(shí)r應(yīng)為兩物體重心間的距離．對于均勻的球體，r是兩球心間的距離．
當(dāng)兩個(gè)物體間的距離無限靠近時(shí)，不能再視為質(zhì)點(diǎn)，萬有引力定律不再適用，不能依公式算出F近為無窮大。
注意：萬有引力定律把地面上的運(yùn)動與天體運(yùn)動統(tǒng)一起來，是自然界中最普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1kg的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)相互作用的萬有引力．
(3)地球自轉(zhuǎn)對地表物體重力的影響。
重力是萬有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要向心力．重力實(shí)際上是萬有引力的一個(gè)分力．另一個(gè)分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力，如圖所示，在緯度為
的地表處，萬有引力的一個(gè)分力充當(dāng)物體隨地球一起繞地軸自轉(zhuǎn)所需的向心力F向=mRcos
·ω2（方向垂直于地軸指向地軸），而萬有引力的另一個(gè)分力就是通常所說的重力mg，其方向與支持力N反向，應(yīng)豎直向下，而不是指向地心。
由于緯度的變化，物體做圓周運(yùn)動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極R逐漸減小，向心力mRcos
·ω2減小，重力逐漸增大，相應(yīng)重力加速度g也逐漸增大。
在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個(gè)分力F向和m2g剛好在一條直線上，則有F＝F向＋m2g，所以m2g=F一F向＝G
－m2Rω自2。
物體在兩極時(shí)，其受力情況如圖丙所示，這時(shí)物體不再做圓周運(yùn)動，沒有向心力，物體受到的萬有引力F引和支持力N是一對平衡力，此時(shí)物體的重力mg＝N＝F引。
綜上所述
重力大小：兩個(gè)極點(diǎn)處最大，等于萬有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。
重力方向：在赤道上和兩極點(diǎn)的時(shí)候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬有引力的夾角很小。
由于地球自轉(zhuǎn)緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計(jì)算中忽略了自轉(zhuǎn)的影響，在此基礎(chǔ)上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即
≈mg
說明：由于地球自轉(zhuǎn)的影響，從赤道到兩極，重力的變化為千分之五；地面到地心的距離每增加一千米，重力減少不到萬分之三，所以，在近似的計(jì)算中，認(rèn)為重力和萬有引力相等。
萬有引力定律的應(yīng)用
基本方法：衛(wèi)星或天體的運(yùn)動看成勻速圓周運(yùn)動，F(xiàn)萬=F心(類似原子模型)
方法：軌道上正常轉(zhuǎn)：
地面附近：G
=mg
GM=gR2(黃金代換式)
（1）天體表面重力加速度問題
通常的計(jì)算中因重力和萬有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即m2g＝G
，g=GM/R2常用來計(jì)算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（R+h）2，比較得gh=（
）2·g
設(shè)天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由mg=
得g=
，由此推得兩個(gè)不同天體表面重力加速度的關(guān)系為
（2）計(jì)算中心天體的質(zhì)量
某星體m圍繞中心天體m中做圓周運(yùn)動的周期為T，圓周運(yùn)動的軌道半徑為r，則：
由
得：
例如：利用月球可以計(jì)算地球的質(zhì)量，利用地球可以計(jì)算太陽的質(zhì)量。
可以注意到：環(huán)繞星體本身的質(zhì)量在此是無法計(jì)算的。
（3）計(jì)算中心天體的密度
ρ=
=
=
由上式可知，只要用實(shí)驗(yàn)方法測出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的半徑r及運(yùn)行周期T，就可以算出天體的質(zhì)量M．若知道行星的半徑則可得行星的密度
（4）發(fā)現(xiàn)未知天體
用萬有引力去分析已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的星體的運(yùn)動，可以知道在此星體附近是否有其他星體，例如：歷史上海王星是通過對天王星的運(yùn)動軌跡分析發(fā)現(xiàn)的。冥王星是通過對海王星的運(yùn)動軌跡分析發(fā)現(xiàn)的。
人造地球衛(wèi)星
這里特指繞地球做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星，實(shí)際上大多數(shù)衛(wèi)星軌道是橢圓，而中學(xué)階段對做橢圓運(yùn)動的衛(wèi)星一般不作定量分析。
1、衛(wèi)星的軌道平面：由于地球衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力是由萬有引力提供的，所以衛(wèi)星的軌道平面一定過地球球心，球球心一定在衛(wèi)星的軌道平面內(nèi)。
2、原理：由于衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，所以地球?qū)πl(wèi)星的引力充當(dāng)衛(wèi)星所需的向心力，于是有
實(shí)際是牛頓第二定律的具體體現(xiàn)。
3、表征衛(wèi)星運(yùn)動的物理量：線速度、角速度、周期等：
（1）向心加速度
與r的平方成反比。
=
當(dāng)r取其最小值時(shí)，
取得最大值。
a向max=
=g=9.8m/s2
（2）線速度v與r的平方根成反比
v=
∴當(dāng)h↑，v↓
當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，v取得最大值。vmax=
=
=7.9km/s
（3）角速度
與r的三分之三次方成百比
=
∴當(dāng)h↑，ω↓
當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，
取得最大值。
max=
=
≈1.23×10－3rad/s
（4）周期T與r的二分之三次方成正比。
T=2
∴當(dāng)h↑，T↑
當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，T取得最小值。
Tmin=2
=2
≈84min
衛(wèi)星的能量：(類似原子模型)
r增
v減小(EK減小<>p增加)，所以E總增加;需克服引力做功越多，地面上需要的發(fā)射速度越大
應(yīng)該熟記常識：
地球公轉(zhuǎn)周期1年，自轉(zhuǎn)周期1天=24小時(shí)=86400s，地球表面半徑6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8m/s2月球公轉(zhuǎn)周期30天
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